سری فوریه

تجزیه توابع تناوبی به مجموع اشکال سینوسی ساده تر

سری فوریه ( / ˈ f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) بسط یک تابع تناوبی به مجموع توابع مثلثاتی است . سری فوریه نمونه‌ای از سری‌های مثلثاتی است ، اما همه سری‌های مثلثاتی سری فوریه نیستند. ^[2] با بیان یک تابع به عنوان مجموع سینوس ها و کسینوس ها، تحلیل بسیاری از مسائل مربوط به تابع آسان تر می شود زیرا توابع مثلثاتی به خوبی درک می شوند. به عنوان مثال، سری فوریه برای اولین بار توسط ژوزف فوریه برای یافتن راه حل برای معادله گرما استفاده شد . این کاربرد امکان پذیر است زیرا مشتقات توابع مثلثاتی در الگوهای ساده قرار می گیرند. سری فوریه را نمی توان برای تقریب توابع دلخواه استفاده کرد، زیرا اکثر توابع دارای تعداد بی نهایت عبارت در سری فوریه خود هستند و این سری ها همیشه همگرا نمی شوند . توابع خوش رفتار، برای مثال توابع صاف ، سری فوریه دارند که به تابع اصلی همگرا می شوند. ضرایب سری فوریه توسط انتگرال های تابع ضرب در توابع مثلثاتی تعیین می شود که در فرم های رایج سری فوریه در زیر توضیح داده شده است.

مطالعه همگرایی سری های فوریه بر رفتار مجموع جزئی تمرکز دارد ، به این معنی که رفتار مجموع را به عنوان تعداد بیشتر و بیشتری از مجموعه ها جمع می کنند. شکل های زیر برخی از نتایج جزئی سری فوریه را برای اجزای یک موج مربعی نشان می دهد .

• 
  یک موج مربعی (که به صورت نقطه آبی نشان داده می‌شود) با ششمین مجموع جزئی آن (که به صورت نقطه بنفش نشان داده می‌شود) تقریبی می‌شود، که با جمع کردن شش جمله اول (نمایش‌شده به صورت فلش) سری فوریه موج مربعی شکل می‌گیرد. هر فلش از مجموع عمودی تمام فلش های سمت چپ شروع می شود (یعنی مجموع جزئی قبلی).
• 
  چهار مجموع جزئی اول سری فوریه برای موج مربع . با اضافه شدن هارمونیک های بیشتر، مجموع جزئی به موج مربعی همگرا می شوند (بیشتر و بیشتر شبیه) می شوند.
• 
  تابع (قرمز) یک مجموع سری فوریه از 6 موج سینوسی به صورت هماهنگ (به رنگ آبی) است. تبدیل فوریه آن یک نمایش حوزه فرکانس است که دامنه موج‌های سینوسی جمع‌شده را نشان می‌دهد. ${\displaystyle s_{6}(x)}$ ${\displaystyle S(f)}$

سری های فوریه ارتباط نزدیکی با تبدیل فوریه دارند ، ابزاری کلی تر که حتی می تواند اطلاعات فرکانس را برای توابعی که دوره ای نیستند پیدا کند . توابع دوره ای را می توان با توابع روی یک دایره شناسایی کرد. به همین دلیل سری های فوریه موضوع تجزیه و تحلیل فوریه روی یک دایره هستند که معمولاً به صورت یا نشان داده می شوند . تبدیل فوریه نیز بخشی از تحلیل فوریه است ، اما برای توابع در تعریف شده است . ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

از زمان فوریه، رویکردهای مختلفی برای تعریف و درک مفهوم سری فوریه کشف شده است که همگی با یکدیگر همخوانی دارند، اما هر کدام بر جنبه های مختلف موضوع تأکید دارند. برخی از رویکردهای قدرتمندتر و ظریف‌تر مبتنی بر ایده‌ها و ابزارهای ریاضی هستند که در زمان فوریه در دسترس نبودند. فوریه در ابتدا سری فوریه را برای توابع با ارزش واقعی آرگومان های واقعی تعریف کرد و از توابع سینوس و کسینوس در تجزیه استفاده کرد. بسیاری از تبدیل‌های مرتبط با فوریه از آن زمان تعریف شده‌اند و ایده اولیه او را به بسیاری از کاربردها گسترش داده و حوزه‌ای از ریاضیات به نام تحلیل فوریه را ایجاد کرده‌اند .

اشکال رایج سری فوریه

سری فوریه یک تابع پیوسته و تناوبی است که از مجموع توابع سینوسی مرتبط با هماهنگی ایجاد می شود. چندین شکل متفاوت اما معادل دارد که در اینجا به صورت مجموع جزئی نشان داده شده است. اما در تئوری نمادهای زیرنویس شده که ضرایب نامیده می شوند و دوره، تابع را به صورت زیر تعیین می کنند : ${\displaystyle N\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)}$

شکل 1. نمودار بالا تابع غیر تناوبی s ( x ) را به رنگ آبی نشان می دهد که فقط در بازه قرمز از 0 تا P تعریف شده است . تابع را می توان در این بازه تحلیل کرد تا سری فوریه در نمودار پایین تولید شود. سری فوریه همیشه یک تابع تناوبی است، حتی اگر تابع اصلی s ( x ) نباشد.

سری فوریه، فرم دامنه فاز

سری فوریه، شکل سینوس کسینوس

سری فوریه، فرم نمایی

هارمونیک ها با یک عدد صحیح نمایه می شوند، که همچنین تعداد چرخه هایی است که سینوسی های مربوطه در بازه ایجاد می کنند . بنابراین، سینوسی ها دارای : ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle P}$

• طول موجی برابر با واحدهای مشابه . ${\displaystyle {\tfrac {P}{n}}}$ ${\displaystyle x}$
• فرکانس برابر در واحدهای متقابل . ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle x}$

واضح است که این سری ها می توانند توابعی را نشان دهند که فقط مجموع یک یا چند فرکانس هارمونیک هستند. نکته قابل توجه این است که به دلیل تعداد نامتناهی عبارت، می تواند فرکانس های میانی و/یا توابع غیر سینوسی را نیز نمایش دهد. فرم دامنه فاز به ویژه برای بینش آن در منطق ضرایب سری مفید است. (نگاه کنید به § اشتقاق) شکل نمایی به آسانی برای توابع با ارزش پیچیده تعمیم می یابد. (به § توابع با ارزش پیچیده مراجعه کنید)

هم ارزی این فرم ها مستلزم روابط معینی بین ضرایب است. به عنوان مثال، هویت مثلثاتی :

معادل سازی فرم های قطبی و مستطیلی

به این معنی است که :

بنابراین و مختصات مستطیلی یک بردار با مختصات قطبی و ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}.}$

ضرایب را می توان داده/فرض کرد، مانند سینت سایزر موسیقی یا نمونه های زمانی یک شکل موج. در مورد دوم، شکل نمایی سری فوریه یک تبدیل فوریه گسسته زمان را ترکیب می کند که در آن متغیر به جای زمان، فرکانس را نشان می دهد. ${\displaystyle x}$

