لئونارد اویلر

ریاضیدان سوئیسی (1707-1783)

لئونارد اویلر ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -lər ؛ ^[b] آلمانی: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ^ⓘ ،آلمانی استاندارد سوئیس:[ˈleːɔnhartˈɔʏlər]؛ 15 آوریل 1707 - 18 سپتامبر 1783)ریاضیدان،فیزیکدان،ستاره شناس،جغرافیدان،منطق دانومهندسسوئیسیکه مطالعاتنظریه گرافوتوپولوژیو در بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات مانندتحلیل اعداد.تجزیه و تحلیل پیچیدهوحساب بی نهایت کوچک. او بسیاری از اصطلاحات ونمادهای، از جمله مفهومتابع ریاضی.^[6]او همچنین برای کارهایش درمکانیک،دینامیک سیالات،اپتیک،نجوموتئوری موسیقی.^[7]

اویلر را یکی از بزرگترین و پرکارترین ریاضیدانان تاریخ و بزرگترین ریاضیدان قرن هجدهم می دانند. چندین ریاضیدان بزرگ که پس از مرگ اویلر آثار خود را تولید کردند، اهمیت او را در این زمینه، همانطور که با نقل قول های منسوب به بسیاری از آنها نشان می دهد، تشخیص داده اند: پیر سیمون لاپلاس تأثیر اویلر را بر ریاضیات با بیان این جمله بیان کرد: "اویلر را بخوانید، اویلر را بخوانید، او استاد است. از همه ما." ^{[8] [ج]} کارل فردریش گاوس نوشت: "مطالعه آثار اویلر بهترین مدرسه برای رشته های مختلف ریاضیات باقی خواهد ماند و هیچ چیز دیگری نمی تواند جایگزین آن شود." ^{[9] [d]} 866 نشریه و مکاتبات او در Opera Omnia Leonhard Euler جمع آوری می شود که پس از تکمیل، از 81 کوارتوس تشکیل می شود . ^{[11] [12] [13]} او بیشتر دوران بزرگسالی خود را در سن پترزبورگ ، روسیه، و در برلین ، پایتخت پروس گذراند .

اویلر به دلیل رایج کردن حرف یونانی (کوچک pi ) برای نشان دادن نسبت محیط دایره به قطر آن ، و همچنین استفاده از نماد برای مقدار یک تابع، حرف برای بیان واحد خیالی ، حرف یونانی اعتبار دارد. سیگما بزرگ ) برای بیان جمع ، حرف یونانی ( دلتای بزرگ ) برای تفاوت های متناهی ، و حروف کوچک برای نشان دادن اضلاع یک مثلث در حالی که زوایا را به صورت حروف بزرگ نشان می دهند. ^[14] او تعریف فعلی از ثابت ، پایه لگاریتم طبیعی ، که اکنون به عنوان عدد اویلر شناخته می شود، ارائه کرد . ^[15] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle e}$

اویلر همچنین به عنوان اولین کسی بود که نظریه گراف را توسعه داد (تا حدی به عنوان راه حلی برای مشکل هفت پل کونیگزبرگ ، که اولین کاربرد عملی توپولوژی نیز در نظر گرفته می شود). او همچنین به دلیل، در میان بسیاری از دستاوردهای دیگر، ارائه راه حل برای چندین مسئله حل نشده در تئوری و تحلیل اعداد، از جمله مسئله معروف بازل، مشهور شد . اویلر همچنین به دلیل کشف اینکه مجموع اعداد رئوس و وجوه منهای تعداد یال های یک چند وجهی برابر با 2 است، که امروزه معمولاً به عنوان مشخصه اویلر شناخته می شود، اعتبار یافته است . در زمینه فیزیک، اویلر برای توضیح بهتر حرکت اجسام صلب، قوانین فیزیک نیوتن را در اثر دو جلدی مکانیکا به قوانین جدید تبدیل کرد . او همچنین کمک های قابل توجهی به مطالعه تغییر شکل های الاستیک اجسام جامد کرد.

اوایل زندگی

لئونارد اویلر در 15 آوریل 1707 در بازل در خانواده پل سوم اویلر، کشیش کلیسای اصلاح‌شده ، و مارگریت (با نام خانوادگی بروکر) به دنیا آمد که اجدادش تعدادی از دانشمندان مشهور کلاسیک را شامل می‌شوند. ^[16] او بزرگ ترین از چهار فرزند بود که دو خواهر کوچکتر به نام های آنا ماریا و ماریا ماگدالنا و یک برادر کوچکتر به نام یوهان هاینریش داشت. ^{[17] [16]} بلافاصله پس از تولد لئونهارد، خانواده اویلر از بازل به شهر ریهن ، سوئیس نقل مکان کردند، جایی که پدرش در کلیسای محلی کشیش شد و لئونهارد بیشتر دوران کودکی خود را گذراند. ^[16]

اویلر از سنین جوانی در ریاضیات از پدرش که چند سال پیش در دانشگاه بازل دوره هایی را از ژاکوب برنولی گرفته بود، تحصیل کرد . اویلر در حدود هشت سالگی برای زندگی در خانه مادربزرگ مادری اش فرستاده شد و در مدرسه لاتین در بازل ثبت نام کرد. علاوه بر این، او از یوهانس بورکهارت، الهیدان جوانی که علاقه شدیدی به ریاضیات داشت، تدریس خصوصی دریافت کرد. ^[16]

در سال 1720، در سیزده سالگی، اویلر در دانشگاه بازل ثبت نام کرد . ^[7] حضور در دانشگاه در چنین سن جوانی در آن زمان غیرعادی نبود. ^[16] دوره ریاضیات ابتدایی توسط یوهان برنولی ، برادر کوچکتر ژاکوب برنولی متوفی (که به پدر اویلر تدریس کرده بود) ارائه شد. یوهان برنولی و اویلر خیلی زود با یکدیگر بیشتر آشنا شدند. اویلر برنولی را در زندگی نامه خود توصیف کرد: ^[18]

پروفسور معروف یوهان برنولی[...] خوشحالی خاصی برای خود به وجود آورد که در علوم ریاضی به من کمک کند. با این حال، دروس خصوصی را به دلیل مشغله کاری خود رد کرد. با این حال، توصیه بسیار مفیدتری به من کرد. که شامل این بود که برخی از کتاب‌های ریاضی دشوارتر را در دست بگیرم و با پشتکار فراوان روی آنها کار کنم، و اگر با مخالفت یا مشکلی مواجه می‌شوم، هر شنبه بعدازظهر به من اجازه دسترسی رایگان به او را داد و به اندازه کافی لطف داشت که در مورد دشواری‌های جمع‌آوری‌شده اظهار نظر کنید، که با چنان مزیت مطلوبی انجام شد که وقتی یکی از ایرادات من را برطرف کرد، ده ایراد دیگر به یکباره ناپدید شدند، که مطمئناً بهترین روش برای پیشرفت شاد در علوم ریاضی است.»

در این زمان بود که اویلر با حمایت برنولی موافقت پدرش را برای ریاضیدان شدن به جای کشیش به دست آورد. ^{[19] [20]}

در سال 1723، اویلر با پایان نامه ای که فلسفه های رنه دکارت و اسحاق نیوتن را با هم مقایسه می کرد، مدرک کارشناسی ارشد فلسفه دریافت کرد . ^[16] پس از آن، در دانشکده الهیات دانشگاه بازل ثبت نام کرد. ^[20]

در سال 1726، اویلر پایان نامه ای را در مورد انتشار صدا با عنوان De Sono ^{[21] [22]} به پایان رساند که با آن تلاش ناموفقی برای کسب مقام در دانشگاه بازل انجام داد. ^[23] در سال 1727، او برای اولین بار وارد مسابقه جایزه آکادمی پاریس شد (هر سال و بعداً هر دو سال یکبار توسط آکادمی که در سال 1720 شروع می شود ارائه می شود) ^[24] . مشکلی که در آن سال ایجاد شد یافتن بهترین راه برای قرار دادن دکل ها در یک کشتی بود. پیر بوگر ، که به عنوان "پدر معماری دریایی" شناخته شد، برنده شد و اویلر مقام دوم را به دست آورد. ^[25] در طول سال ها، اویلر 15 بار وارد این رقابت شد، ^[24] که در 12 مورد از آنها برنده شد. ^[25]

شغلی

سن پترزبورگ

تمبر سال 1957 اتحاد جماهیر شوروی به مناسبت دویست و پنجاهمین سالگرد تولد اویلر. متن می گوید: 250 سال از تولد ریاضیدان بزرگ، آکادمیک لئونارد اویلر.

دو پسر یوهان برنولی، دانیل و نیکلاوس ، در سال 1725 در آکادمی علوم امپراتوری روسیه در سن پترزبورگ وارد خدمت شدند و اویلر را با این اطمینان رها کردند که در صورت در دسترس بودن، او را به پستی توصیه خواهند کرد. ^[23] در 31 ژوئیه 1726، نیکلاس پس از گذراندن کمتر از یک سال در روسیه بر اثر التهاب آپاندیس درگذشت. ^{[26] [27]} هنگامی که دانیل سمت برادرش را در بخش ریاضی/فیزیک به عهده گرفت، توصیه کرد که پست فیزیولوژی که او خالی کرده بود توسط دوستش اویلر پر شود. ^[23] در نوامبر 1726، اویلر مشتاقانه این پیشنهاد را پذیرفت، اما سفر به سن پترزبورگ را به تأخیر انداخت، در حالی که ناموفق برای کرسی استادی فیزیک در دانشگاه بازل درخواست داد. ^[23]

اویلر در مه ¹⁷²⁷ وارد سن پترزبورگ شد ^. او با دانیل برنولی که با او در همکاری نزدیک کار می کرد اقامت گزید. ^{[28] اویلر به زبان روسی تسلط داشت، در سن پترزبورگ ساکن شد و شغل دیگری به عنوان پزشک در} نیروی دریایی روسیه گرفت . ^[29]

آکادمی در سن پترزبورگ که توسط پیتر کبیر تأسیس شد ، به منظور بهبود آموزش در روسیه و کاهش شکاف علمی با اروپای غربی بود. در نتیجه، به ویژه برای محققان خارجی مانند اویلر جذاب شد. ^[25] نیکوکار آکادمی، کاترین اول ، که سیاست های مترقی شوهر فقید خود را ادامه داده بود، قبل از ورود اویلر به سن پترزبورگ درگذشت. ^{[30] اشراف محافظه کار روسیه پس از صعود} پیتر دوم دوازده ساله به قدرت رسیدند . ^[30] اشراف که به دانشمندان خارجی آکادمی مشکوک بودند، بودجه اویلر و همکارانش را قطع کردند و از ورود دانشجویان خارجی و غیر اشرافی به ژیمناستیک و دانشگاه ها جلوگیری کردند. ^[30]

