فرافکنی مرکاتور

پیش بینی نقشه منسجم استوانه ای

نمایی مرکاتور از جهان بین 85 درجه جنوبی و 85 درجه شمالی. به مقایسه اندازه گرینلند و آفریقا توجه کنید.

برآمدگی مرکاتور با شاخص تغییر شکل تیسوت .

نقشه جهانی Mercator 1569 ( Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata ) عرض های جغرافیایی 66 درجه جنوبی تا 80 درجه شمالی را نشان می دهد.

طرح مرکاتور ( / m ər ˈ k eɪ t ər / ) یک طرح نقشه استوانه‌ای منسجم است که برای اولین بار توسط جغرافی‌دان و نقشه‌ساز فلاندری جراردوس مرکاتور در سال 1569 ارائه شد. در قرن هجدهم، به دلیل ویژگی‌های آن به عنوان طرح استاندارد نقشه برای ناوبری تبدیل شد. نشان دادن خطوط رومب به صورت خطوط مستقیم. هنگامی که بر روی نقشه های جهان اعمال می شود، طرح مرکاتور اندازه زمین ها را هر چه از خط استوا دورتر می کند باد می کند . بنابراین، خشکی هایی مانند گرینلند و قطب جنوب بسیار بزرگتر از آنچه در واقع نسبت به خشکی های نزدیک به خط استوا هستند، به نظر می رسند. امروزه طرح Mercator به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد زیرا به غیر از ناوبری دریایی، برای نقشه های وب اینترنتی مناسب است . ^[1]

تاریخچه

جوزف نیدهام ، مورخ چینی، حدس زد که برخی از نمودارهای ستارگان سلسله سونگ چینی ممکن است بر روی طرح مرکاتور تهیه شده باشد. ^[2] با این حال، این ادعا بدون مدرک ارائه شد و کازوهیکو میاجیما، مورخ نجومی، با استفاده از تجزیه و تحلیل کارتومتری به این نتیجه رسید که این نمودارها به جای آن از یک طرح ریزی مستطیل شکل استفاده می کنند . ^[3]

در قرن سیزدهم، اولین نمودارهای پرتولان موجود از دریای مدیترانه، که عموماً بر اساس نقشه‌های عمدی مبتنی نیست، شامل شبکه‌های بادگیر از خطوط متقاطع بود که می‌توان از آن برای کمک به تنظیم یاتاقان کشتی در قایقرانی استفاده کرد. مکان های روی نمودار؛ منطقه ای از زمین که توسط چنین نمودارهایی پوشانده شده بود به اندازه کافی کوچک بود که یک مسیر ثابت تقریباً مستقیم روی نمودار بود. ^{[4] [5]} نمودارها دقت شگفت‌آوری دارند که در نقشه‌های ساخته‌شده توسط محققان اروپایی یا عرب معاصر یافت نمی‌شود، و ساخت آنها همچنان مبهم است. بر اساس تجزیه و تحلیل کارتومتری که به نظر می رسد با اجماع دانشمندان در تضاد است، گمان می رود که آنها در برخی از سنت های نقشه نگاری ناشناخته پیش از قرون وسطی سرچشمه گرفته اند، که احتمالاً شواهدی از برخی درک باستانی از طرح مرکاتور است. ^[6]

ارهارد اتزلاب (Erhard Etzlaub) آلمانی «نقشه‌های قطب‌نما» مینیاتوری (حدود 10×8 سانتی‌متر) از اروپا و بخش‌هایی از آفریقا را حکاکی کرد که عرض‌های جغرافیایی 0 تا 67 درجه را در بر می‌گرفت تا امکان تنظیم ساعت‌های خورشیدی جیبی قابل حمل خود را فراهم کند . در سال 1987 جان اسنایدر بر روی این نقشه ها پیدا شد که مربوط به سال 1511 است . ^[7] با این حال، با توجه به هندسه یک ساعت آفتابی، این نقشه‌ها ممکن است بر اساس طرح استوانه‌ای مرکزی مشابه ، یک مورد محدود از برجستگی گنومونی ، که مبنای ساعت آفتابی است، باشد. اسنایدر ارزیابی خود را به "پیش بینی مشابه" در سال 1993 اصلاح کرد. ^[8]

پدرو نونس ، ریاضیدان و کیهان‌شناس پرتغالی، ابتدا اصل ریاضی خط رومب یا لوکسودروم را توصیف کرد، مسیری با باربری ثابت که نسبت به شمال واقعی اندازه‌گیری می‌شود، که می‌توان از آن در ناوبری دریایی برای انتخاب یاتاقان قطب‌نما استفاده کرد. در سال 1537، او پیشنهاد ساخت یک اطلس دریایی متشکل از چندین صفحه در مقیاس بزرگ در برآمدگی مستطیل شکل را به عنوان راهی برای به حداقل رساندن اعوجاج جهات ارائه کرد. اگر این ورق‌ها به یک مقیاس آورده شده و مونتاژ شوند، به برجستگی مرکاتور نزدیک می‌شوند.