اما معمولاً ضرایب توسط تحلیل فرکانس/هارمونیک یک تابع با ارزش واقعی معین تعیین می‌شوند و زمان را نشان می‌دهند : ${\displaystyle s(x),}$ ${\displaystyle x}$

تحلیل سری فوریه

هدف این است که حداکثر یا همه مقادیر در بازه ای از طول همگرا شوند برای توابع خوش رفتار معمولی فرآیندهای فیزیکی، معمولاً برابری فرض می شود و شرایط دیریکله شرایط کافی را فراهم می کند. ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P.}$

نماد نشان دهنده ادغام در بازه انتخابی است. انتخاب های معمولی هستند و . برخی از نویسندگان به این دلیل تعریف می‌کنند که آرگومان‌های توابع سینوسی را ساده‌تر می‌کند، به‌هزینه عمومیت. و برخی از نویسندگان فرض می کنند که آن نیز دوره ای است، که در این صورت کل تابع را تقریب می زند. ضریب مقیاس با در نظر گرفتن یک مورد ساده توضیح داده می شود : فقط عبارت معادله 2 برای همگرایی مورد نیاز است، و   بر این اساس، معادله 5 ارائه می دهد : ${\displaystyle \int _{P}}$ ${\displaystyle [-P/2,P/2]}$ ${\displaystyle [0,P]}$ ${\displaystyle P\triangleq 2\pi }$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\scriptstyle {\infty }}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{P}}}$ ${\displaystyle s(x)=\cos \left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right).}$ ${\displaystyle n=k}$ ${\displaystyle A_{k}=1}$ ${\displaystyle B_{k}=0.}$

${\displaystyle A_{k}={\frac {2}{P}}\underbrace {\int _{P}\cos ^{2}\left(2\pi {\tfrac {k}{P}}x\right)\,dx} _{P/2}=1,}$       همانطور که لازم است.

ضرایب شکل نمایی

یکی دیگر از هویت های قابل اجرا ، فرمول اویلر است :

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi _{n}\right)}\\[6pt]&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {+n}{P}}x}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {-n}{P}}x}\end{aligned}}}$

(توجه : ∗ نشان دهنده صرف پیچیده است .)

جایگزین کردن این با معادله 1 و مقایسه با معادله 3 در نهایت نشان می دهد :

ضرایب شکل نمایی

برعکس :

روابط معکوس

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}&=C_{0}&\\A_{n}&=C_{n}+C_{-n}\qquad &{\textrm {for}}~n>0\\B_{n}&=i(C_{n}-C_{-n})\qquad &{\textrm {for}}~n>0\end{aligned}}}$

جایگزینی معادله 5 به معادله 6 نیز نشان می دهد : ^[3]

تحلیل سری فوریه

توابع با ارزش پیچیده

معادله 7 و معادله 3 زمانی که تابعی با مقدار مختلط باشد نیز اعمال می شود . ^[A] این با بیان و به عنوان سری فوریه با ارزش واقعی جداگانه و ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (s_{N}(x))}$ ${\displaystyle s_{N}(x)=\operatorname {Re} (s_{N}(x))+i\ \operatorname {Im} (s_{N}(x)).}$

اشتقاق

ضرایب و را می توان بر حسب همبستگی متقابل بین و یک سینوسی در فرکانس درک و استخراج کرد . برای یک فرکانس کلی و یک بازه تحلیل، تابع همبستگی متقابل : ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{P}}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$

شکل 2. منحنی آبی همبستگی متقاطع یک موج مربعی و یک تابع کسینوس است، زیرا تاخیر فاز کسینوس در یک چرخه تغییر می کند. دامنه و تاخیر فاز در حداکثر مقدار مختصات قطبی یک هارمونیک در بسط سری فوریه موج مربع هستند. مختصات مستطیل شکل مربوطه را می توان با ارزیابی همبستگی متقاطع در تنها دو تاخیر فاز که با 90 درجه از هم جدا شده اند تعیین کرد.

اشتقاق معادله 1

در اصل یک فیلتر منطبق با قالب است . حداکثر از اندازه گیری دامنه فرکانس در تابع است و مقدار در حداکثر فاز آن فرکانس را تعیین می کند. شکل 2 یک مثال است که در آن یک موج مربعی (نشان داده نشده) و فرکانس هارمونیک است . همچنین نمونه ای از استخراج حداکثر از تنها دو نمونه، به جای جستجوی کل تابع است. از ترکیب معادله 8 با معادله 4 به دست می آید : ${\displaystyle \cos(2\pi fx)}$ ${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )}$ ${\displaystyle (D)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\varphi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {X} _{n}(\varphi )&={\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x-\varphi \right)\,dx;\quad \varphi \in [0,2\pi ]\\&=\cos(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{A}+\sin(\varphi )\cdot \underbrace {{\tfrac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left(2\pi {\tfrac {n}{P}}x\right)\,dx} _{B}\\&=\cos(\varphi )\cdot A+\sin(\varphi )\cdot B\end{aligned}}}$

مشتق در مرحله حداکثر همبستگی صفر است. ${\displaystyle \mathrm {X} _{n}(\varphi )}$

${\displaystyle \mathrm {X} '_{n}(\varphi )=\sin(\varphi )\cdot A-\cos(\varphi )\cdot B=0\quad \longrightarrow \quad \tan(\varphi )={\frac {B}{A}}\quad \longrightarrow \quad \varphi =\arctan(B,A)}$

بنابراین، محاسبه و بر اساس معادله 5 فاز حداکثر همبستگی جزء را ایجاد می کند . و دامنه مولفه به صورت زیر است : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}\triangleq \mathrm {X} _{n}(\varphi _{n})\ &=\cos(\varphi _{n})\cdot A_{n}+\sin(\varphi _{n})\cdot B_{n}\\&={\frac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot A_{n}+{\frac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\cdot B_{n}={\frac {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}&={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}.\end{aligned}}}$

سایر نمادهای رایج

علامت گذاری برای بحث در مورد ضرایب فوریه چندین تابع مختلف کافی نیست. بنابراین، معمولاً با یک شکل تغییر یافته از تابع ( در این مورد)، مانند یا ، جایگزین می شود و نمادهای تابعی اغلب جایگزین زیرنویس می شوند : ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}(n)}$ ${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\widehat {s}}(n)\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common mathematics notation}}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}&&\scriptstyle {\text{common engineering notation}}\end{aligned}}}$

در مهندسی، به ویژه زمانی که متغیر زمان را نشان می دهد، دنباله ضرایب را نمایش حوزه فرکانس می نامند . از براکت های مربعی اغلب برای تاکید بر اینکه دامنه این تابع مجموعه ای گسسته از فرکانس ها است استفاده می شود. ${\displaystyle x}$