شرایط پس از مرگ پیتر دوم در سال 1730 بهبود یافت و آنا از روسیه تحت نفوذ آلمان قدرت را به دست گرفت. ^[31] اویلر به سرعت درجات آکادمی را طی کرد و در سال 1731 به عنوان استاد فیزیک انتخاب شد. ^[31] او همچنین نیروی دریایی روسیه را ترک کرد و از ارتقاء به ستوان خودداری کرد . ^[31] دو سال بعد، دانیل برنولی، که از سانسور و خصومتی که در سن پترزبورگ با آن روبه‌رو بود خسته شده بود، عازم بازل شد. اویلر به عنوان رئیس بخش ریاضیات جانشین او شد. ^[32] در ژانویه 1734، او با کاترینا گسل (1707-1773)، دختر گئورگ گسل ، ازدواج کرد . ^[33] فردریک دوم تلاش کرده بود تا خدمات اویلر را برای آکادمی تازه تاسیس برلین خود در سال 1740 استخدام کند، اما اویلر در ابتدا ترجیح داد در سنت پترزبورگ بماند. ^[34] اما پس از مرگ ملکه آنا و پذیرش فردریک دوم با پرداخت 1600 Ecu (همان اندازه ای که اویلر در روسیه به دست آورد) او موافقت کرد که به برلین نقل مکان کند. در سال 1741، با این استدلال که برای بینایی خود به آب و هوای معتدل تری نیاز دارد، درخواست اجازه کرد تا به برلین برود. ^[34] آکادمی روسیه موافقت خود را اعلام کرد و به عنوان یکی از اعضای فعال خود سالانه 200 روبل به او پرداخت کرد. ^[34]

برلین

اویلر که نگران ادامه آشفتگی در روسیه بود، سنت پترزبورگ را در ژوئن 1741 ترک کرد تا پستی را در آکادمی برلین ، که توسط فردریک کبیر پروس به او پیشنهاد شده بود، به عهده بگیرد . ^[35] او به مدت 25 سال در برلین زندگی کرد و در آنجا صدها مقاله نوشت. ^[20] در سال 1748 متن او در مورد توابع به نام Introductio in analysin infinitorum منتشر شد و در سال 1755 متنی در مورد حساب دیفرانسیل به نام Institutiones calculi differentialis منتشر شد. ^{[36] [37] در سال 1755، او به عنوان عضو خارجی} آکادمی سلطنتی علوم سوئد ^[38] و آکادمی علوم فرانسه انتخاب شد . ^[39] شاگردان برجسته اویلر در برلین عبارتند از استپان روموفسکی ، که بعدها به عنوان اولین ستاره شناس روسی در نظر گرفته شد. ^{[40] [41]} در سال 1748 او پیشنهاد دانشگاه بازل برای جانشینی یوهان برنولی که اخیراً درگذشته بود را رد کرد. ^[20] در سال 1753 او خانه ای در شارلوتنبورگ خرید که با خانواده و مادر بیوه خود در آن زندگی می کرد. ^{[42] [43]}

اویلر معلم فریدریک شارلوت از براندنبورگ-شودت ، شاهزاده خانم آنهالت-دسائو و خواهرزاده فردریک شد. او در اوایل دهه 1760 بیش از 200 نامه برای او نوشت که بعداً در جلدی با عنوان نامه‌های اویلر درباره موضوعات مختلف در فلسفه طبیعی خطاب به یک شاهزاده آلمانی گردآوری شد . ^[44] این اثر حاوی توضیحات اویلر در مورد موضوعات مختلف مربوط به فیزیک و ریاضیات بود و بینش‌های ارزشمندی را در مورد شخصیت و اعتقادات مذهبی اویلر ارائه کرد. این کتاب به چندین زبان ترجمه شد، در سراسر اروپا و در ایالات متحده منتشر شد و بیش از هر یک از آثار ریاضی او خوانده شد. محبوبیت نامه ها گواه توانایی اویلر در برقراری ارتباط موثر موضوعات علمی با مخاطبان عادی است، توانایی نادری برای یک دانشمند محقق اختصاصی. ^[37]

علیرغم سهم عظیم اویلر در اعتبار آکادمی و معرفی شدن به عنوان نامزد ریاست آکادمی توسط ژان لو روند دالامبر ، فردریک دوم خود را به عنوان رئیس آکادمی معرفی کرد. ^[43] پادشاه پروس دایره بزرگی از روشنفکران را در دربار خود داشت و او ریاضیدان را در مسائلی فراتر از اعداد و ارقام بی خبر و بی اطلاع یافت. اویلر مردی ساده و متدین بود که هرگز نظم اجتماعی موجود یا باورهای مرسوم را زیر سوال نمی برد. او از بسیاری جهات نقطه مقابل ولتر بود که در دربار فردریک از اعتبار بالایی برخوردار بود. اویلر مناظره‌گر ماهری نبود و اغلب بحث در مورد موضوعاتی را مطرح می‌کرد که اطلاعات کمی درباره آن‌ها داشت و او را به هدف مکرر شوخ طبعی ولتر تبدیل می‌کرد. ^[37] فردریک همچنین از توانایی های مهندسی عملی اویلر ابراز ناامیدی کرد و اظهار داشت:

من می‌خواستم یک جت آب در باغم داشته باشم: اویلر نیروی چرخ‌ها را محاسبه کرد که برای بالا بردن آب به یک مخزن لازم است، از جایی که باید از طریق کانال‌هایی به عقب بریزد و در نهایت در سانسوچی به بیرون فوران کند . آسیاب من به صورت هندسی انجام می شد و نمی توانست یک لقمه آب را بیش از پنجاه قدم به مخزن برساند. غرور از باطل! بیهودگی هندسه! ^[45]

با این حال، این ناامیدی تقریباً مطمئناً از منظر فنی غیرقابل توجیه بود. محاسبات اویلر احتمالا درست به نظر می رسد، حتی اگر تعامل اویلر با فردریک و کسانی که فواره او را می سازند ممکن است ناکارآمد باشد. ^[46]

اویلر در طول اقامت خود در برلین ارتباط قوی با آکادمی در سن پترزبورگ داشت و همچنین 109 مقاله در روسیه منتشر کرد. ^[47] او همچنین به دانشجویان آکادمی سنت پترزبورگ کمک می‌کرد و گاهی دانشجویان روسی را در خانه‌اش در برلین می‌پذیرفت. ^[47] در سال 1760، با جنگ هفت ساله ، مزرعه اویلر در شارلوتنبورگ توسط نیروهای روسی پیشروی غارت شد. ^[42] ژنرال ایوان پتروویچ سالتیکوف پس از اطلاع از این رویداد، غرامتی را برای خسارت وارده به دارایی اویلر پرداخت کرد و امپراتور الیزابت روسیه بعداً 4000 روبل پرداخت - مبلغی گزاف در آن زمان. ^[48] ​​اویلر تصمیم گرفت در سال 1766 برلین را ترک کند و به روسیه بازگردد. ^[49]

اویلر در طول سال های برلین (1741-1766) در اوج بهره وری خود بود. او 380 اثر نوشت که 275 اثر آن منتشر شد. ^[50] این شامل 125 خاطرات در آکادمی برلین و بیش از 100 خاطرات ارسال شده به آکادمی سنت پترزبورگ بود که او را به عنوان عضو حفظ کرده بود و حقوق سالانه به او پرداخت می کرد. اویلر Introductio in Analysin Infinitorum در دو بخش در سال 1748 منتشر شد. اویلر علاوه بر تحقیقات خود بر کتابخانه، رصدخانه، باغ گیاه شناسی و انتشار تقویم ها و نقشه هایی که آکادمی از آنها درآمد کسب می کرد نظارت داشت. ^[51] او حتی در طراحی فواره‌های آب در Sanssouci ، کاخ تابستانی پادشاه نقش داشت. ^[52]

بازگشت به روسیه

اوضاع سیاسی روسیه پس از به سلطنت رسیدن کاترین کبیر تثبیت شد ، بنابراین در سال 1766 اویلر دعوت را برای بازگشت به آکادمی سن پترزبورگ پذیرفت. شرایط او بسیار گزاف بود - حقوق سالانه 3000 روبل، مستمری برای همسرش، و وعده قرار ملاقات های عالی برای پسرانش. او در دانشگاه توسط شاگردش آندرس یوهان لکسل کمک می کرد . ^[53] در حالی که در سن پترزبورگ زندگی می کرد، آتش سوزی در سال 1771 خانه او را ویران کرد. ^[54]

زندگی شخصی

در 7 ژانویه 1734، او با کاترینا گسل (1707-1773)، دختر گئورگ گسل ، نقاش آکادمی ژیمنازیوم در سن پترزبورگ ازدواج کرد. ^[33] زوج جوان خانه ای در کنار رودخانه نوا خریدند .

از سیزده فرزند آنها، تنها پنج نفر از دوران کودکی جان سالم به در بردند، ^[55] سه پسر و دو دختر. ^[56] اولین پسر آنها یوهان آلبرشت اویلر بود که پدرخوانده او کریستین گلدباخ بود . ^[56]

سه سال پس از مرگ همسرش در سال 1773، ^[54] اویلر با خواهر ناتنی خود، سالومه ابیگیل گسل (1723-1794) ازدواج کرد. ^[57] این ازدواج تا زمان مرگ او در سال 1783 ادامه داشت.

برادرش یوهان هاینریش در سال 1735 در سن پترزبورگ ساکن شد و به عنوان نقاش در آکادمی استخدام شد. ^[34]

اویلر در اوایل زندگی‌اش تمام کتاب Aeneid را توسط ویرژیل حفظ کرد و در سنین بالا می‌توانست تمام شعر را بخواند و در هر صفحه از نسخه‌ای که از آن یاد گرفته بود، جمله اول و آخر را بیان کند. ^{[58] [59]}

زوال بینایی

بینایی اویلر در طول زندگی حرفه ای ریاضی او بدتر شد. در سال 1738، سه سال پس از تقریباً تمام شدن تب، ^[60] او تقریباً از ناحیه چشم راست نابینا شد. اویلر نقشه‌برداری را که برای آکادمی سنت پترزبورگ انجام داد، مقصر وضعیت خود دانست، ^[61] اما علت نابینایی او همچنان موضوع حدس و گمان است. ^{[62] [63]} بینایی اویلر در آن چشم در طول اقامت او در آلمان بدتر شد، تا جایی که فردریک از او به عنوان " سیکلوپ " یاد کرد. اویلر به از دست دادن بینایی خود اشاره کرد و گفت: "اکنون من حواس پرتی کمتری خواهم داشت." ^[61] در سال 1766 آب مروارید در چشم چپ او کشف شد. اگر چه روکش کردن آب مروارید به طور موقت بینایی او را بهبود بخشید، اما عوارض در نهایت باعث شد که او در چشم چپ نیز تقریباً کاملاً نابینا شود. ^[39] با این حال، به نظر می رسد که وضعیت او تأثیر کمی بر بهره وری او داشته باشد. با کمک کاتبانش، بهره وری اویلر در بسیاری از زمینه های مطالعاتی افزایش یافت. ^[64] و در سال 1775 به طور متوسط ​​هر هفته یک مقاله ریاضی تولید کرد. ^[39]