خطوط روم بر روی کره 1541 مرکاتور

در سال 1541، جغرافیدان و نقشه‌ساز فلاندری جراردوس مرکاتور، شبکه‌ای از خطوط لوزی را بر روی کره زمینی که برای نیکلاس پرنوت ساخته بود، گنجاند . ^[9]

در سال 1569، مرکاتور با انتشار یک نقشه جهانی بزرگ به ابعاد 202 در 124 سانتی متر (80 در 49 اینچ) و چاپ در هجده ورق جداگانه، طرح جدیدی را اعلام کرد. Mercator نقشه Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata را عنوان کرد : "توضیح جدید و افزوده شده زمین که برای استفاده ملوانان تصحیح شده است". این عنوان، همراه با توضیح مفصلی برای استفاده از طرح ریزی که به عنوان بخشی از متن روی نقشه ظاهر می شود، نشان می دهد که مرکاتور دقیقاً آنچه را که به دست آورده بود، درک کرده بود و قصد داشت این طرح به ناوبری کمک کند. مرکاتور هرگز روش ساخت و نحوه رسیدن به آن را توضیح نداد. در طول سال‌ها فرضیه‌های مختلفی مطرح شده است، اما در هر صورت دوستی مرکاتور با پدرو نونس و دسترسی او به جداول لوکسودرومیک که نونس ایجاد کرده بود، احتمالاً به تلاش‌های او کمک کرده است. ^[10]

ریاضیدان انگلیسی ، ادوارد رایت، اولین جداول دقیق را در سال 1599 و با جزئیات بیشتر در سال 1610 منتشر کرد و رساله خود را "خطاهای معین در ناوبری" نامید. اولین فرمول ریاضی در حدود سال 1645 توسط ریاضیدانی به نام هنری باند ( حدود  1600-1678 ) منتشر شد. با این حال، ریاضیات درگیر توسعه یافت اما هرگز توسط ریاضیدان توماس هریوت از حدود 1589 منتشر نشد. ^[11]

توسعه طرح مرکاتور یک پیشرفت بزرگ در نقشه برداری دریایی قرن شانزدهم بود. با این حال، بسیار جلوتر از زمان خود بود، زیرا تکنیک های ناوبری و نقشه برداری قدیمی با استفاده از آن در ناوبری سازگار نبود. دو مشکل اصلی مانع از کاربرد فوری آن شد: عدم امکان تعیین طول جغرافیایی در دریا با دقت کافی و این که از جهت های مغناطیسی به جای جهت های جغرافیایی در جهت یابی استفاده می شد. تنها در اواسط قرن هجدهم، پس از اختراع کرنومتر دریایی و مشخص شدن توزیع فضایی انحراف مغناطیسی ، می توان طرح مرکاتور را به طور کامل توسط دریانوردان پذیرفت.

علیرغم آن محدودیت‌های موقعیت‌یابی، طرح مرکاتور را می‌توان در بسیاری از نقشه‌های جهان در قرن‌های پس از اولین انتشار مرکاتور یافت. با این حال، تا قرن نوزدهم، زمانی که مشکل تعیین موقعیت تا حد زیادی حل شده بود، بر نقشه های جهان تسلط یافت. هنگامی که Mercator به طرح معمولی برای نقشه های تجاری و آموزشی تبدیل شد، به دلیل نمایش نامتعادل آن از توده های خشکی و ناتوانی آن در نشان دادن مفید مناطق قطبی، مورد انتقاد مداوم نقشه نگاران قرار گرفت.