یکی دیگر از نمایش‌های رایج حوزه فرکانس از ضرایب سری فوریه برای تعدیل یک شانه دیراک استفاده می‌کند :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

جایی که یک دامنه فرکانس پیوسته را نشان می دهد. وقتی متغیر دارای واحد ثانیه است، دارای واحد هرتز است . «دندان‌های» شانه در مضرب (یعنی هارمونیک ) فاصله دارند که فرکانس بنیادی نامیده می‌شود . می توان از این نمایش با تبدیل فوریه معکوس بازیابی کرد : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$ ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

بنابراین، تابع ساخته شده معمولاً تبدیل فوریه نامیده می شود ، حتی اگر انتگرال فوریه یک تابع تناوبی در فرکانس های هارمونیک همگرا نباشد. ^[B] ${\displaystyle S(f)}$

مثال تحلیل

نمودار موج دندانه اره ، ادامه دوره ای تابع خطی در بازه ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

طرح انیمیشن پنج سری اول پی در پی جزئی فوریه

عملکرد دندان اره را در نظر بگیرید :

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

در این حالت، ضرایب فوریه با استفاده از

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

می توان نشان داد که سری فوریه در هر نقطه ای که قابل تمایز است همگرا می شود و بنابراین : ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$

وقتی سری فوریه به 0 همگرا می شود که نصف مجموع حد چپ و راست s در . این یک نمونه خاص از قضیه دیریکله برای سری فوریه است. ${\displaystyle x=\pi }$ ${\displaystyle x=\pi }$

این مثال منجر به حل مسئله بازل می شود .

همگرایی

اثبات اینکه یک سری فوریه نمایش معتبری از هر تابع تناوبی است (که شرایط دیریکله را برآورده می کند ) در § قضیه فوریه که همگرایی سری های فوریه را اثبات می کند مرور شده است.

در کاربردهای مهندسی ، سری فوریه معمولاً به جز در ناپیوستگی‌های پرش، همگرا می‌شوند، زیرا توابعی که در مهندسی با آن مواجه می‌شوند نسبت به توابعی که در سایر رشته‌ها با آن مواجه می‌شوند، رفتار بهتری دارند. به طور خاص، اگر پیوسته باشد و مشتق (که ممکن است در همه جا وجود نداشته باشد) مربع انتگرال پذیر باشد، آنگاه سری فوریه به طور مطلق و یکنواخت به . ^[4] اگر یک تابع در بازه مربع انتگرال پذیر باشد ، آنگاه سری فوریه تقریباً در همه جا به تابع همگرا می شود . می توان ضرایب فوریه را برای توابع یا توزیع های کلی تر تعریف کرد، در این صورت همگرایی نقطه ای اغلب با شکست مواجه می شود و معمولاً همگرایی در هنجار یا همگرایی ضعیف مطالعه می شود. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$

• چهار مجموع جزئی (سری فوریه) از طول‌های 1، 2، 3 و 4 جمله، که نشان می‌دهد چگونه تقریب به یک موج مربعی با افزایش تعداد عبارت‌ها بهبود می‌یابد (انیمیشن)
• چهار مجموع جزئی (سری فوریه) از طول‌های 1، 2، 3، و 4 عبارت، که نشان می‌دهد چگونه تقریب به موج دندانه‌اره‌ای با افزایش تعداد عبارت‌ها بهبود می‌یابد (انیمیشن)
• 
  مثالی از همگرایی به یک تابع تا حدودی دلخواه. به توسعه "زنگ" ( پدیده گیبس ) در انتقال به/از بخش های عمودی توجه کنید.

تاریخچه

سری فوریه به افتخار ژان باپتیست ژوزف فوریه (1768-1830) نامگذاری شده است که پس از تحقیقات اولیه توسط لئونارد اویلر ، ژان لو روند دالامبر و دانیل برنولی ، سهم مهمی در مطالعه سری‌های مثلثاتی داشت . ^[C] فوریه این سری را به منظور حل معادله گرما در یک صفحه فلزی معرفی کرد و نتایج اولیه خود را در سال 1807 در خاطرات انتشار گرما در اجسام جامد ( رساله انتشار گرما در اجسام جامد ) منتشر کرد. و Théorie analytique de la chaleur ( نظریه تحلیلی گرما ) خود را در سال 1822 منتشر کرد. Mémoire تجزیه و تحلیل فوریه، به ویژه سری فوریه را معرفی کرد. از طریق تحقیقات فوریه، این واقعیت ثابت شد که یک تابع دلخواه (در ابتدا، پیوسته ^[5] و بعداً به هر قطعه ای - صاف ^[6] تعمیم داده شد ) را می توان با یک سری مثلثاتی نشان داد. اولین اعلام این کشف بزرگ توسط فوریه در سال 1807 و قبل از آکادمی فرانسه انجام شد . ^[7] ایده های اولیه تجزیه یک تابع تناوبی به مجموع توابع نوسانی ساده به قرن 3 قبل از میلاد برمی گردد، زمانی که ستاره شناسان باستان مدلی تجربی از حرکات سیاره ای را بر اساس دفرنت ها و epicycles ارائه کردند .

معادله گرما یک معادله دیفرانسیل جزئی است . قبل از کار فوریه، هیچ راه حلی برای معادله گرما در حالت کلی شناخته نشده بود، اگرچه اگر منبع گرما به روشی ساده رفتار می کرد، به ویژه اگر منبع گرما یک موج سینوسی یا کسینوس بود، راه حل های خاصی شناخته شدند. این راه حل های ساده اکنون گاهی اوقات راه حل های ویژه نامیده می شوند . ایده فوریه این بود که یک منبع گرمایی پیچیده را به عنوان یک برهم نهی (یا ترکیب خطی ) از امواج ساده سینوسی و کسینوس مدل کند، و حل را به عنوان برهم نهی از محلول های ویژه مربوطه بنویسد . این برهم نهی یا ترکیب خطی سری فوریه نامیده می شود.

از دیدگاه مدرن، نتایج فوریه تا حدودی غیر رسمی هستند، به دلیل فقدان مفهوم دقیق عملکرد و انتگرال در اوایل قرن نوزدهم. بعدها، پیتر گوستاو لژون دیریکله ^[8] و برنهارد ریمان ^{[9] [10] [11]} نتایج فوریه را با دقت و صوری بیشتر بیان کردند.

اگرچه انگیزه اولیه حل معادله گرما بود، اما بعداً مشخص شد که تکنیک‌های مشابه را می‌توان برای طیف گسترده‌ای از مسائل ریاضی و فیزیکی، و به‌ویژه آن‌هایی که شامل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت هستند، به کار برد، که برای آنها راه‌حل‌های ویژه سینوسی هستند . سری فوریه کاربردهای بسیاری از این قبیل در مهندسی برق ، تحلیل ارتعاش ، آکوستیک ، اپتیک ، پردازش سیگنال ، پردازش تصویر ، مکانیک کوانتومی ، اقتصاد سنجی ، ^[12] نظریه پوسته ، ^[13] و غیره دارد.