مرگ

در 18 سپتامبر 1783 در سن پترزبورگ، اویلر پس از صرف ناهار با خانواده‌اش، درباره سیاره تازه کشف‌شده اورانوس و مدار آن با آندرس یوهان لکسل بحث می‌کرد که سقوط کرد و بر اثر خونریزی مغزی درگذشت . ^[62] ژاکوب فون استالین  [de] درگذشت کوتاهی برای آکادمی علوم روسیه نوشت و نیکلاس فاس، ریاضیدان روسی ، یکی از شاگردان اویلر، مداحی مفصل تری نوشت، ^[55] که در یک جلسه یادبود ارائه کرد. در مداحی خود برای آکادمی فرانسه ، ریاضیدان و فیلسوف فرانسوی مارکی دو کندورسه نوشت:

قبر اویلر در صومعه الکساندر نوسکی

il cessa de calculer et de vivre — ... او از محاسبه و زندگی دست کشید. ^[65]

اویلر در کنار کاترینا در گورستان لوتری اسمولنسک در جزیره واسیلیفسکی به خاک سپرده شد . در سال 1837، آکادمی علوم روسیه بنای یادبود جدیدی را جایگزین پلاک قبر بیش از حد او کرد. برای بزرگداشت دویست و پنجاهمین سالگرد تولد اویلر در سال 1957، آرامگاه او به قبرستان لازارفسکوئه در صومعه الکساندر نوسکی منتقل شد . ^[66]

مشارکت در ریاضیات و فیزیک

اویلر تقریباً در تمام زمینه‌های ریاضیات، از جمله هندسه ، حساب بی‌نهایت کوچک ، مثلثات ، جبر و نظریه اعداد ، و همچنین فیزیک پیوسته ، نظریه قمری ، و سایر حوزه‌های فیزیک کار می‌کرد . او یک شخصیت برجسته در تاریخ ریاضیات است. اگر چاپ شود، آثار او، که بسیاری از آنها مورد توجه اساسی هستند، بین 60 تا 80 کوارتو جلد را اشغال خواهند کرد. ^[39] نام اویلر با تعداد زیادی موضوع مرتبط است . کارهای اویلر از سال 1725 تا 1783 به طور متوسط ​​800 صفحه در سال است. او همچنین بیش از 4500 نامه و صدها نسخه خطی نوشت. تخمین زده شده است که لئونارد اویلر نویسنده یک چهارم خروجی ترکیبی در ریاضیات، فیزیک، مکانیک، نجوم و ناوبری در قرن هجدهم بوده است. ^[14]

نماد ریاضی

اویلر چندین قرارداد نمادین را از طریق کتاب های درسی متعدد و پرتیراژ خود معرفی و رایج کرد. مهمتر از همه، او مفهوم تابع [ ^6] را معرفی کرد و اولین کسی بود که f ( x ) را برای نشان دادن تابع f اعمال شده به آرگومان x نوشت . او همچنین نماد مدرن برای توابع مثلثاتی ، حرف e برای پایه لگاریتم طبیعی (که اکنون به عنوان عدد اویلر نیز شناخته می شود )، حرف یونانی Σ برای جمع و حرف i برای نشان دادن واحد خیالی معرفی کرد . ^[67] استفاده از حرف یونانی π برای نشان دادن نسبت محیط دایره به قطر آن نیز توسط اویلر رایج شد، اگرچه از ریاضیدان ولزی ویلیام جونز سرچشمه گرفت . ^[68]

تجزیه و تحلیل

توسعه حساب بی نهایت کوچک در خط مقدم تحقیقات ریاضی قرن هجدهم قرار داشت و برنولی ها - دوستان خانوادگی اویلر - مسئول بسیاری از پیشرفت های اولیه در این زمینه بودند. به لطف تأثیر آنها، مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال تمرکز اصلی کار اویلر شد. در حالی که برخی از اثبات های اویلر با استانداردهای مدرن سختگیری ریاضی ^[69] (به ویژه تکیه او بر اصل کلیت جبر ) قابل قبول نیستند، ایده های او منجر به پیشرفت های بزرگ بسیاری شد. اویلر در تجزیه و تحلیل به دلیل استفاده مکرر و توسعه سری های توانی ، بیان توابع به صورت مجموع عبارات بی نهایت بسیار شناخته شده است ، ^[70] مانند $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$$

استفاده اویلر از سری توانی او را قادر ساخت تا مشکل بازل را حل کند و مجموع مجذورات مجذورات هر عدد طبیعی را در سال 1735 بیابد (او در سال 1741 استدلال مفصل تری ارائه کرد). مسئله بازل در ابتدا توسط پیترو منگولی در سال 1644 مطرح شد و در دهه 1730 یک مسئله باز معروف بود که توسط یاکوب برنولی رایج شد و بسیاری از ریاضیدانان برجسته آن زمان به طور ناموفق مورد حمله قرار گرفتند. اویلر دریافت که: ^{[71] [72] [69]}

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$$

اویلر ثابتی را که اکنون به عنوان ثابت اویلر یا ثابت اویلر-ماسکرونی شناخته می شود، معرفی کرد و رابطه آن را با سری هارمونیک ، تابع گاما و مقادیر تابع زتای ریمان مطالعه کرد . ^[73] $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,}$$

تفسیر هندسی فرمول اویلر

اویلر استفاده از تابع نمایی و لگاریتم را در اثبات تحلیلی معرفی کرد . او راه‌هایی را برای بیان توابع لگاریتمی مختلف با استفاده از سری‌های توانی کشف کرد و با موفقیت لگاریتم‌ها را برای اعداد منفی و مختلط تعریف کرد ، بنابراین دامنه کاربردهای ریاضی لگاریتم‌ها را تا حد زیادی گسترش داد. ^[67] او همچنین تابع نمایی را برای اعداد مختلط تعریف کرد و رابطه آن را با توابع مثلثاتی کشف کرد . برای هر عدد واقعی φ (رادیان گرفته می شود)، فرمول اویلر بیان می کند که تابع نمایی مختلط راضی کننده است. $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$

که توسط ریچارد فاینمن "قابل توجه ترین فرمول در ریاضیات" نامیده شد . ^[74]

یک مورد خاص از فرمول فوق به عنوان هویت اویلر شناخته می شود . $${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$$

اویلر نظریه توابع متعالی بالاتر را با معرفی تابع گاما ^{[75] [76]} توضیح داد و روش جدیدی را برای حل معادلات کوارتیک معرفی کرد . ^[77] او راهی برای محاسبه انتگرال ها با محدودیت های پیچیده پیدا کرد، که پیش بینی توسعه تحلیل پیچیده مدرن است . او محاسبات تغییرات را اختراع کرد و معادله اویلر-لاگرانژ را برای کاهش مسائل بهینه سازی در این زمینه به حل معادلات دیفرانسیل فرموله کرد .

اویلر در استفاده از روش های تحلیلی برای حل مسائل تئوری اعداد پیشگام بود. با انجام این کار، او دو شاخه متفاوت از ریاضیات را متحد کرد و یک رشته مطالعاتی جدید، نظریه اعداد تحلیلی را معرفی کرد . اویلر در زمینه ایجاد این میدان جدید، نظریه سری های ابرهندسی ، سری q ، توابع مثلثاتی هذلولی و نظریه تحلیلی کسرهای پیوسته را ایجاد کرد . برای مثال، او نامتناهی اعداد اول را با استفاده از واگرایی سری هارمونیک ثابت کرد و از روش های تحلیلی برای به دست آوردن درک درستی از نحوه توزیع اعداد اول استفاده کرد. کار اویلر در این زمینه منجر به توسعه قضیه اعداد اول شد . ^[78]

نظریه اعداد

علاقه اویلر به نظریه اعداد را می توان در تأثیر کریستین گلدباخ ^[79] دوست او در آکادمی سنت پترزبورگ جستجو کرد. ^[60] بسیاری از کارهای اولیه اویلر در نظریه اعداد بر اساس کار پیر دو فرما بود . اویلر برخی از ایده های فرما را توسعه داد و برخی از حدس های او را رد کرد، مانند حدس او که همه اعداد شکل ( اعداد فرما ) اول هستند. ^[80] ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$

اویلر ماهیت توزیع اول را با ایده ها در تحلیل پیوند داد. او ثابت کرد که مجموع اعداد متقابل اعداد اول واگرا هستند . با انجام این کار، او ارتباط بین تابع زتای ریمان و اعداد اول را کشف کرد. این به عنوان فرمول محصول اویلر برای تابع زتا ریمان شناخته می شود . ^[81]

اویلر تابع totient φ( n ) را اختراع کرد، تعداد اعداد صحیح مثبت کمتر یا مساوی با عدد صحیح n که همزمان با n هستند . او با استفاده از ویژگی های این تابع، قضیه کوچک فرما را به چیزی که اکنون به عنوان قضیه اویلر شناخته می شود تعمیم داد . ^[82] او کمک قابل توجهی به نظریه اعداد کامل ، که ریاضیدانان از اقلیدس مجذوب شده بود . او ثابت کرد که رابطه نشان داده شده بین اعداد حتی کامل و اعداد اول مرسن (که قبلاً ثابت کرده بود) یک به یک است، نتیجه ای که به عنوان قضیه اقلیدس-اویلر شناخته می شود . ^[83] اویلر همچنین قانون متقابل درجه دوم را حدس زد . این مفهوم به عنوان یک قضیه اساسی در نظریه اعداد در نظر گرفته می شود، و ایده های او راه را برای کار کارل فردریش گاوس ، به ویژه Disquisitiones Arithmeticae هموار کرد . ^[84] تا سال 1772 اویلر ثابت کرده بود که 2 ³¹  − 1 = 2,147,483,647 عدد اول مرسن است. ممکن است تا سال 1867 بزرگترین شناخته شده باشد . ^[85]

اویلر همچنین تحولات عمده ای را در نظریه پارتیشن های یک عدد صحیح انجام داد . ^[86]

نظریه گراف

نقشه کونیگزبرگ در زمان اویلر که طرح واقعی هفت پل را نشان می دهد و رودخانه پرگل و پل ها را برجسته می کند.