انتقادات وارده به استفاده نامناسب از طرح مرکاتور منجر به انبوهی از اختراعات جدید در اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20 شد که اغلب مستقیماً به عنوان جایگزینی برای Mercator معرفی می شدند. به دلیل این فشارها، ناشران در طول قرن بیستم به تدریج استفاده خود از طرح را کاهش دادند. با این حال، ظهور نقشه‌برداری وب به این طرح تجدید حیات ناگهانی در قالب طرح Web Mercator داد .

امروزه، Mercator را می توان در نمودارهای دریایی، نقشه های گاه به گاه جهان و خدمات نقشه برداری وب یافت، اما اطلس های تجاری تا حد زیادی آن را رها کرده اند، و نقشه های دیواری جهان را می توان در بسیاری از پیش بینی های جایگزین یافت. Google Maps که از سال 2005 به آن متکی بود، هنوز از آن برای نقشه‌های محلی استفاده می‌کند، اما در سال 2017 طرح‌بندی را از پلتفرم‌های دسکتاپ برای نقشه‌هایی که از مناطق محلی بزرگ‌نمایی می‌شوند حذف کرد. بسیاری دیگر از خدمات نقشه برداری آنلاین هنوز به طور انحصاری از Web Mercator استفاده می کنند.

خواص

مقایسه شکل‌های مماس و مقطع برآمدگی‌های مرکاتور معمولی، مایل و عرضی با موازی‌های استاندارد قرمز

برآمدگی مرکاتور را می توان در نتیجه پیچاندن یک استوانه محکم به دور یک کره، با دو سطح مماس بر یکدیگر در امتداد دایره ای در نیمه بین قطب های محور مشترکشان، و سپس به طور منطبق بر سطح آن باز کرد . کروی به سمت بیرون بر روی استوانه، به این معنی که در هر نقطه برآمدگی تصویر قسمت کوچکی از سطح کروی را به طور یکنواخت مقیاس می‌دهد بدون اینکه در غیر این صورت آن را مخدوش کند، و زوایای بین منحنی‌های متقاطع را حفظ می‌کند. پس از آن، این استوانه بر روی یک صفحه صاف باز می شود تا یک نقشه ایجاد شود. در این تفسیر، مقیاس سطح دقیقاً در امتداد دایره ای که استوانه با کره تماس دارد حفظ می شود، اما برای نقاط دورتر از دایره تماس به طور غیرخطی افزایش می یابد. با این حال، با کوچک کردن یکنواخت نقشه مسطح حاصل، به عنوان مرحله آخر، هر جفت دایره موازی و با فاصله مساوی از دایره تماس را می توان انتخاب کرد تا مقیاس آنها حفظ شود که موازی های استاندارد نامیده می شود . سپس ناحیه بین دایره‌های انتخابی مقیاس خود را کوچک‌تر از کره خواهد داشت و در دایره تماس به حداقل می‌رسد. گاهی اوقات این تصویر به عنوان یک برآمدگی بر روی یک استوانه تجسم می شود که به کره (برش) می زند ، اگرچه این تصویر تا آنجا گمراه کننده است زیرا موازی های استاندارد به همان اندازه در نقشه از هم فاصله ندارند که کوتاه ترین فاصله بین آنها از داخل فضای داخلی است. کره ^[12]

اصلی‌ترین و رایج‌ترین جنبه پیش‌بینی مرکاتور برای نقشه‌های زمین، جنبه عادی است که برای آن، محور استوانه، محور چرخش زمین است که از قطب شمال و جنوب می‌گذرد و دایره تماس، استوای زمین است. . همانطور که برای تمام برجستگی های استوانه ای در جنبه عادی، دایره های عرض جغرافیایی و نصف النهارهای طول بر روی نقشه مستقیم و عمود بر یکدیگر هستند و شبکه ای از مستطیل ها را تشکیل می دهند. در حالی که دایره‌های عرض جغرافیایی روی زمین هرچه به قطب‌ها نزدیک‌تر باشند کوچک‌تر هستند، در جهت شرق به غرب کشیده می‌شوند تا طول یکنواخت در هر نقشه استوانه‌ای داشته باشند. در میان برآمدگی‌های استوانه‌ای، برجستگی مرکاتور برآمدگی منحصربه‌فردی است که این کشش شرقی-غربی را با کشش دقیقاً متناظر شمال-جنوب متعادل می‌کند، به طوری که در هر مکان مقیاس به صورت محلی یکنواخت است و زوایای آن حفظ می‌شود.