آغازها

جوزف فوریه نوشت: ^{[ مشکوک - بحث ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

ضرب هر دو طرف در ، و سپس ادغام از به بازده: ${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle y=-1}$ ${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

-  ژوزف فوریه، خاطرات در انتشارات د لا چالهور دان‌های بدن جامد . (1807) ^{[14] [D]}

این بلافاصله هر ضریب a _k از سری مثلثاتی را برای φ( y ) برای هر تابعی که چنین بسطی دارد به دست می دهد. به این دلیل کار می کند که اگر φ چنین بسطی داشته باشد، آنگاه (تحت فرضیات همگرایی مناسب) انتگرال را می توان به صورت ترم به ترم انجام داد. اما تمام عبارات مربوط به j ≠ k وقتی از 1- به 1 ادغام می شوند ناپدید می شوند و فقط عبارت باقی می ماند. $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

در این چند خط، که نزدیک به فرمالیسم مدرن مورد استفاده در سری فوریه است، فوریه انقلابی در ریاضیات و فیزیک ایجاد کرد. اگرچه سری‌های مثلثاتی مشابه قبلاً توسط اویلر ، دالامبر ، دانیل برنولی و گاوس استفاده می‌شد ، فوریه معتقد بود که چنین سری‌های مثلثاتی می‌توانند هر تابع دلخواه را نشان دهند. به چه معنا که واقعاً درست است یک موضوع تا حدودی ظریف است و تلاش‌ها در طول سالیان متمادی برای روشن شدن این ایده منجر به اکتشافات مهمی در تئوری‌های همگرایی ، فضاهای تابعی و تحلیل هارمونیک شده است .

هنگامی که فوریه مقاله مسابقه بعدی را در سال 1811 ارائه کرد، کمیته (که شامل لاگرانژ ، لاپلاس ، مالوس و لژاندر و دیگران بود) به این نتیجه رسید: ... شیوه ای که نویسنده به این معادلات می رسد از دشواری ها مستثنی نیست و ... تجزیه و تحلیل او برای ادغام آنها هنوز چیزی را در مورد کلیت و حتی دقت باقی می گذارد . ^{[ نیازمند منبع ]}

انگیزه فوریه

توزیع حرارت در صفحه فلزی به روش فوریه

بسط سری فوریه عملکرد دندان اره (بالا) پیچیده تر از فرمول ساده به نظر می رسد ، بنابراین فوراً مشخص نیست که چرا نیاز به سری فوریه وجود دارد. در حالی که کاربردهای زیادی وجود دارد، انگیزه فوریه در حل معادله گرما بود . به عنوان مثال، یک صفحه فلزی به شکل مربع در نظر بگیرید که اضلاع آن متر است، با مختصات . اگر هیچ منبع گرمایی در داخل صفحه وجود نداشته باشد، و اگر سه ضلع از چهار ضلع در دمای 0 درجه سانتیگراد نگه داشته شوند، در حالی که ضلع چهارم، داده شده با ، در گرادیان دما در درجه سانتیگراد حفظ شود، زیرا در ، می توان نشان داد که توزیع گرمای ثابت (یا توزیع گرما پس از گذشت مدت زمان طولانی) توسط ${\displaystyle s(x)={\tfrac {x}{\pi }}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$ ${\displaystyle y=\pi }$ ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

در اینجا، sinh تابع سینوس هذلولی است . این حل معادله گرما با ضرب هر جمله معادله 9 در بدست می آید . در حالی که به نظر می رسد تابع مثال ما دارای یک سری فوریه بیهوده پیچیده است، توزیع گرما بی اهمیت است. تابع را نمی توان به صورت یک عبارت بسته نوشت . این روش برای حل مسئله گرما با کار فوریه امکان پذیر شد. ${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle T(x,y)}$ ${\displaystyle T}$

برنامه های کاربردی دیگر

کاربرد دیگر حل مسئله بازل با استفاده از قضیه پارسوال است . مثال تعمیم می‌دهد و می‌توان ζ (2 n ) را برای هر عدد صحیح مثبت n محاسبه کرد .

جدول سری های رایج فوریه

برخی از جفت های رایج توابع تناوبی و ضرایب سری فوریه آنها در جدول زیر نشان داده شده است.

• ${\displaystyle s(x)}$تابع تناوبی را با دوره مشخص می کند . ${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle A_{0},A_{n},B_{n}}$ضرایب سری فوریه (شکل سینوس کسینوس) تابع تناوبی را مشخص کنید . ${\displaystyle s(x)}$

جدول خواص اساسی

این جدول برخی از عملیات ریاضی در حوزه زمان و اثر مربوطه را در ضرایب سری فوریه نشان می دهد. علامت گذاری:

• صرف مختلط با یک ستاره نشان داده می شود.
• ${\displaystyle s(x),r(x)}$تعیین توابع دوره ای یا توابعی که فقط برای تعریف شده اند ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x\in [0,P].}$
• ${\displaystyle S[n],R[n]}$ضرایب سری فوریه (شکل نمایی) و را مشخص کنید ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r.}$

خواص تقارن

هنگامی که بخش های واقعی و خیالی یک تابع پیچیده به قسمت های زوج و فرد تجزیه می شوند ، چهار جزء وجود دارد که در زیر با زیرنویس های RE، RO، IE و IO مشخص می شوند. و یک نگاشت یک به یک بین چهار جزء تابع زمان پیچیده و چهار جزء تبدیل فرکانس پیچیده آن وجود دارد: ^[17]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

از اینجا، روابط مختلفی آشکار می شود، به عنوان مثال:

• تبدیل یک تابع با ارزش واقعی ( s _RE + s _RO ) تابع متقارن زوج S _RE + i S _IO است . برعکس، یک تبدیل متقارن متقارن حاکی از یک دامنه زمانی با ارزش واقعی است.
• تبدیل یک تابع با مقدار خیالی ( i s _IE + i s _IO ) تابع متقارن فرد S _RO + i S _IE است و عکس آن درست است.
• تبدیل یک تابع متقارن زوج ( s _RE + i s _IO ) تابع با ارزش واقعی S _RE + S _RO است و عکس آن درست است.
• تبدیل یک تابع متقارن فرد ( s _RO + i s _IE ) تابع با مقدار خیالی i S _IE + i S _IO است و عکس آن درست است.