در سال 1735، اویلر راه حلی برای این مشکل ارائه کرد که به نام هفت پل کونیگزبرگ شناخته می شود . ^[87] شهر کونیگزبرگ ، پروس بر روی رودخانه پرگل قرار داشت و شامل دو جزیره بزرگ بود که توسط هفت پل به یکدیگر و سرزمین اصلی متصل بودند. مشکل این است که تصمیم بگیریم آیا می توان مسیری را دنبال کرد که دقیقاً یک بار از هر پل عبور کند و به نقطه شروع بازگردد. ممکن نیست: مدار اویلری وجود ندارد . این راه حل به عنوان اولین قضیه نظریه گراف در نظر گرفته می شود . ^[87]

اویلر همچنین فرمول مربوط به تعداد رئوس، لبه‌ها و وجه‌های یک چندوجهی محدب ، ^[88] و در نتیجه یک نمودار مسطح را کشف کرد . ثابت موجود در این فرمول اکنون به عنوان مشخصه اویلر برای نمودار (یا دیگر شیء ریاضی) شناخته می شود و به جنس شی مربوط می شود. ^[89] مطالعه و تعمیم این فرمول، به طور خاص توسط کوشی ^[90] و L'Huilier ، ^[91] در منشا توپولوژی است . ^[88] ${\displaystyle V-E+F=2}$

فیزیک، نجوم و مهندسی

برخی از بزرگترین موفقیت های اویلر در حل مسائل دنیای واقعی به صورت تحلیلی و توصیف کاربردهای متعدد اعداد برنولی ، سری فوریه ، اعداد اویلر ، ثابت های e و π ، کسرهای ادامه دار و انتگرال ها بود. او حساب دیفرانسیل لایب نیتس را با روش شار نیوتن ادغام کرد و ابزارهایی را توسعه داد که اعمال حساب دیفرانسیل را برای مسائل فیزیکی آسان تر می کرد. او در بهبود تقریب عددی انتگرال‌ها گام‌های بزرگی برداشت و چیزی را اختراع کرد که امروزه به عنوان تقریب اویلر شناخته می‌شود . قابل توجه ترین این تقریب ها روش اویلر ^[92] و فرمول اویلر-ماکلارین است . ^{[93] [94] [95]}

اویلر به توسعه معادله تیر اویلر-برنولی کمک کرد ، که سنگ بنای مهندسی شد. ^[96] اویلر علاوه بر استفاده موفقیت آمیز از ابزارهای تحلیلی خود برای مسائل مکانیک کلاسیک ، این تکنیک ها را برای مسائل آسمانی نیز به کار گرفت. کار او در نجوم در طول دوران حرفه ای خود توسط چندین جایزه آکادمی پاریس شناخته شد . از دستاوردهای او می توان به تعیین مدار ستاره های دنباله دار و دیگر اجرام آسمانی، شناخت ماهیت دنباله دارها و محاسبه اختلاف منظر خورشید اشاره کرد. محاسبات او به توسعه جداول دقیق طول جغرافیایی کمک کرد . ^[97]

اویلر سهم مهمی در اپتیک داشت . ^{[98] او با} نظریه جسمانی نور نیوتن ، ^[99] که نظریه غالب آن زمان بود، مخالف بود. مقالات دهه 1740 او در مورد اپتیک کمک کرد تا اطمینان حاصل شود که نظریه موجی نور ارائه شده توسط کریستیان هویگنس ، حداقل تا زمان توسعه نظریه کوانتومی نور ، به شیوه غالب تفکر تبدیل خواهد شد . ^[100]

در دینامیک سیالات ، اویلر اولین کسی بود که پدیده کاویتاسیون را در سال 1754، مدتها قبل از اولین مشاهده آن در اواخر قرن نوزدهم، پیش بینی کرد و عدد اویلر مورد استفاده در محاسبات جریان سیال از کار مرتبط او در مورد کارایی توربین ها می آید . ^[101] در سال 1757 او مجموعه مهمی از معادلات را برای جریان غیر لزج در دینامیک سیالات منتشر کرد که اکنون به عنوان معادلات اویلر شناخته می شود . ^[102]

اویلر در مهندسی سازه به دلیل فرمولش که بار بحرانی اویلر را می دهد ، بار بحرانی کمانش یک پایه ایده آل، که تنها به طول و سفتی خمشی آن بستگی دارد، به خوبی شناخته شده است . ^[103]

منطق

اویلر با استفاده از منحنی های بسته برای نشان دادن استدلال قیاسی (1768) اعتبار دارد . این نمودارها به نمودارهای اویلر معروف شده اند . ^[104]

نمودار اویلر

نمودار اویلر وسیله ای نموداری برای نمایش مجموعه ها و روابط آنهاست. نمودارهای اویلر از منحنی های بسته ساده (معمولاً دایره ها) در صفحه تشکیل شده است که مجموعه ها را نشان می دهد . هر منحنی اویلر صفحه را به دو ناحیه یا "منطقه" تقسیم می کند: داخلی که به طور نمادین عناصر مجموعه را نشان می دهد و بیرونی که همه عناصری را که اعضای مجموعه نیستند را نشان می دهد. اندازه یا شکل منحنی ها مهم نیست. اهمیت نمودار در نحوه همپوشانی آنهاست. روابط فضایی بین مناطق محدود شده توسط هر منحنی (همپوشانی، مهار یا هیچکدام) با روابط نظری مجموعه ( تقاطع ، زیرمجموعه ، و ناپیوستگی ) مطابقت دارد. منحنی هایی که نواحی داخلی آن ها قطع نمی شود مجموعه های ناهمگون را نشان می دهد . دو منحنی که مناطق داخلی آنها متقاطع هستند، مجموعه‌هایی را نشان می‌دهند که دارای عناصر مشترک هستند. منطقه داخل هر دو منحنی مجموعه ای از عناصر مشترک در هر دو مجموعه را نشان می دهد ( تقاطع مجموعه ها). منحنی که به طور کامل در منطقه داخلی دیگری قرار دارد، زیر مجموعه ای از آن را نشان می دهد.

نمودارهای اویلر (و اصلاح آنها با نمودارهای ون ) به عنوان بخشی از آموزش در نظریه مجموعه ها به عنوان بخشی از جنبش ریاضی جدید در دهه 1960 گنجانده شد . ^[105] از آن زمان، آنها به عنوان راهی برای تجسم ترکیبی از ویژگی ها به طور گسترده مورد استفاده قرار گرفتند. ^[106]

موسیقی

یکی از علایق غیرعادی‌تر اویلر، استفاده از ایده‌های ریاضی در موسیقی بود . در سال 1739 او Tentamen novae theoriae musicae ( تلاش برای یک نظریه جدید موسیقی ) را نوشت، به این امید که در نهایت نظریه موسیقی را به عنوان بخشی از ریاضیات وارد کند. با این حال، این بخش از کار او مورد توجه زیادی قرار نگرفت و یک بار برای موسیقیدانان بیش از حد ریاضی و برای ریاضیدانان بیش از حد موزیکال توصیف شد. ^[107] حتی زمانی که با موسیقی سروکار دارد، رویکرد اویلر عمدتاً ریاضی است، ^[108] برای مثال، معرفی لگاریتم های دوتایی او به عنوان روشی برای توصیف عددی تقسیم اکتاوها به قطعات کسری. ^[109] نوشته‌های او در مورد موسیقی بسیار زیاد نیستند (چند صد صفحه، در مجموع تولید حدود سی هزار صفحه‌ای او)، اما منعکس‌کننده دغدغه‌های اولیه و دغدغه‌ای است که در طول زندگی با او باقی ماند. ^[108]

اولین نکته در نظریه موسیقی اویلر، تعریف "ژانرها" است، یعنی تقسیمات احتمالی اکتاو با استفاده از اعداد اول 3 و 5. اویلر 18 گونه از این گونه را توصیف می کند، با تعریف کلی 2 ^m A، که در آن A "نمایش" است. "از ژانر (یعنی مجموع توانای 3 و 5) و 2 ^متر (که در آن "m یک عدد نامشخص است، کوچک یا بزرگ، تا زمانی که صداها قابل درک باشند" ^[110] ) بیانگر این است که این رابطه برقرار است. مستقل از تعداد اکتاوهای مربوطه. ژانر اول، با A = 1، خود اکتاو (یا موارد تکراری آن) است. ژانر دوم، 2 ^متر 3، اکتاو تقسیم بر پنجم (پنجم + چهارم، C–G–C) است. ژانر سوم 2 ^متر .5، سوم ماژور + مینور ششم (C–E–C) است. چهارمی 2 ^متر .3 ² ، دو چهارم و یک تن (C–F–B ♭ –C) است. پنجمین 2 ^متر 0.3.5 (C–E–G–B–C) است. غیره^​​^​​^​​^​​^​​^​​^​​​ ​. ژانر 18 (2 ^m .3 ^3.5 2 ) "دیاتونیکو-کروماتیک" است، "به طور کلی در همه ترکیب ها استفاده می شود"، ^{[111] و معلوم می} شود که با سیستم توصیف شده توسط یوهان متسون یکسان است . ^[112] اویلر بعدها امکان توصیف ژانرها از جمله عدد اول 7 را در نظر گرفت. ^[113]

اویلر یک نمودار خاص به نام Speculum musicum [114] [115] برای نشان دادن ژانر diatonico-chromatic ابداع کرد و مسیرها ^{را در} این نمودار برای فواصل زمانی خاص مورد بحث قرار داد و علاقه خود را به هفت پل کونیگزبرگ یادآوری کرد (به بالا مراجعه کنید). این دستگاه به عنوان Tonnetz در نظریه نئوریمانی مورد توجه مجدد قرار گرفت (همچنین نگاه کنید به شبکه (موسیقی) ). ^[116]

اویلر همچنین از اصل "نما" برای پیشنهاد اشتقاقی از gradus suavitatis (درجه تناسب، سازگاری) فواصل و آکوردها از عوامل اصلی آنها استفاده کرد - باید در نظر داشت که او فقط لحن، یعنی 1 و فقط اعداد اول 3 و 5 ^[117] فرمول هایی پیشنهاد شده است که این سیستم را به هر تعداد اعداد اول بسط می دهد، به عنوان مثال به شکلی که p _i اعداد اول و k _i توان آنها هستند. ^[118] $${\displaystyle ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}$$

فلسفه شخصی و باورهای دینی

اویلر در طول زندگی خود فردی مذهبی بود. ^[20] بسیاری از آنچه در مورد اعتقادات مذهبی اویلر شناخته شده است را می توان از نامه های او به یک شاهزاده خانم آلمانی و اثر قبلی، Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister ( دفاع از وحی الهی در برابر مخالفت های آزاداندیشان ) استنباط کرد. این آثار نشان می‌دهند که اویلر یک مسیحی مؤمن بود که معتقد بود کتاب مقدس الهام گرفته شده است. Rettung در درجه اول استدلالی برای الهام الهی از کتاب مقدس بود . ^{[119] [120]}

اویلر با مفاهیم مونادیسم لایب نیتس و فلسفه کریستین ولف مخالفت کرد . ^[121] اویلر اصرار داشت که دانش تا حدی بر اساس قوانین کمی دقیق بنا شده است، چیزی که مونادیسم و ​​علم ولفی قادر به ارائه آن نبودند. اویلر همچنین عقاید وولف را "خدایی و بی خدا" نامید. ^[122]

افسانه ای معروف ^[123] با الهام از بحث های اویلر با فیلسوفان سکولار در مورد دین وجود دارد که در طول دوره دوم اویلر در آکادمی سنت پترزبورگ روایت می شود. فیلسوف فرانسوی دنیس دیدرو به دعوت کاترین کبیر به روسیه سفر کرده بود. با این حال، امپراتور از اینکه استدلال های فیلسوف برای بی خدایی بر اعضای دربار او تأثیر می گذارد، نگران بود و بنابراین از اویلر خواسته شد تا با مرد فرانسوی مقابله کند. دیدرو مطلع شد که یک ریاضیدان دانشمند دلیلی بر وجود خدا ارائه کرده است : او موافقت کرد که این مدرک را همانطور که در دادگاه ارائه شده است مشاهده کند. اویلر ظاهر شد، به سمت دیدرو پیش رفت، و با لحنی کاملاً اعتقادی این را اعلام کرد :

"آقا ، از این رو خدا وجود دارد - پاسخ دهید!" ${\displaystyle {\frac {a+b^{n}}{n}}=x}$