برجستگی مرکاتور در حالت عادی، مسیرهای باربری ثابت (به نام خطوط رومب یا لوکسودروم ) را روی یک کره تا خطوط مستقیم روی نقشه ترسیم می کند، و بنابراین به طور منحصر به فردی برای ناوبری دریایی مناسب است: مسیرها و یاتاقان ها با استفاده از رز قطب نما یا نقاله اندازه گیری می شوند . جهت های مربوطه به راحتی از نقطه ای به نقطه دیگر روی نقشه منتقل می شوند، به عنوان مثال با کمک یک خط کش موازی .

از آنجایی که مقیاس خطی نقشه مرکاتور در جنبه عادی با عرض جغرافیایی افزایش می‌یابد، اندازه اجرام جغرافیایی دور از خط استوا را تحریف می‌کند و درک نادرستی از هندسه کلی سیاره را منتقل می‌کند. در عرض های جغرافیایی بیشتر از 70 درجه شمالی یا جنوبی، برآمدگی مرکاتور عملاً غیرقابل استفاده است، ^{[ طبق نظر چه کسی؟ ]} زیرا مقیاس خطی در قطب ها بی نهایت بزرگ می شود. بنابراین، یک نقشه مرکاتور هرگز نمی تواند مناطق قطبی را به طور کامل نشان دهد (اما برای کاربردهای پیش بینی های مایل و عرضی مرکاتور، موارد استفاده را در زیر ببینید).

برآمدگی مرکاتور اغلب با برجستگی استوانه‌ای مرکزی مقایسه می‌شود و با آن اشتباه گرفته می‌شود ، که نتیجه پرتاب نقاط از کره به یک استوانه مماس در امتداد خطوط شعاعی مستقیم است، گویی از منبع نوری که در مرکز زمین قرار دارد. ^[13] هر دو دارای اعوجاج شدید دور از استوا هستند و نمی توانند قطب ها را نشان دهند. با این حال، آنها پیش بینی های مختلف هستند و خواص متفاوتی دارند.

تحریف اندازه ها

نسبت های تحریف شده و اندازه واقعی. توجه داشته باشید که نقشه در طول خطوط سیاسی قطع شده است.

برآمدگی های استوانه ای 360 درجه: به صورت مستطیلی، میلر، مرکاتور و استوانه ای واقعی.

مانند تمام پیش‌بینی‌های نقشه ، شکل‌ها یا اندازه‌ها تحریف چینش واقعی سطح زمین هستند. طرح مرکاتور نواحی دور از استوا را اغراق می کند . هر چه به قطب های زمین نزدیک تر باشد، اعوجاج بیشتر است.

نمونه هایی از اعوجاج اندازه

• گرینلند به اندازه آفریقا به نظر می رسد ، در حالی که در واقع مساحت آفریقا 14 برابر بزرگتر است. ^[14]
  • مساحت واقعی گرینلند به تنهایی با جمهوری دموکراتیک کنگو قابل مقایسه است .
  • به نظر می رسد آفریقا تقریباً به اندازه آمریکای جنوبی باشد ، در حالی که در واقعیت آفریقا بیش از یک و نیم برابر بزرگتر است.
• به نظر می رسد آلاسکا به اندازه استرالیا باشد ، اگرچه استرالیا در واقع 4.5 برابر بزرگتر است.
  • آلاسکا بر روی نقشه به اندازه برزیل مساحت دارد ، در حالی که مساحت برزیل تقریباً 5 برابر آلاسکا است.
• ماداگاسکار و بریتانیای کبیر تقریباً یک اندازه به نظر می رسند، در حالی که ماداگاسکار در واقع بیش از دو برابر بزرگتر از بریتانیای کبیر است.

انتقاد

به دلیل انحرافات بزرگ زمین، منتقدانی مانند جورج کلاوی و ایروینگ فیشر این طرح را برای نقشه های کلی جهان نامناسب می دانند. حدس زده شده است که بر دیدگاه مردم نسبت به جهان تأثیر گذاشته است: از آنجا که کشورهای نزدیک به استوا را در مقایسه با کشورهای اروپا و آمریکای شمالی بسیار کوچک نشان می دهد، قرار است باعث شود مردم آن کشورها را کم اهمیت تر بدانند. ^{[15] مرکاتور خود} از برآمدگی سینوسی مساحت مساوی برای نشان دادن مناطق نسبی استفاده کرد. با این حال، با وجود چنین انتقاداتی، طرح مرکاتور، به ویژه در اواخر قرن 19 و اوایل قرن 20، شاید رایج ترین طرح مورد استفاده در نقشه های جهان بود. ^{[16] [17] [18]}