سایر خواص

لم ریمان-لبگ

اگر ادغام پذیر است ، و این نتیجه به عنوان لم ریمان-لبگ شناخته می شود . ${\displaystyle S}$ ${\textstyle \lim _{|n|\to \infty }S[n]=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }a_{n}=0}$ ${\textstyle \lim _{n\to +\infty }b_{n}=0.}$

قضیه پارسوال

اگر متعلق به (تناوبی در بازه ای از طول ) باشد، پس : ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}\int _{P}|s(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\Bigl |}S[n]{\Bigr |}^{2}.}$

قضیه پلانچرل

اگر ضرایب هستند و سپس یک تابع منحصر به فرد وجود دارد به طوری که برای هر . ${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$ ${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$ ${\displaystyle s\in L^{2}(P)}$ ${\displaystyle S[n]=c_{n}}$ ${\displaystyle n}$

قضایای کانولوشن

با توجه به توابع تناوبی، و با ضرایب سری فوریه و ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle r_{_{P}}}$ ${\displaystyle S[n]}$ ${\displaystyle R[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• حاصل ضرب نقطه ای : نیز دوره ای است و ضرایب سری فوریه آن با انحراف گسسته دنباله های و به دست می آید : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq s_{_{P}}(x)\cdot r_{_{P}}(x)}$$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle H[n]=\{S*R\}[n].}$$
• پیچیدگی تناوبی : نیز دوره ای است، با ضرایب سری فوریه : $${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}s_{_{P}}(\tau )\cdot r_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle H[n]=P\cdot S[n]\cdot R[n].}$$
• دنباله ای مضاعف بینهایت در دنباله ای از ضرایب فوریه یک تابع در اگر و فقط اگر انحرافی از دو دنباله در باشد است . ^[18] را ببینید ${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$ ${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$ ${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

دارایی مشتق

ما می گوییم که متعلق به if یک تابع تناوبی 2 π است که بر روی آن بارها قابل تمایز است و مشتق آن پیوسته است. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

• اگر , پس ضرایب فوریه مشتق را می توان بر حسب ضرایب فوریه تابع از طریق فرمول بیان کرد . ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]}$ ${\displaystyle s'}$ ${\displaystyle {\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\widehat {s'}}[n]=in{\widehat {s}}[n]}$
• اگر , پس . به طور خاص، از آنجایی که برای یک ثابت ما به عنوان داریم ، نتیجه می شود که به سمت صفر میل می کند، به این معنی که ضرایب فوریه سریعتر از k امین توان n برای هر کدام به صفر همگرا می شوند . ${\displaystyle s\in C^{k}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle {\widehat {s^{(k)}}}[n]\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {s}}[n]}$ ${\displaystyle k\geq 1}$

گروه های فشرده

یکی از ویژگی‌های جالب تبدیل فوریه که به آن اشاره کردیم، حمل کانولوشن به محصولات نقطه‌ای است. اگر این خاصیتی است که ما به دنبال حفظ آن هستیم، می توان سری فوریه را روی هر گروه فشرده تولید کرد . نمونه های معمولی شامل آن دسته از گروه های کلاسیک است که فشرده هستند. این تبدیل فوریه را به تمام فضاهای شکل L ² ( G ) تعمیم می دهد، جایی که G یک گروه فشرده است، به گونه ای که تبدیل فوریه پیچش ها را به محصولات نقطه ای حمل می کند. سری فوریه وجود دارد و به روش‌های مشابهی با حالت [− π , π ] همگرا می‌شود .

یک بسط جایگزین برای گروه های فشرده قضیه پیتر-ویل است که نتایجی را در مورد بازنمایی گروه های فشرده مشابه با گروه های محدود به اثبات می رساند.

اوربیتال های اتمی شیمی تا حدی با هارمونیک های کروی توصیف می شوند که می توان از آنها برای تولید سری فوریه روی کره استفاده کرد .

منیفولدهای ریمانی

اگر دامنه یک گروه نباشد، هیچ پیچیدگی ذاتی تعریف شده ای وجود ندارد. با این حال، اگر منیفولد ریمانی فشرده باشد ، دارای عملگر لاپلاس-بلترامی است . عملگر لاپلاس-بلترامی عملگر دیفرانسیل است که با عملگر لاپلاس برای منیفولد ریمانی مطابقت دارد . سپس، بر اساس قیاس، می توان معادلات گرما را در نظر گرفت . از آنجایی که فوریه با تلاش برای حل معادله گرما به مبنای خود رسید، تعمیم طبیعی این است که از حل های ویژه عملگر لاپلاس-بلترامی به عنوان مبنا استفاده کنیم. این سری فوریه را به فضاهایی از نوع تعمیم می دهد که در آن یک منیفولد ریمانی وجود دارد. سری فوریه به روش هایی مشابه مورد همگرا هستند. یک مثال معمولی این است که کره را با متریک معمولی در نظر بگیریم، در این صورت مبنای فوریه از هارمونیک های کروی تشکیل شده است . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle X}$

گروه های آبلی فشرده محلی

تعمیم به گروه های فشرده که در بالا مورد بحث قرار گرفت، به گروه های غیر فشرده و غیرآبلی تعمیم نمی یابد . با این حال، یک تعمیم ساده برای گروه های آبلی فشرده محلی (LCA) وجود دارد .

این تبدیل فوریه را به یا تعمیم می دهد ، جایی که یک گروه LCA است. اگر فشرده باشد، یک سری فوریه نیز به دست می آید، که به طور مشابه با حالت همگرا می شود، اما اگر غیر فشرده باشد، در عوض یک انتگرال فوریه به دست می آید . این تعمیم تبدیل فوریه معمولی را زمانی به دست می‌دهد که گروه آبلی فشرده محلی زیرین باشد . ${\displaystyle L^{1}(G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

برنامه های افزودنی

سری فوریه در یک مربع

همچنین می توانیم سری فوریه را برای توابع دو متغیر و در مربع تعریف کنیم : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\in \mathbb {Z} }c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

علاوه بر مفید بودن برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی مانند معادله گرما، یکی از کاربردهای قابل توجه سری فوریه در مربع در فشرده سازی تصویر است . به طور خاص، استاندارد فشرده‌سازی تصویر JPEG از تبدیل کسینوس گسسته دو بعدی استفاده می‌کند ، شکلی مجزا از تبدیل کسینوس فوریه ، که تنها کسینوس را به عنوان تابع پایه استفاده می‌کند.