دیدرو، که (داستان می‌گوید) تمام ریاضیات برای او چرند بود، در حالی که صدای خنده از دادگاه بلند شد، مات و مبهوت ایستاد. او با خجالت خواست که روسیه را ترک کند، درخواستی که با مهربانی توسط امپراتور پذیرفته شد. با توجه به اینکه دیدرو خود در زمینه ریاضیات تحقیق می کرد، هر چقدر هم که این حکایت سرگرم کننده باشد، ناب است. ^{[124] ظاهراً این افسانه اولین بار توسط} دیودونه تیبا و با تزئینات آگوستوس دی مورگان بیان شد . ^[123]

بزرگداشت ها

پرتره اویلر روی سری ششم اسکناس 10 فرانک

پرتره اویلر روی سری هفتم اسکناس 10 فرانکی

اویلر در سری ششم ^[125] و هفتم ^[126] اسکناس‌های 10 فرانکی سوئیس و بر روی تمبرهای پستی سوئیس، آلمان و روسیه به نمایش درآمد. در سال 1782 او به عنوان عضو افتخاری خارجی آکادمی علوم و هنر آمریکا انتخاب شد . ^[127] سیارک 2002 اویلر به افتخار او نامگذاری شد . ^[128]

کتابشناسی برگزیده

اویلر کتابشناسی گسترده ای دارد . کتاب های او عبارتند از:

• مکانیکا (1736)
• Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744) ^[129] ( روشی برای یافتن خطوط منحنی با برخورداری از خواص حداکثر یا حداقل، یا حل مسائل ایزوپریمتری در وسیع ترین مفهوم پذیرفته شده ) ^[130].
• Introdutio in analysin infinitorum (1748) ^{[131] [132]} ( مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت ) ^[133]
• مؤسسات calculi differentialis (1755) ^{[132] [134]} ( مبانی حساب دیفرانسیل )
• Vollständige Anleitung zur Algebra (1765) ^[132] ( عناصر جبر )
• مؤسسات calculi integralis (1768-1770) ^[132] ( مبانی حساب انتگرال )
• نامه هایی به یک شاهزاده خانم آلمانی (1768-1772) ^[37]
• Dioptrica ، که در سه جلد در سال 1769 منتشر شد ^[98]

تا سال 1830 طول کشید تا بخش عمده ای از آثار پس از مرگ اویلر به صورت جداگانه منتشر شود، ^[135] با یک دسته اضافی از 61 اثر منتشر نشده که توسط پل هاینریش فون فوس (نبیره اویلر و پسر نیکلاس فوس ) کشف و به عنوان یک مجموعه منتشر شد. در سال 1862. ^{[135] [136] کاتالوگ} زمانی از آثار اویلر توسط ریاضیدان سوئدی گوستاف انستروم گردآوری شد و از سال 1910 تا 1913 منتشر شد . ^[138] آرشیو اویلر قبل از انتقال به انجمن ریاضی آمریکا ^[140] و اخیراً به دانشگاه اقیانوس آرام در سال 2017 در کالج دارتموث ^{[139] آغاز شد. [141]}

در سال 1907، آکادمی علوم سوئیس کمیسیون اویلر را ایجاد کرد و آن را مسئول انتشار آثار کامل اویلر کرد. پس از چندین تأخیر در قرن نوزدهم، [ ^135] اولین جلد از Opera Omnia در سال 1911 منتشر شد ^. خوشبختانه، انتشار اویلر اپرای اومنیا با بیش از 70 جلد (هر کدام به طور متوسط ​​426 صفحه) تا سال 2006 و 80 جلد تا سال 2022 منتشر شده است. ^{[143] [12] [14]} این مجلدات در چهار سری تنظیم شده اند. سری اول آثاری را در زمینه تجزیه و تحلیل، جبر و نظریه اعداد جمع آوری می کند. شامل 29 جلد و تعداد بیش از 14000 صفحه است. 31 جلد از سری دوم، بالغ بر 10660 صفحه، شامل آثار مکانیک، نجوم، و مهندسی است. سری سوم شامل 12 جلد در زمینه فیزیک است. مجموعه IV، که شامل حجم عظیمی از مکاتبات اویلر، دست نوشته های منتشر نشده و یادداشت هاست، تنها در سال 1967 شروع به گردآوری کرد. پس از انتشار 8 جلد چاپی در سری IV، پروژه در سال 2022 تصمیم گرفت که مجلدات پیش بینی شده باقی مانده خود را در سری 4 فقط در قالب آنلاین منتشر کند. . ^{[12] [142] [14]}

• 
  تصویر از Solutio problematis... a. 1743 پیشنهاد منتشر شده در Acta Eruditorum ، 1744
• 
  صفحه عنوان روش اویلر inveniendi lineas curvas
• 
  نقشه جهان اویلر در سال 1760
• 
  نقشه 1753 اویلر از آفریقا

یادداشت ها

1. توسط یک شجره نامه دانشگاهی به عنوان معادل مشاور دکتری لاگرانژ ذکر شده است. ^[1]
2. تلفظ / ˈ juː l ər / YOO -lər نادرست در نظر گرفته می شود. ^{[2] [3] [4] [5]}
3. این نقل قول در بررسی Gugliemo Libri از مجموعه مکاتبات اخیر منتشر شده بین ریاضیدانان قرن هجدهم ظاهر شد: " ... nous rappellerions que Laplace lui même, ... ne cessait de répéter aux jeunes mathématiciens ces paroles memorables av nous entendues de sa propre bouche : 'Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous.' " [... به یاد می آوریم که خود لاپلاس، ... هرگز از تکرار این کلمات به یاد ماندنی که از زبان خود او شنیدیم برای ریاضیدانان جوان دست برنمی داشت: "اویلر را بخوانید، اویلر را بخوانید، او استاد ما در همه چیز است."] ^{[ 144]}
4. این نقل قول در نامه‌ای از گاوس به پل فوس به تاریخ 11 سپتامبر 1849 آمده است: ^[10] " Die besondere Herausgabe der kleinern Eulerschen Abhandlungen ist gewiß etwas höchst verdienstliches, [...] durch nichts anderes zu ersetzende Schule für die verschiedenen mathematischen Gebiete bleiben wird "[انتشار ویژه رساله های کوچکتر اویلر قطعاً چیزی بسیار شایسته است، [...] و مطالعه همه آثار اویلر همیشه بهترین مکتب برای دانش آموزان خواهد بود. زمینه های مختلف ریاضی که با هیچ چیز دیگری قابل جایگزینی نیست.]

مراجع

1. Leonhard Euler at the Mathematics Genealogy Project بازیابی شده در ۲ ژوئیه ۲۰۲۱؛ بایگانی شد
2. «اویلر». فرهنگ لغت انگلیسی آکسفورد (ویرایش دوم). انتشارات دانشگاه آکسفورد 1989.
3. «اویلر». دیکشنری آنلاین Merriam–Webster's . 2009. بایگانی شده از نسخه اصلی در 25 آوریل 2009 . بازیابی شده در 5 ژوئن 2009 .
4. «اویلر، لئونهارد». فرهنگ لغت میراث آمریکایی زبان انگلیسی (ویرایش پنجم). بوستون: شرکت Houghton Mifflin . 2011. بایگانی شده از نسخه اصلی در 4 اکتبر 2013 . بازبینی شده در 30 مه 2013 .
5. هیگینز، پیتر ام. (2007). شبکه‌ها، پازل‌ها و پستچی‌ها: کاوشی در پیوندهای ریاضی . انتشارات دانشگاه آکسفورد ص 43. شابک 978-0-19-921842-4.
6. Dunham 1999, p. 17.
7. دبنات، لوکنات (2010). میراث لئونارد اویلر: ادای احترام سه صد ساله. لندن: انتشارات امپریال کالج. pp. vii. شابک 978-1-84816-525-0.
8. دانهام 1999، ص. xiii "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous."
9. گرینشتین، لوئیز؛ لیپسی، سالی آی (2001). اویلر، لئونهارد (1707-1783)». دایره المعارف آموزش ریاضی . راتلج . ص 235. شابک 978-0-415-76368-4.
10. فوس، پل هاینریش؛ گاوس، کارل فردریش (11 سپتامبر 1849). "کارل فردریش گاوس ← پل هاینریش فوس، گوتینگن، 11 سپتامبر 1849".
11. «Leonhardi Euleri Opera Omnia (LEOO)». مرکز اویلر برنولی بایگانی شده از نسخه اصلی در 11 سپتامبر 2022 . بازبینی شده در 11 سپتامبر 2022 .
12. "اثرها". انجمن برنولی اویلر . بایگانی شده از نسخه اصلی در 11 سپتامبر 2022 . بازبینی شده در 11 سپتامبر 2022 .
13. گاوتشی 2008، ص. 3.
14. Assad, Arjang A. (2007). "لئونارد اویلر: یک قدردانی کوتاه". شبکه ها 49 (3): 190-198. doi :10.1002/net.20158. S2CID  11298706.
15. بویر، کارل بی (1 ژوئن 2021). "لئونارد اویلر". دایره المعارف بریتانیکا . بایگانی شده از نسخه اصلی در 3 مه 2021 . بازبینی شده در 27 مه 2021 .
16. Gautschi 2008, p. 4.
17. Calinger 2016، ص. 11.
18. گاوتشی 2008، ص. 5.
19. Calinger 1996, p. 124.
20. Knobloch، Eberhard ; لوهیوارا، IS; Winkler, J., eds. (مه 1983). Zum Werk Leonhard Eulers: Vorträge des Euler-Kolloquiums im Mai 1983 در برلین (PDF) . Birkhäuser Verlag . doi :10.1007/978-3-0348-7121-1. شابک 978-3-0348-7122-8.
21. Calinger 2016، ص. 32.
22. اویلر، لئونهارد (1727). Dissertatio physica de sono [ پایان نامه فیزیکی در مورد صدا ] (به لاتین). بازل: E. و JR Thurnisiorum. بایگانی شده از نسخه اصلی در 6 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 6 ژوئن 2021 - از طریق بایگانی اویلر.
    بروس، ایان به انگلیسی ترجمه شده است . "پایان نامه اویلر د سونو: E002" (PDF) . برخی از آثار ریاضی قرن هفدهم و هجدهم، از جمله اصول نیوتن، مکانیکا اویلر، مقدمه ای در آنالیز و غیره، عمدتاً از لاتین به انگلیسی ترجمه شده اند . بایگانی شده (PDF) از نسخه اصلی در 10 ژوئن 2016 . بازبینی شده در 12 ژوئن 2021 .
    