در دهه 1940، اطلس ها تا حد زیادی استفاده از طرح مرکاتور را برای نقشه های جهان یا برای مناطق دورتر از استوا متوقف کردند، و دیگر پیش بینی های استوانه ای یا اشکال طرح ریزی با مساحت مساوی را ترجیح دادند . با این حال، طرح مرکاتور هنوز هم معمولاً برای مناطق نزدیک به استوا که اعوجاج حداقل است استفاده می شود. همچنین اغلب در نقشه های مناطق زمانی یافت می شود. ^[19]

آرنو پیترز در سال 1972 جنجال برانگیخت، زمانی که او آنچه را که امروزه معمولاً طرح گال-پیترز نامیده می شود برای رفع مشکلات مرکاتور پیشنهاد داد و ادعا کرد که این اثر اصلی خودش است بدون ارجاع به کارهای قبلی نقشه نگاران مانند کارهای گال از سال 1855. طرح ریزی که او ترویج کرده است پارامتری خاص از طرح ریزی مساحت مساوی استوانه ای است . در پاسخ، قطعنامه‌ای در سال 1989 توسط هفت گروه جغرافیایی آمریکای شمالی با استفاده از پیش‌بینی‌های استوانه‌ای برای نقشه‌های جهانی همه منظوره، که شامل مرکاتور و گال-پیترز می‌شود، تحقیر شد. ^[20]

استفاده می کند

یک خط لوزی (آبی) در مقایسه با یک کمان دایره بزرگ (قرمز) بین لیسبون، پرتغال، و هاوانا، کوبا. بالا: طرح املایی. پایین: برآمدگی مرکاتور.

عملاً هر نمودار دریایی چاپ شده به دلیل ویژگی های منحصر به فرد مطلوب آن برای ناوبری بر اساس طرح مرکاتور است. همچنین معمولاً توسط سرویس‌های نقشه خیابانی که در اینترنت میزبانی می‌شوند، استفاده می‌شود، به دلیل ویژگی‌های مطلوب منحصر به فرد آن برای نقشه‌های منطقه محلی که بر حسب تقاضا محاسبه می‌شوند. ^[21] پیش‌بینی‌های مرکاتور در توسعه ریاضی تکتونیک صفحه در دهه 1960 نیز مهم بودند. ^[22]

ناوبری دریایی

برجستگی مرکاتور برای استفاده در ناوبری دریایی طراحی شده است زیرا ویژگی منحصر به فرد آن در نمایش هر مسیری از تحمل ثابت به عنوان یک قطعه مستقیم است. چنین مسیری که به نام رامب (Rhumb) شناخته می شود (که متناوباً به آن خط رومب یا لوکسودروم می گویند) در ناوبری دریایی ترجیح داده می شود زیرا کشتی ها می توانند در جهت ثابت قطب نما حرکت کنند. این اصلاحات دشوار و مستعد خطا را کاهش می دهد که در غیر این صورت هنگام قایقرانی در یک مسیر دیگر ضروری است.

برای فواصل کوچک (در مقایسه با شعاع زمین)، تفاوت بین روم و مسیر دایره بزرگ ناچیز است. حتی برای مسافت های طولانی تر، سادگی یاتاقان ثابت آن را جذاب می کند. همانطور که مرکاتور مشاهده می کند، در چنین مسیری، کشتی از کوتاه ترین مسیر نمی رسد، اما مطمئناً خواهد رسید. قایقرانی به این معنی بود که تنها کاری که ملوان ها باید انجام می دادند این بود که یک مسیر ثابت را ادامه دهند تا زمانی که می دانستند زمانی که شروع کردند کجا بودند، زمانی که آنها قصد داشتند کجا باشند، و نقشه ای در طرح مرکاتور داشتند که این دو را به درستی نشان می داد. مختصات ^[23]