برای آرایه های دوبعدی با ظاهر مبهم، نیمی از ضرایب سری فوریه به دلیل تقارن اضافی ناپدید می شوند. ^[19]

سری فوریه از تابع Bravais-شبکه-تناوبی

شبکه سه بعدی Bravais به عنوان مجموعه ای از بردارها تعریف می شود: که در آن اعداد صحیح و سه بردار مستقل خطی هستند. با فرض اینکه تابعی داریم ، به طوری که از شرط تناوب برای هر بردار شبکه Bravais پیروی می کند ، می توانیم یک سری فوریه از آن بسازیم. این نوع تابع می تواند، برای مثال، پتانسیل مؤثری باشد که یک الکترون در داخل یک کریستال تناوبی «احساس» می کند. هنگام استفاده از قضیه بلوخ، ساخت سری فوریه از پتانسیل مفید است . ابتدا، می‌توانیم هر بردار موقعیت دلخواه را در سیستم مختصات شبکه بنویسیم: در جایی که معنای آن قدر تعریف می‌شود ، بردار واحدی که در امتداد آن قرار می‌گیرد نیز همینطور است . $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|,}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} _{i}}}={\frac {\mathbf {a} _{i}}{a_{i}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$

بنابراین ما می توانیم یک تابع جدید تعریف کنیم، $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$$

این تابع جدید ، اکنون تابعی از سه متغیر است که هر کدام دارای تناوب ، و به ترتیب: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle a_{3}}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$$

این ما را قادر می سازد مجموعه ای از ضرایب فوریه بسازیم که هر کدام توسط سه عدد صحیح مستقل نمایه می شوند . در ادامه، از نماد تابع برای نشان دادن این ضرایب استفاده می کنیم، جایی که قبلا از زیرنویس استفاده می کردیم. اگر یک سری برای در بازه برای بنویسیم ، می توانیم موارد زیر را تعریف کنیم: ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \left[0,a_{1}\right]}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$$

و سپس می توانیم بنویسیم: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$$

تعریف بیشتر: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$$

می توانیم یک بار دیگر بنویسیم: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$$

در نهایت با اعمال همان برای مختصات سوم، تعریف می کنیم: $${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$$

ما به صورت زیر می نویسیم: ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$$

تنظیم مجدد: $${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\tfrac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\tfrac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\tfrac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$$

اکنون، هر بردار شبکه متقابلی را می توان نوشت (اما به این معنی نیست که تنها روش نوشتن است) به عنوان , که در آن اعداد صحیح هستند و بردارهای شبکه متقابل برای برآوردن ( for , and for ) هستند. سپس برای هر بردار شبکه متقابل دلخواه و بردار موقعیت دلخواه در فضای شبکه اصلی Bravais، حاصل ضرب اسکالر آنها برابر است با: ${\displaystyle \mathbf {G} =m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ ${\displaystyle i=j}$ ${\displaystyle \delta _{ij}=0}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(m_{1}\mathbf {g} _{1}+m_{2}\mathbf {g} _{2}+m_{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {m_{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {m_{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {m_{3}}{a_{3}}}\right).}$$

بنابراین واضح است که در بسط ما ، مجموع در واقع بیش از بردارهای شبکه متقابل است: ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=f(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$$

کجا $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$$

با فرض اینکه بتوانیم این سیستم از سه معادله خطی را برای ، و بر حسب ، و به منظور محاسبه عنصر حجم در سیستم مختصات مستطیلی اصلی حل کنیم. هنگامی که , و برحسب و را داشته باشیم ، می توانیم تعیین کننده ژاکوبین را محاسبه کنیم : که پس از محاسبه و اعمال برخی هویت های متقابل غیر پیش پا افتاده می توان برابر با: $${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}}$$

(ممکن است برای ساده کردن محاسبات، کار در چنین سیستم مختصات مستطیلی، که در آن موازی با محور x باشد ، در صفحه xy قرار داشته باشد و اجزای هر سه محور را داشته باشد، مفید باشد) . مخرج دقیقاً حجم سلول واحد اولیه است که توسط سه بردار اولیه محصور شده است . به طور خاص، ما اکنون می دانیم که ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{3}}$ $${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\cdot dx\,dy\,dz.}$$

اکنون می‌توانیم به‌عنوان یک انتگرال با سیستم مختصات سنتی روی حجم سلول اولیه بنویسیم، به‌جای اینکه با متغیرهای و و : نوشتن برای عنصر حجم ; و جایی که سلول واحد اولیه است، بنابراین، حجم سلول واحد اولیه است. ${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ $${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$ ${\displaystyle dx\,dy\,dz}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{1}\cdot (\mathbf {a} _{2}\times \mathbf {a} _{3})}$

تفسیر فضایی هیلبرت

در زبان فضاهای هیلبرت ، مجموعه توابع یک مبنای متعارف برای فضای توابع مربع انتگرال پذیر در . این فضا در واقع یک فضای هیلبرت با یک محصول درونی است که برای هر دو عنصر و توسط: ${\displaystyle \left\{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$مزدوج مختلط کجاست ${\displaystyle g^{*}(x)}$ ${\displaystyle g(x).}$

نتیجه اصلی سری فوریه برای فضاهای هیلبرت را می توان به صورت نوشتاری نوشت

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

همانطور که در بالا نشان داده شد سینوس ها و کسینوس ها یک مجموعه متعامد را تشکیل می دهند. انتگرال سینوس، کسینوس و حاصل ضرب آنها صفر است (مناطق سبز و قرمز مساوی هستند و حذف می شوند) زمانی که , یا توابع متفاوت هستند و π فقط اگر و برابر باشند و تابع استفاده شده یکسان است. اگر انتگرال برابر با 1 باشد، آنها یک مجموعه متعارف را تشکیل می دهند (یعنی هر تابع باید بر اساس مقیاس شود ). ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {\pi }}}$

این دقیقاً مطابق با فرمول نمایی پیچیده داده شده در بالا است. نسخه با سینوس و کسینوس نیز با تفسیر فضای هیلبرت توجیه می شود. در واقع، سینوس ها و کسینوس ها یک مجموعه متعامد را تشکیل می دهند : (که δ _mn دلتای کرونکر است )، و علاوه بر این، سینوس ها و کسینوس ها نسبت به تابع ثابت متعامد هستند . یک مبنای متعارف برای متشکل از توابع واقعی توسط توابع و با n = 1,2، تشکیل می شود... چگالی دهانه آنها نتیجه قضیه استون- وایرشتراس است ، اما از خواص هسته های کلاسیک نیز ناشی می شود. مانند هسته Fejér . $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$$ $${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;}$$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

قضیه فوریه اثبات همگرایی سری فوریه

این قضایا، و تغییرات غیررسمی آنها که شرایط همگرایی را مشخص نمی‌کنند، گاهی اوقات به طور کلی به عنوان قضیه فوریه یا قضیه فوریه نامیده می‌شوند . ^{[20] [21] [22] [23]}

معادله 3 قبلی :

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x},}$

یک چند جمله ای مثلثاتی درجه است که به طور کلی می تواند به صورت زیر بیان شود : ${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}.}$

دارای حداقل مربعات

قضیه پارسوال بیانگر این است که:

قضیه  -  چند جمله‌ای مثلثاتی بهترین چند جمله‌ای مثلثاتی با درجه تقریبی منحصر به فرد است ، به این معنا که برای هر چند جمله‌ای مثلثاتی درجه ، داریم: که در آن هنجار فضای هیلبرت به صورت زیر تعریف می‌شود: ${\displaystyle s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$$ $${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$$

قضایای همگرایی

به دلیل ویژگی حداقل مربعات و به دلیل کامل بودن مبنای فوریه، یک نتیجه همگرایی ابتدایی به دست می آوریم.