23. Calinger 1996, p. 125.
24. "آکادمی پاریس". آرشیو اویلر انجمن ریاضی آمریکا بایگانی شده از نسخه اصلی در 30 ژوئیه 2021 . بازبینی شده در 29 ژوئیه 2021 .
25. Calinger 1996, p. 156.
26. Calinger 1996, pp. 121-166.
27. اوکانر، جان جی. رابرتسون، ادموند اف. "نیکلاس (II) برنولی". MacTutor تاریخچه ریاضیات آرشیو . دانشگاه سنت اندروزبازبینی شده در 2 ژوئیه 2021.
28. Calinger 1996، صفحات 126-127.
29. Calinger 1996, p. 127.
30. Calinger 1996, p. 126.
31. Calinger 1996, p. 128.
32. Calinger 1996، صفحات 128-129.
33. Gekker & Euler 2007, p. 402.
34. Calinger 1996, pp. 157-158.
35. گاوتشی 2008، ص. 7.
36. اویلر، لئونهارد (1787). "Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum" [مبانی حساب دیفرانسیل، با کاربردهایی برای تحلیل محدود و سری]. Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae (به لاتین). 1 . پتری گالهاتی: 1–880. بایگانی شده از نسخه اصلی در 6 مه 2021 . بازیابی شده در 8 ژوئن 2021 - از طریق بایگانی اویلر.
37. Dunham 1999، pp. xxiv–xxv.
38. استن، یوهان سی.-ای. (2014). "رویدادهای آکادمیک در سن پترزبورگ". دنباله دار روشنگری . ویتا ریاضی. جلد 17. Birkhäuser . صص 119-135. doi :10.1007/978-3-319-00618-5_7. شابک 978-3-319-00617-8.به خصوص رجوع کنید به پاورقی 37، ص. 131.
39. Finkel، BF (1897). "بیوگرافی - لئونارد اویلر". ماهنامه ریاضی آمریکا . 4 (12): 297-302. doi :10.2307/2968971. JSTOR  2968971. MR  1514436.
40. تریمبل، ویرجینیا ؛ ویلیامز، توماس؛ براچر، کاترین؛ جارل، ریچارد؛ مارکه، جردن دی. Ragep, F. Jamil, eds. (2007). دایره المعارف بیوگرافی منجمان . Springer Science+Business Media . ص 992. شابک 978-0-387-30400-7.موجود در Archive.org
41. کلارک، ویلیام؛ گولینسکی، جان؛ شافر، سیمون (1999). علوم در اروپای روشنگر. انتشارات دانشگاه شیکاگو ص 395. شابک 978-0-226-10940-4. بایگانی شده از نسخه اصلی در 22 آوریل 2021 . بازبینی شده در 15 ژوئن 2021 .
42. Knobloch، Eberhard (2007). "لئونارد اویلر 1707-1783. Zum 300. Geburtstag eines langjährigen Wahlberliners". Mitteilungen der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 15 (4): 276-288. doi : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID  122271644.
43. Gautschi 2008، صفحات 8-9.
44. اویلر، لئونهارد (1802). نامه های اویلر در مورد موضوعات مختلف فیزیک و فلسفه، خطاب به یک شاهزاده خانم آلمانی . ترجمه هانتر، هنری (ویرایش دوم). لندن: موری و هایلی.بایگانی شده از طریق آرشیو اینترنت
45. فردریک دوم پروس (1927). نامه های ولتر و فردریک کبیر، نامه H 7434، 25 ژانویه 1778 . ریچارد آلدینگتون نیویورک: برنتانو .
46. لینچ، پیتر (سپتامبر 2017). اویلر و فواره شکست خورده سانسوچی - این همان ریاضیات است: فردریک کبیر توصیه یک نابغه در ریاضیات و فیزیک را نادیده گرفت. آیریش تایمز بازبینی شده در 26 دسامبر 2023 .
47. ووچینیچ، الکساندر (1960). "ریاضیات در فرهنگ روسیه". مجله تاریخ ایده ها . 21 (2): 164-165. doi :10.2307/2708192. ISSN  0022-5037. JSTOR  2708192. بایگانی شده از نسخه اصلی در 3 اوت 2021 . بازیابی شده در 3 اوت 2021 - از طریق JSTOR .
48. گیندیکین، سیمون (2007). "لئونارد اویلر". داستان های ریاضیدانان و فیزیکدانان . انتشارات اسپرینگر . صص 171-212. doi :10.1007/978-0-387-48811-0_7. شابک 978-0-387-48811-0.به طور خاص رجوع کنید به ص. 182 بایگانی شده در 10 ژوئن 2021 در Wayback Machine .
49. گاوتشی 2008، ص. 9.
50. Knobloch، Eberhard (1998). "ریاضیات در آکادمی علوم پروس 1700-1810". در بگهر، هاینریش; کخ، هلموت ؛ کرامر، یورگ; شاپاخر، نوربرت ؛ تیله، ارنست یوخن (ویرایشگران). ریاضیات در برلین بازل: Birkhäuser Basel . صص 1-8. doi :10.1007/978-3-0348-8787-8_1. شابک 978-3-7643-5943-0.
51. تیله، رودیگر (2005). "ریاضیات و علوم لئونارد اویلر (1707-1783)". ریاضیات و هنر مورخ . کتاب های CMS در ریاضیات. نیویورک: انتشارات اسپرینگر . صص 81-140. doi :10.1007/0-387-28272-6_6. شابک 978-0-387-25284-1.
52. اکرت، مایکل (2002). "اویلر و فواره های سانسوچی". آرشیو تاریخ علوم دقیق . 56 (6): 451-468. doi : 10.1007/s004070200054. ISSN  0003-9519. S2CID  121790508.
53. ماهارا، هیروشی؛ مارتینی، هورست (2017). "درباره قضیه لکسل". ماهنامه ریاضی آمریکا . 124 (4): 337-344. doi :10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. ISSN  0002-9890. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.124.4.337. S2CID  125175471. بایگانی شده از نسخه اصلی در 20 اوت 2021 . بازبینی شده در 16 ژوئن 2021 .
54. تیله، رودیگر (2005). "ریاضیات و علوم لئونارد اویلر". در کینیون، مایکل؛ ون بروملن، گلن (ویرایشگران). ریاضیات و هنر مورخ: سخنرانی های کنت او. می . انتشارات اسپرینگر . صص 81-140. شابک 978-0-387-25284-1.
55. Fuss, Nicolas (1783). "Éloge de M. Léonhard Euler" [تمجید برای لئونارد اویلر]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (به فرانسوی). 1 : 159-212. بایگانی شده از نسخه اصلی در 20 اوت 2021 . بازیابی شده در 19 مه 2018 - از طریق Bioheritage Diversity Library.به انگلیسی به عنوان "Eulogy of Leonhard Euler by Nicolas Fuss" ترجمه شده است. آرشیو MacTutor History of Mathematics . ترجمه گلاس، دانشگاه جان اس دی سنت اندروز . بایگانی شده از نسخه اصلی در 26 دسامبر 2018 . بازیابی شده در 30 اوت 2006 .
56. Calinger 1996, p. 129.
57. گکر و اویلر 2007، ص. 405.
58. مید، فیل (27 نوامبر 1999). "نامه: استعداد غیر معمول". www.newscientist.com . بازبینی شده در 22 سپتامبر 2024 .
59. ناهین، پل جی. (2017). فرمول شگفت انگیز دکتر اویلر: بسیاری از بیماری های ریاضی را درمان می کند. کتابخانه علمی پرینستون پرینستون آکسفورد: انتشارات دانشگاه پرینستون. ص 326. شابک 978-0-691-17591-1.
60. Gautschi 2008, p. 6.
61. Eves، Howard W. (1969). "کوری اویلر". در دایره های ریاضی: گزیده ای از داستان ها و حکایات ریاضی، ربع سوم و چهارم . پریندل، وبر و اشمیت. ص 48. OCLC  260534353.همچنین به نقل از ریچسون (2012)، ص. 17 بایگانی شده در 16 ژوئن 2021 در Wayback Machine ، به نقل از Eves.
62. آسنسی، ویکتور؛ آسنسی، خوزه ام. (مارس 2013). "چشم راست اویلر: سمت تاریک یک دانشمند روشن". بیماری های عفونی بالینی . 57 (1): 158-159. doi :10.1093/cid/cit170. PMID  23487386.
63. بولاک، جان دی. واروار، رونالد ای. هاولی، اچ. برادفورد (آوریل 2022). "چرا لئونارد اویلر نابینا بود؟" مجله بریتانیایی برای تاریخ ریاضیات . 37 : 24-42. doi :10.1080/26375451.2022.2052493. S2CID  247868159.
64. Gautschi 2008, pp. 9-10.
65. مارکیز دو کندورسه . "مداحی اویلر – کندورسه". بایگانی شده از نسخه اصلی در 16 سپتامبر 2006 . بازیابی شده در 30 اوت 2006 .
66. Calinger 2016، صفحات 530-536.
67. بویر، کارل بی . Merzbach, Uta C. (1991). تاریخچه ریاضیات. جان وایلی و پسران ص 439-445. شابک 978-0-471-54397-8.
68. آرنت، یورگ؛ هانل، کریستوف (2006). پی آزاد شد. Springer-Verlag . ص 166. شابک 978-3-540-66572-4. بایگانی شده از نسخه اصلی در 17 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 8 ژوئن 2021 .
69. وانر، گرهارد ؛ هایر، ارنست (2005). تجزیه و تحلیل بر اساس تاریخ آن (ویرایش اول). انتشارات اسپرینگر . ص 63. شابک 978-0-387-77036-9.
70. فرارو 2008، ص. 155.
71. موریس، ایموژن آی. (24 اکتبر 2023). مکانیزه کردن استفاده اویلر از بی نهایت در اثبات مسئله بازل (پایان نامه دکتری). دانشگاه ادینبورگ doi :10.7488/ERA/3835.
72. دانهام 1999.
73. لاگاریاس، جفری سی (اکتبر 2013). "ثابت اویلر: کار اویلر و تحولات مدرن". بولتن انجمن ریاضی آمریکا . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . doi :10.1090/s0273-0979-2013-01423-x. MR  3090422. S2CID  119612431.
74. فاینمن، ریچارد (1970). فصل 22: جبر. سخنرانی های فاینمن در مورد فیزیک . جلد I. p. 10.
75. فرارو 2008، ص. 159.
76. دیویس، فیلیپ جی (1959). "انتگرال لئونارد اویلر: نمایه تاریخی تابع گاما". ماهنامه ریاضی آمریکا . 66 : 849-869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786. MR  0106810.
77. نیکالز، RWD (مارس 2009). "معادله کوارتیک: متغیرها و حل اویلر آشکار شد". روزنامه ریاضی . 93 (526): 66-75. doi :10.1017/S0025557200184190. JSTOR  40378672. S2CID  16741834.
78. Dunham 1999, Ch. 3، چ. 4.
79. Calinger 1996, p. 130.
80. دانهام 1999، ص. 7.
81. پترسون، اس جی (1988). مقدمه ای بر نظریه تابع زتا ریمان. مطالعات کمبریج در ریاضیات پیشرفته. جلد 14. کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج . ص 1. doi :10.1017/CBO9780511623707. شابک 978-0-521-33535-5. MR  0933558. بایگانی شده از نسخه اصلی در 18 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 6 ژوئن 2021 .
82. شیو، پیتر (نوامبر 2007). "سهم اویلر در نظریه اعداد". روزنامه ریاضی . 91 (522): 453-461. doi :10.1017/S0025557200182099. JSTOR  40378418. S2CID  125064003.
83. استیلول، جان (2010). ریاضیات و تاریخچه آن. متون کارشناسی ریاضی . اسپرینگر. ص 40. شابک 978-1-4419-6052-8. بایگانی شده از نسخه اصلی در 27 ژوئیه 2021 . بازبینی شده در 6 ژوئن 2021 ..
84. Dunham 1999, Ch. 1، چ. 4.
85. کالدول، کریس . "بزرگترین عدد اول شناخته شده در سال". PrimePages . دانشگاه تنسی در مارتین . بایگانی شده از نسخه اصلی در 8 اوت 2013 . بازبینی شده در 9 ژوئن 2021 .
86. هاپکینز، برایان؛ ویلسون، رابین (2007). "علم ترکیبات اویلر". لئونارد اویلر: زندگی، کار و میراث . گل میخ. تاریخچه فیلوس ریاضی جلد 5. آمستردام: الزویر. صص 395-408. MR  3890500.
87. Alexanderson, Gerald (ژوئیه 2006). "پل های اویلر و کونیگزبرگ: نمای تاریخی". بولتن انجمن ریاضی آمریکا . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
88. ریچسون 2012.
89. گیبونز، آلن (1985). نظریه نمودار الگوریتمی. انتشارات دانشگاه کمبریج ص 72. شابک 978-0-521-28881-1. بایگانی شده از نسخه اصلی در 20 اوت 2021 . بازبینی شده در 12 نوامبر 2015 .
90. کوشی، آل (1813). "Recherche sur les polyèdres – خاطرات برتر". Journal de l'École polytechnique (به فرانسوی). 9 (کایه 16): 66-86. بایگانی شده از نسخه اصلی در 10 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 10 ژوئن 2021 .
91. L'Huillier، S.-A.-J. (1812-1813). "Mémoire sur la polyèdrométrie". Annales de mathématiques pures et appliquées . 3 : 169-189. بایگانی شده از نسخه اصلی در 10 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 10 ژوئن 2021 .
92. قصاب، جان سی (2003). روش های عددی برای معادلات دیفرانسیل معمولی. نیویورک: جان وایلی و پسران . ص 45. شابک 978-0-471-96758-3. بایگانی شده از نسخه اصلی در 19 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 8 ژوئن 2021 .
93. Calinger 2016، ص 96، 137.
94. فرارو 2008، صفحات 171-180، فصل 14: اشتقاق اویلر از فرمول جمع اویلر-ماکلارین.
95. میلز، استلا (1985). "مشتقات مستقل توسط لئونارد اویلر و کالین مکلارین از فرمول جمع اویلر- مکلارین". آرشیو تاریخ علوم دقیق . 33 (1-3): 1-13. doi :10.1007/BF00328047. MR  0795457. S2CID  122119093.