قضیه  -  اگر متعلق به (فاصله ای از طول ) باشد، به در همگرا می شود ، یعنی  به صورت 0 همگرا می شود . ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{2}(P)}$ ${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

قبلاً اشاره کردیم که اگر به طور پیوسته قابل تمایز است، ضریب فوریه مشتق است . از آنجایی که مشتق پیوسته و در نتیجه محدود است، مربع انتگرال پذیر است و ضرایب فوریه آن مربع قابل جمع است . سپس، توسط نابرابری کوشی-شوارتز ، ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle s'}$

${\displaystyle \left(\sum _{n\neq 0}|S[n]|\right)^{2}\leq \sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \sum _{n\neq 0}|nS[n]|^{2}.}$

این بدان معنی است که کاملاً قابل جمع است. مجموع این سری یک تابع پیوسته است، برابر است ، زیرا سری فوریه در همگرا می شود : ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle s}$

قضیه  -  اگر ، پس به طور یکنواخت همگرا می شود (و از این رو نیز به صورت نقطه ای .) ${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle s}$

این نتیجه را می توان به راحتی ثابت کرد اگر بیشتر فرض شود ، زیرا در آن حالت به صفر تمایل دارد . به طور کلی تر، سری فوریه کاملاً قابل جمع است، بنابراین به طور یکنواخت به همگرا می شود ، مشروط بر اینکه یک شرط دارنده نظم را برآورده کند . در حالت کاملاً قابل جمع، نابرابری: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle n^{2}S[n]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$

همگرایی یکنواخت را ثابت می کند.

بسیاری از نتایج دیگر در مورد همگرایی سری فوریه شناخته شده‌اند، از نتیجه نسبتاً ساده که این سری در if قابل تمایز است تا نتیجه بسیار پیچیده‌تر لنارت کارلسون که سری فوریه یک تابع در واقع تقریباً در همه جا همگرا می‌شود، متغیر است . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L^{2}}$

واگرایی

از آنجایی که سری های فوریه چنین ویژگی های همگرایی خوبی دارند، بسیاری از برخی از نتایج منفی اغلب شگفت زده می شوند. برای مثال، سری فوریه یک تابع دوره ای T پیوسته نیازی به همگرایی نقطه ای ندارد. اصل کرانه یکنواخت یک اثبات ساده غیر سازنده برای این واقعیت به دست می دهد.

در سال 1922، آندری کولموگروف مقاله‌ای با عنوان Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout منتشر کرد که در آن نمونه‌ای از تابع ادغام‌پذیر Lebesgue را ارائه کرد که سری فوریه آن تقریباً در همه جا واگرا است. او بعداً نمونه ای از یک تابع یکپارچه ساخت که سری فوریه آن در همه جا واگرا می شود. ^[24]

می توان مثال های صریحی از یک تابع پیوسته که سری فوریه آن در 0 واگرا می شود ارائه کرد: به عنوان مثال، تابع زوج و 2π-تناوبی f که برای همه x در [0,π] توسط ^{[25] تعریف شده است.}

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sin \left[\left(2^{n^{3}}+1\right){\frac {x}{2}}\right].}$

زیرا تابع حتی سری فوریه است که فقط کسینوس دارد:

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }C_{m}\cos(mx).}$

ضرایب عبارتند از:

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\left\{{\frac {2}{2^{n^{3}}+1-2m}}+{\frac {2}{2^{n^{3}}+1+2m}}\right\}}$

با افزایش m ، ضرایب مثبت و افزایش می‌یابند تا زمانی که به مقداری در حدود n برسند و سپس منفی می‌شوند (با مقدار حدود شروع می‌شوند ) و کوچکتر می‌شوند، قبل از شروع چنین موج جدیدی. در سری فوریه به سادگی مجموع در حال اجرا است و این به حدود می رسد ${\displaystyle C_{m}\approx 2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle m=2^{n^{3}}/2}$ ${\displaystyle -2/(n^{2}\pi )}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle C_{m},}$

${\displaystyle {\frac {1}{n^{2}\pi }}\sum _{k=0}^{2^{n^{3}}/2}{\frac {2}{2k+1}}\sim {\frac {1}{n^{2}\pi }}\ln 2^{n^{3}}={\frac {n}{\pi }}\ln 2}$

در موج n قبل از بازگشت به حدود صفر، نشان می دهد که این سری در صفر همگرا نمی شود بلکه به قله های بالاتر و بالاتر می رسد. توجه داشته باشید که اگرچه تابع پیوسته است، اما قابل تمایز نیست.

همچنین ببینید

• قضیه ATS
• قضیه کارلسون
• هسته دیریکله
• تبدیل فوریه گسسته
• تبدیل فوریه سریع
• قضیه فجر
• تحلیل فوریه
• سری سینوس و کسینوس فوریه
• تبدیل فوریه
• پدیده گیبس
• نیم برد سری فوریه
• سری Laurent - جایگزینی q  =  e ^ix یک سری فوریه را به یک سری Laurent یا برعکس تبدیل می کند. این در بسط سری q از j -invariant استفاده می شود .
• تحلیل طیفی حداقل مربعات
• تبدیل چند بعدی
• تبدیل سینوس و کسینوس
• نظریه طیفی
• نظریه استورم-لیوویل
• انتگرال های قضیه باقیمانده از f ( z )، تکینگی ها، قطب ها

یادداشت ها

1. اما ، به طور کلی. ${\displaystyle C_{-n}\neq C_{n}^{*}}$
2. از آنجایی که انتگرال تعریف کننده تبدیل فوریه یک تابع تناوبی همگرا نیست، لازم است تابع تناوبی و تبدیل آن را به عنوان توزیع مشاهده کنیم . در این معنا تابع دلتای دیراک است که نمونه ای از توزیع است. ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i2\pi {\tfrac {n}{P}}x}\}}$
3. کارهای اولیه مهمی را روی معادله موج انجام دادند ، به خصوص دالامبر. کار اویلر در این زمینه عمدتاً همزمان / با همکاری برنولی بود ، اگرچه دومی سهم مستقلی در نظریه امواج و ارتعاشات داشت. (نگاه کنید به Fetter & Walecka 2003, pp. 209-210).
4. این کلمات کاملاً از فوریه نیست. در حالی که مقاله ذکر شده نویسنده را به عنوان فوریه ذکر می کند، یک پاورقی نشان می دهد که مقاله در واقع توسط پواسون نوشته شده است (که توسط فوریه نوشته نشده است، همچنین از استفاده مداوم از سوم شخص برای ارجاع به او مشخص است) و اینکه ، "به دلایل علاقه تاریخی"، به گونه ای ارائه شد که گویی خاطرات اصلی فوریه است.

مراجع

1. «فوریه». Dictionary.com Unabridged (آنلاین). nd
2. زیگموند، ا. (2002). سری مثلثاتی (ویرایش سوم). کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 0-521-89053-5.
3. پینکوس، آلن؛ زعفرانی، سامی (1997). سری فوریه و تبدیلات انتگرال (ویرایش اول). کمبریج، انگلستان: انتشارات دانشگاه کمبریج. ص 42-44. شابک 0-521-59771-4.
4. تولستوف، گئورگی پی (1976). سری فوریه. پیک-دوور. شابک 0-486-63317-9.
5. استیلول، جان (2013). "منطق و فلسفه ریاضیات در قرن نوزدهم". در Ten, CL (ویرایش). راتلج تاریخ فلسفه . جلد هفتم: قرن نوزدهم. راتلج. ص 204. شابک 978-1-134-92880-4.
6. فاشاور، گرگ (2015). "مسائل سری فوریه و ارزش مرزی" (PDF) . نکات درس ریاضی 461، چ 3 . گروه ریاضیات کاربردی، موسسه فناوری ایلینویز . بازیابی شده در 6 نوامبر 2020 .
7. کاجوری، فلوریان (1893). تاریخچه ریاضیات. مک میلان. ص 283.
8. Lejeune-Dirichlet، پیتر گوستاو (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données" [درباره همگرایی سری های مثلثاتی که برای نمایش یک تابع دلخواه بین دو حد معین عمل می کنند]. مجله für die reine und angewandte Mathematik (به فرانسوی). 4 : 157-169. arXiv : 0806.1294 .
9. «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» [درباره قابلیت بازنمایی یک تابع توسط یک سری مثلثاتی]. Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , vol. 13، 1867. پس از مرگ برای ریمان توسط ریچارد ددکیند (به آلمانی) منتشر شد. بایگانی شده از نسخه اصلی در 20 مه 2008 . بازیابی شده در 19 مه 2008 .
10. مسکر، دی. ریمان، برنهارد (1867)، "تز پس از مرگ در مورد نمایش توابع توسط سری مثلثاتی"، در Grattan-Guinness, Ivor (ed.), Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940, Elsevier (انتشار 2005)، ص. 49، شابک 9780080457444
11. رمرت، راینهولد (1991). نظریه توابع مختلط: خواندن در ریاضیات. اسپرینگر. ص 29. شابک 9780387971957.
12. نرلوو، مارک؛ گرتر، دیوید ام. کاروالیو، خوزه ال. (1995). تجزیه و تحلیل سری های زمانی اقتصادی. تئوری اقتصاد، اقتصاد سنجی و اقتصاد ریاضی . الزویر. شابک 0-12-515751-7.
13. Wilhelm Flügge , Stresses in Shells (1973) ویرایش دوم. شابک 978-3-642-88291-3 . در اصل به زبان آلمانی با نام Statik und Dynamik der Schalen (1937) منتشر شد. 
14. فوریه، ژان باپتیست ژوزف (۱۸۸۸). گاستون داربوکس (ویرایشگر). Oeuvres de Fourier [ آثار فوریه ] (به فرانسوی). پاریس: Gauthier-Villars et Fils. ص 218-219 – از طریق گالیکا.
15. Papula، Lothar (2009). Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler [ توابع ریاضی برای مهندسان و فیزیکدانان ] (به آلمانی). Vieweg + Teubner Verlag. شابک 978-3834807571.
16. شمالی، YS (2007). سیگنال های زمان پیوسته اسپرینگر. شابک 978-1402062711.
17. پرواکیس، جان جی. Manolakis، Dimitris G. (1996). پردازش سیگنال دیجیتال: اصول، الگوریتم ها و کاربردها (ویرایش سوم). سالن پرنتیس ص 291. شابک 978-0-13-373762-2.
18. «ویژگی‌های یک زیرفضای خطی مرتبط با سری فوریه». MathOverflow. 19-11-2010 . بازیابی شده در 2014-08-08 .
19. ناپدید شدن نیمی از ضرایب فوریه در آرایه های پلکانی
20. سیبرت، ویلیام مک سی. (1985). مدارها، سیگنال ها و سیستم ها. مطبوعات MIT. ص 402. شابک 978-0-262-19229-3.
21. مارتون، ال. مارتون، کلر (1990). پیشرفت در الکترونیک و فیزیک الکترون. مطبوعات دانشگاهی. ص 369. شابک 978-0-12-014650-5.
22. کوزمانی، هانس (1998). طیف سنجی حالت جامد اسپرینگر. ص 14. شابک 978-3-540-63913-8.
23. پریبرام، کارل اچ. یاسو، کونیو؛ جیبو، ماری (1991). مغز و ادراک. لارنس ارلبوم همکاران. ص 26. شابک 978-0-89859-995-4.
24. Katznelson، Yitzhak (1976). مقدمه ای بر تجزیه و تحلیل هارمونیک (ویرایش دوم تصحیح شده). New York, NY: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4.
25. گوردون، خاویر (2009). Les Maths en tête. تجزیه و تحلیل (نسخه 2ème) (به زبان فرانسوی). بیضی ها. ص 264. شابک 978-2729837594.

در ادامه مطلب

• ویلیام ای. بویس; ریچارد سی دی پریما (2005). معادلات دیفرانسیل ابتدایی و مسائل ارزش مرزی (ویرایش هشتم). نیوجرسی: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43338-1.
• جوزف فوریه، ترجمه الکساندر فریمن (1382). تئوری تحلیلی گرما . انتشارات دوور. شابک 0-486-49531-0.2003 بازنشر بدون خلاصه ترجمه انگلیسی 1878 توسط الکساندر فریمن از اثر فوریه Théorie Analytique de la Chaleur ، که در ابتدا در سال 1822 منتشر شد.
• انریکه آ. گونزالس-ولاسکو (1992). "ارتباطات در تحلیل ریاضی: مورد سری فوریه". ماهنامه ریاضی آمریکا . 99 (5): 427-441. doi :10.2307/2325087. JSTOR  2325087.
• فتر، الکساندر ال. والکا، جان دیرک (2003). مکانیک نظری ذرات و پیوسته. پیک. شابک 978-0-486-43261-8.
• فلیکس کلاین , توسعه ریاضیات در قرن 19 . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. ترجمه شده توسط M. Ackerman از Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlin, 1928.
• والتر رودین (1976). اصول آنالیز ریاضی (ویرایش سوم). نیویورک: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• A. Zygmund (2002). سری مثلثاتی (ویرایش سوم). کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 0-521-89053-5.اولین نسخه در سال 1935 منتشر شد.

لینک های خارجی

• "سری فوریه"، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
• هابسون، ارنست (1911). "سریال فوریه"  . دایره المعارف بریتانیکا . جلد 10 (ویرایش یازدهم). صص 753-758.
• Weiststein, Eric W. "Fourier Series". دنیای ریاضی .
• جوزف فوریه – سایتی در مورد زندگی فوریه که برای بخش تاریخی این مقاله در ماشین راه‌اندازی (بایگانی شده در 5 دسامبر 2001) استفاده شده است.

این مقاله حاوی مطالبی از نمونه سری فوریه در PlanetMath است که تحت مجوز Creative Commons Attribution/Share-Alike مجوز دارد .