96. اوجالوو، موریس (دسامبر 2007). "سیصد سال نظریه میله". مجله مهندسی سازه . 133 (12): 1686-1689. doi :10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686).
97. یوشکویچ، AP (1971). اویلر، لئونهارد. در Gillispie، چارلز کولستون (ویرایش). فرهنگ زندگینامه علمی . جلد 4: ریچارد ددکیند – فیرمیکوس ماترنوس. نیویورک: پسران چارلز اسکریبنر . صص 467-484. شابک 978-0-684-16964-4.
98. Davidson, Michael W. (فوریه 2011). "پیشگامان اپتیک: لئونارد اویلر و اتین لوئیس مالوس". میکروسکوپ امروز . 19 (2): 52-54. doi : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID  122853454.
99. Calinger 1996, pp. 152-153.
100. صفحه اصلی، RW (1988). «نظریه «ضد نیوتنی» لئونارد اویلر درباره نور». سالنامه علم . 45 (5): 521-533. doi :10.1080/00033798800200371. MR  0962700.
101. لی، Shengcai (اکتبر 2015). "حباب های کوچک توربین های غول پیکر را به چالش می کشند: پازل سه دره". فوکوس رابط . 5 (5). Royal Society : 20150020. doi :10.1098/rsfs.2015.0020. PMC 4549846 . PMID  26442144. 
102. اویلر، لئونهارد (1757). اصول کلی وضعیت تعادل سیال. Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, Memoires (به فرانسوی). 11 : 217-273. بایگانی شده از نسخه اصلی در 6 مه 2021 . بازبینی شده در 12 ژوئن 2021 .فریش، اوریل (2008) به انگلیسی ترجمه شده است . «ترجمه لئونارد اویلر: اصول کلی حرکت سیالات». arXiv : 0802.2383 [nlin.CD].
103. گاوتشی 2008، ص. 22.
104. بارون، مارگارت ای. (مه 1969). "یادداشتی در مورد توسعه تاریخی نمودارهای منطقی". روزنامه ریاضی . 53 (383): 113-125. doi :10.2307/3614533. JSTOR  3614533. S2CID  125364002.
105. لمانسکی، ینس (2016). "وسیله یا هدف؟ در ارزیابی نمودارهای منطقی". منطق ـ مطالعات فلسفی . 14 : 98-122.
106. راجرز، پیتر (ژوئن ۲۰۱۴). "بررسی نمودارهای اویلر" (PDF) . مجله زبان های تصویری و محاسبات . 25 (3): 134-155. doi :10.1016/j.jvlc.2013.08.006. S2CID  2571971. بایگانی شده (PDF) از نسخه اصلی در 20 اوت 2021 . بازبینی شده در 23 ژوئیه 2021 .
107. Calinger 1996، صفحات 144-145.
108. پسیک، پیتر (2014). اویلر: ریاضیات غم موسیقی؛ اویلر: از صدا به نور. موسیقی و ساخت علم مدرن . مطبوعات MIT صص 133-160. شابک 978-0-262-02727-4. بایگانی شده از نسخه اصلی در 10 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 10 ژوئن 2021 .
109. تگ، توماس (1829). "لگاریتم های دودویی". دایره المعارف لندن; یا فرهنگ لغت جهانی علم، هنر، ادبیات و مکانیک عملی: شامل دیدگاهی رایج از وضعیت کنونی دانش، جلد 4 . صص 142-143. بایگانی شده از نسخه اصلی در 23 مه 2021 . بازبینی شده در 13 ژوئن 2021 .
110. اویلر 1739، ص. 115.
111. امری، اریک (2000). Temps et Musique . لوزان: L'Âge d'homme. صص 344-345.
112. متسون، یوهانس (1731). Grosse General-Baß-Schule. جلد I. هامبورگ. صص 104-106. OCLC  30006387.توسط اویلر ذکر شده است. همچنین: ماتسون، یوهانس (1719). Exemplarische Organisten-Probe. هامبورگ صص 57-59.
113. ببینید:
     • پرت، ویلفرد (1926). چند سوال تئوری موسیقی کمبریج: W. Heffer & Sons. ص 60-62. OCLC  3212114.
     • "جنس اویلر فوکر چیست؟" میکروتونالیته . بنیاد هویگنز فوکر بایگانی شده از نسخه اصلی در 21 مه 2015 . بازبینی شده در 12 ژوئن 2015 .
114. اویلر 1739، ص. 147.
115. اویلر، لئونهارد (1774). "De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 18 . فهرست Eneström 457: 330-353 . بازبینی شده در 12 سپتامبر 2022 .
116. گولین، ادوارد (2009). "جنبه های ترکیبی و دگرگونی موسیقی اویلر اسپکولوم ". در کلوش، تی. نول، تی. (ویرایش‌ها). ریاضیات و محاسبات در موسیقی: اولین کنفرانس بین المللی، MCM 2007 برلین، آلمان، 18 تا 20 می 2007، مقالات منتخب اصلاح شده . ارتباطات در کامپیوتر و علوم اطلاعات. جلد 37. اسپرینگر. ص 406-411. doi :10.1007/978-3-642-04579-0_40. شابک 978-3-642-04578-3.
117. لیندلی، مارک ؛ ترنر اسمیت، رونالد (1993). مدل‌های ریاضی مقیاس‌های موسیقی: رویکردی جدید. بن: Verlag für Systematische Musikwissenschaft. صص 234-239. شابک 9783922626664. OCLC  27789639.همچنین به نولان، کاترین (2002) مراجعه کنید. "تئوری و ریاضیات موسیقی". در کریستنسن، Th. (ویرایش). تاریخ کمبریج تئوری موسیقی غربی . نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج . صص 278-279. شابک 9781139053471. OCLC  828741887.
118. Bailhache, Patrice (17 ژانویه 1997). "La Musique traduite en Mathématiques: Leonhard Euler". Communication au colloque du Center François Viète، "Problèmes de traduction au XVIIIe siècle"، نانت (به فرانسوی). بایگانی شده از نسخه اصلی در 28 نوامبر 2015 . بازبینی شده در 12 ژوئن 2015 .
119. اویلر، لئونهارد (1747). Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister [ دفاع از وحی الهی در برابر مخالفت‌های آزاداندیشان ] (به آلمانی). شاخص Eneström 92. برلین: Ambrosius Haude و Johann Carl Spener. بایگانی شده از نسخه اصلی در 12 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 12 ژوئن 2021 - از طریق بایگانی اویلر.
120. مارکی دو کندورسه (1805). مقایسه با آخرین ویرایش نامه های اویلر منتشر شده توسط دو کندورسه، با نسخه اصلی: دفاع از مکاشفه در برابر ایرادات آزاداندیشان، نوشته آقای اویلر به دنبال اندیشه های نویسنده در مورد دین، حذف شده از آخرین ویرایش نامه های او به یک شاهزاده خانم آلمان (PDF) . ترجمه هو، اندی. بایگانی شده (PDF) از نسخه اصلی در 28 آوریل 2015 . بازبینی شده در 26 ژوئیه 2021 .
121. Calinger 1996, p. 123.
122. Calinger 1996، صفحات 153-154
123. ببینید:
     • براون، BH (مه 1942). "حکایت اویلر- دیدرو". ماهنامه ریاضی آمریکا . 49 (5): 302-303. doi :10.2307/2303096. JSTOR  2303096.
     • Gillings, RJ (فوریه 1954). "به اصطلاح حادثه اویلر دیدرو". ماهنامه ریاضی آمریکا . 61 (2): 77-80. doi :10.2307/2307789. JSTOR  2307789.
     • استرویک، دیرک جی. (1967). تاریخچه مختصر ریاضیات (ویرایش 3 تجدید نظر شده). کتاب های دوور ص 129. شابک 978-0-486-60255-4.
124. مارتی، ژاک (1988). "جنبه های Quelques des travaux de Diderot en "mathématiques mixtes" [برخی از جنبه های کار دیدرو در ریاضیات عمومی]. Recherches sur Diderot et sur l'Encyclopédie (به فرانسوی). 4 (1): 145-147. بایگانی شده از نسخه اصلی در 24 سپتامبر 2015 . بازبینی شده در 20 آوریل 2012 .
125. «Schweizerische Nationalbank (SNB) – Sechste Banknotenserie (1976)». بانک ملی سوئیس بایگانی شده از نسخه اصلی در 3 مه 2021 . بازبینی شده در 15 ژوئن 2021 .
126. «Schweizerische National Bank (SNB) – Siebte Banknotenserie (1984)». بانک ملی سوئیس بایگانی شده از نسخه اصلی در 23 آوریل 2021 . بازبینی شده در 15 ژوئن 2021 .
127. "E" (PDF) . اعضای آکادمی هنر و علوم آمریکا، 1780-2017 . آکادمی هنر و علوم آمریکا . صص 164-179. بایگانی شده (PDF) از نسخه اصلی در 18 فوریه 2019 . بازبینی شده در 17 فوریه 2019 .ورودی برای اویلر در صفحه است. 177.
128. Schmadel, Lutz D. , ed. (2007). "(2002) اویلر". فرهنگ نام سیارات کوچک . برلین ، هایدلبرگ : انتشارات اسپرینگر . ص 162. doi : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . شابک 978-3-540-29925-7.
129. فریزر، کریگ جی. (11 فوریه 2005). کتاب لئونارد اویلر در سال 1744 در مورد حساب تغییرات. الزویر. شابک 978-0-08-045744-4.در Grattan-Guinness 2005، صفحات 168-180
130. اویلر، لئونهارد (1744). Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes، sive solutio problematis isoperimetrici lattissimo sensu accepti [ روشی برای یافتن خطوط منحنی که از خواص حداکثر یا حداقل، یا حل مسائل ایزوپریمتری در وسیع ترین معنای پذیرفته شده برخوردارند ] (در لاتین). بوسکت بایگانی شده از نسخه اصلی در 8 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 8 ژوئن 2021 - از طریق بایگانی اویلر.
131. رایش، کارین (11 فوریه 2005). "مقدمه" بر تجزیه و تحلیل. الزویر. شابک 978-0-08-045744-4.در Grattan-Guinness 2005، صفحات 181-190
132. Ferraro، Giovanni (2007). "رساله های اویلر در مورد تجزیه و تحلیل بی نهایت کوچک: مقدمه ای در تحلیل بی نهایت، نهادهای محاسباتی دیفرانسیل، موسسه محاسبات انتگرالی ". در بیکر، راجر (ویرایشگر). اویلر تجدید نظر کرد: مقالات سه صد ساله (PDF) . هبر سیتی، UT: کندریک مطبوعات. صص 39-101. MR  2384378. بایگانی شده از نسخه اصلی (PDF) در 12 سپتامبر 2022.
133. بررسی مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت :
     • Aiton, EJ "Introduction to analysis of the infinite. Book I. Transl. by John D. Blanton. (انگلیسی)". zbMATH . Zbl  0657.01013.
     • Shiu, P. (دسامبر 1990). "مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت (کتاب دوم)، اثر لئونارد اویلر (ترجمه جان دی. بلانتون)". روزنامه ریاضی . 74 (470): 392-393. doi :10.2307/3618156. JSTOR  3618156.
     • Ştefănescu، Doru. "اولر، لئونهارد مقدمه ای بر تحلیل بی نهایت. کتاب اول. ترجمه از لاتین و با مقدمه ای از جان دی. بلانتون". بررسی های ریاضی . MR  1025504.
134. دمیدوف، اس اس (2005). رساله در حساب دیفرانسیل. الزویر. شابک 978-0080457444. بایگانی شده از نسخه اصلی در 18 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 12 نوامبر 2015 .در Grattan-Guinness 2005، صفحات 191-198.
135. Kleinert، Andreas (2015). "Leonhardi Euleri Opera omnia: ویرایش آثار و مکاتبات لئونارد اویلر". Prace Komisji Historii Nauki PAU . 14 . دانشگاه Jagiellonian : 13-35. doi : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
136. ، لئونهارد؛ فاس، نیکولا ایوانوویچ ؛ فوس، پل (1862). Opera postuma mathematica et physica anno 1844 شناسایی شد که Academiae Scientiarum Petropolitanae obtulerunt ejusque auspicus ediderunt auctoris pronepotes Paulus Henricus Fuss et Nicolaus Fuss . Imperatorskaia akademīia nauk (روسیه) . OCLC  9094558695.
137. Calinger 2016، صفحات ix–x.
138. «شاخص Eneström». آرشیو اویلر بایگانی شده از نسخه اصلی در 9 اوت 2021 . بازبینی شده در 27 مه 2021 .
139. کنپ، سوزان (19 فوریه 2007). "دانش آموزان دارتموث آرشیو آنلاین ریاضیدان تاریخی را می سازند". Vox of Dartmouth . کالج دارتموث بایگانی شده از نسخه اصلی در 28 مه 2010.
140. کلایو، دومینیک (ژوئن-ژوئیه 2011). "آرشیو اویلر به وب سایت MAA منتقل می شود". تمرکز MAA . انجمن ریاضی آمریکا بازیابی شده در 9 ژانویه 2020 .
141. «آرشیو اویلر». دانشگاه اقیانوس آرام . بایگانی‌شده از نسخه اصلی در ۷ ژوئن ۲۰۲۱.
142. پلاس، ماتیاس. "در گوته در ریاضیات". بنیاد ملی علوم سوئیس بایگانی شده از نسخه اصلی در 24 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 16 ژوئن 2021 .
143. Varadarajan, VS (2006). اویلر در طول زمان: نگاهی جدید به مضامین قدیمی انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-8218-3580-7. OCLC  803144928.
144. Libri, Gugliemo (ژانویه 1846). "Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, ..." [مطابقات ریاضی و فیزیکی برخی از هندسه دانان مشهور قرن هجدهم، ...]. Journal des Savants (به فرانسوی): 51. بایگانی شده از نسخه اصلی در 9 اوت 2018 . بازبینی شده در 7 آوریل 2014 .

منابع

• کالینجر، رونالد (1996). "لئونهارد اویلر: اولین سالهای سن پترزبورگ (1727-1741)". Historia Mathematica . 23 (2): 121-166. doi : 10.1006/hmat.1996.0015 .
• کالینجر، رونالد (2016). لئونارد اویلر: نابغه ریاضی در عصر روشنگری. انتشارات دانشگاه پرینستون شابک 978-0-691-11927-4. بایگانی شده از نسخه اصلی در 13 جولای 2017 . بازبینی شده در 4 ژانویه 2017 .
• دانهام، ویلیام (1999). اویلر: استاد همه ما. نمایشگاه های ریاضی Dolciani. جلد 22. انجمن ریاضی آمریکا . شابک 978-0-88385-328-3. بایگانی شده از نسخه اصلی در 13 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 12 نوامبر 2015 .
• اویلر، لئونهارد (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ تلاشی برای نظریه‌ای جدید از موسیقی، با شفافیت کامل، بر اساس مستدل‌ترین اصول هارمونی آشکار شده است ] (به لاتین). سنت پترزبورگ: آکادمی علوم امپراتوری . بایگانی شده از نسخه اصلی در 12 ژوئن 2021 . بازیابی شده در 12 ژوئن 2021 - از طریق بایگانی اویلر.
• فرارو، جیووانی (2008). ظهور و توسعه نظریه سری تا اوایل دهه 1820. Springer Science+Business Media . شابک 978-0-387-73467-5. بایگانی شده از نسخه اصلی در 29 مه 2021 . بازبینی شده در 27 مه 2021 .
• گکر، آی آر. اویلر، AA (2007). "خانواده و نوادگان لئونارد اویلر". در بوگولیوبوف، نیکولای نیکولایویچ ؛ میخائلوف، جی.کی. یوشکویچ، آدولف پاولوویچ (ویرایشگران). اویلر و علم مدرن. ترجمه رابرت برنز. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-564-5. بایگانی شده از نسخه اصلی در 18 مه 2016 . بازبینی شده در 12 نوامبر 2015 .
• گاوتشی، والتر (2008). "لئونارد اویلر: زندگی او، انسان و آثار او". بررسی SIAM . 50 (1): 3-33. Bibcode :2008SIAMR..50....3G. CiteSeerX  10.1.1.177.8766 . doi :10.1137/070702710. ISSN  0036-1445. JSTOR  20454060.
• Grattan-Guinness, Ivor , ed. (2005). نوشته های برجسته در ریاضیات غربی 1640-1940. الزویر. شابک 978-0-08-045744-4.
• ریچسون، دیوید اس. (2012). گوهر اویلر: فرمول چند وجهی و تولد توپولوژی . انتشارات دانشگاه پرینستون ص 17. شابک 978-1-4008-3856-1.

در ادامه مطلب

• بردلی، رابرت ای. دآنتونیو، لارنس آ. سندیفر، چارلز ادوارد (2007). اویلر در 300: قدردانی. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-565-2.
• بردلی، رابرت ای. سندیفر، چارلز ادوارد، ویراستاران. (2007). لئونارد اویلر: زندگی، کار و میراث. مطالعات تاریخ و فلسفه ریاضیات. جلد 5. الزویر. شابک 978-0-444-52728-8. بایگانی شده از نسخه اصلی در 19 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 8 ژوئن 2021 .
• دانهام، ویلیام (2007). نابغه اویلر: تأملی در زندگی و کار او. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-558-4.
• هاشر، خاویر؛ پاپادوپولوس، آتاناس، ویراستاران. (2015). لئونارد اویلر: Mathématicien، physicien et théoricien de la musique (به فرانسوی). پاریس: نسخه های CNRS. شابک 978-2-271-08331-9. بایگانی شده از نسخه اصلی در 8 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 8 ژوئن 2021 .
• سندیفر، سی. ادوارد (2007). ریاضیات اولیه لئونارد اویلر. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-559-1.
• سندیفر، سی. ادوارد (2007). اویلر چگونه این کار را کرد. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-563-8.
• سندیفر، سی. ادوارد (2015). چگونه اویلر حتی بیشتر انجام داد. انجمن ریاضی آمریکا شابک 978-0-88385-584-3. بایگانی شده از نسخه اصلی در 16 ژوئن 2021 . بازبینی شده در 8 ژوئن 2021 .
• شاتشنایدر، دوریس ، ویرایش. (نوامبر 1983). "ادای احترام به لئونارد اویلر 1707-1783 (مجله ویژه)". مجله ریاضی . 56 (5). JSTOR  i326726.

لینک های خارجی

• لئونارد اویلر در پروژه تبارشناسی ریاضیات
• آرشیو اویلر: ترکیب آثار اویلر با ترجمه به انگلیسی
• Opera-Bernoulli-Euler (تألیف آثار اویلر، خانواده برنولی و همتایان معاصر)
• اویلر سه صدمین سالگرد 2007
• انجمن اویلر
• اولریانا در آکادمی علوم و علوم انسانی برلین-براندنبورگ
• درخت خانواده اویلر
• مکاتبات اویلر با فردریک کبیر، پادشاه پروس
• آثار لئونارد اویلر در LibriVox (کتاب‌های صوتی با مالکیت عمومی)
• اوکانر، جان جی. رابرتسون، ادموند اف "لئونارد اویلر". MacTutor تاریخچه ریاضیات آرشیو . دانشگاه سنت اندروز
• دانهام، ویلیام (24 سپتامبر 2009). "یک شب با لئونارد اویلر". یوتیوب . کالج مولنبرگ : philoctetesctr (منتشر شده در 9 نوامبر 2009).(سخنرانی توسط ویلیام دانهام در )
• دانهام، ویلیام (14 اکتبر 2008). "ادای احترام به اویلر - ویلیام دانهام". یوتیوب . کالج Muhlenberg: PoincareDuality (منتشر شده در 23 نوامبر 2011).