وب مرکاتور

بسیاری از خدمات آنلاین بزرگ نقشه برداری خیابان ( Bing Maps ، Google Maps ، Mapbox ، MapQuest ، OpenStreetMap ، Yahoo! Maps ، و سایرین) از گونه ای از طرح ریزی Mercator برای تصاویر نقشه خود استفاده می کنند ^[24] به نام Web Mercator یا Google Web Mercator. علیرغم تغییر مقیاس آشکار آن در سطح جهانی (مقیاس‌های کوچک)، این طرح به‌عنوان یک نقشه جهانی تعاملی مناسب است که می‌تواند به طور یکپارچه روی نقشه‌های محلی (مقیاس بزرگ) بزرگ‌نمایی شود، جایی که به دلیل پیش‌بینی نوع، اعوجاج نسبتا کمی وجود دارد. نزدیک به همنوایی

سیستم‌های کاشی‌کاری خدمات نقشه‌برداری خیابان آنلاین عمده اکثر نقاط جهان را در پایین‌ترین سطح زوم به‌عنوان یک تصویر مربعی منفرد، بدون احتساب مناطق قطبی با برش در عرض‌های جغرافیایی حداکثر _±  85.05113 درجه، نمایش می‌دهند. (به زیر مراجعه کنید.) مقادیر عرض جغرافیایی خارج از این محدوده با استفاده از یک رابطه متفاوت که در φ  = ±90 درجه واگرا نیست، ترسیم می شوند  . ^{[ نیازمند منبع ]}

مرکاتور عرضی

یک برآمدگی عرضی مرکاتور، محور استوانه را به گونه‌ای کج می‌کند که بر محور زمین عمود باشد. سپس خط استاندارد مماس با یک نصف النهار و نصف النهار مخالف آن منطبق می شود، و یک ضریب مقیاس ثابت در امتداد آن نصف النهارها می دهد و این طرح را برای نقشه برداری مناطقی که عمدتاً از نظر وسعت شمال-جنوب هستند مفید می کند. در شکل پیچیده تر بیضی شکل، اکثر سیستم های شبکه ملی در سراسر جهان از Mercator عرضی استفاده می کنند، همانطور که سیستم مختصات Mercator عرضی جهانی نیز استفاده می کند .

مرکاتور مورب

برجستگی مایل مرکاتور با محور آن (خارج از کادر به سمت راست) 2.38 متری جنوب طاق پیروزی در پاریس، فرانسه. ^[25] واگرایی لگاریتمی به گونه‌ای است که بنای یادبود مستطیلی شکل تخم مرغی است و دوازده خیابان تابشی دوربرگردان آن به موازات یکدیگر هستند.

یک برآمدگی مورب مرکاتور، محور استوانه را به دور از محور زمین به زاویه ای که فرد انتخاب می کند، کج می کند، به طوری که خطوط تماس مماس یا متقاطع آن دایره هایی هستند که نسبت به موازی های عرض جغرافیایی زمین نیز کج می شوند. ^[26] کاربردهای عملی برای برجستگی مورب، مانند سیستم‌های شبکه ملی، از پیشرفت‌های بیضی شکل مرکاتور مورب استفاده می‌کنند تا تغییرات مقیاس را در امتداد برجستگی سطح محور استوانه پایین نگه دارند.

ریاضیات

برآمدگی های استوانه ای

اگرچه سطح زمین به بهترین وجه توسط یک بیضی شکل چرخشی مدل‌سازی می‌شود ، اما برای نقشه‌های مقیاس کوچک ، بیضی با کره‌ای به شعاع a تقریب می‌یابد که a تقریباً 6371 کیلومتر است. این تقریب کروی زمین را می توان با یک کره کوچکتر به شعاع R که در این بخش کره نامیده می شود، مدل سازی کرد. کره زمین مقیاس نقشه را تعیین می کند. پیش‌بینی‌های استوانه‌ای مختلف مشخص می‌کنند که چگونه جزئیات جغرافیایی از کره زمین به یک استوانه مماس بر آن در خط استوا منتقل می‌شود. سپس استوانه باز می شود تا نقشه مسطح به دست آید. ^{[27] [28] [ صفحه مورد نیاز ]} کسر ⁠آر/الفکسر نماینده (RF) یا مقیاس اصلی طرح ریزی نامیده می شود . به عنوان مثال، یک نقشه مرکاتور چاپ شده در یک کتاب ممکن است دارای عرض استوایی 13.4 سانتی متر باشد که مطابق با شعاع کره زمین 2.13 سانتی متر و RF تقریباً ⁠1/300 میلیون⁠ (M به عنوان مخفف 1,000,000 در نوشتن RF استفاده می شود) در حالی که نقشه اصلی 1569 Mercator دارای عرض 198 سانتی متر مطابق با شعاع کره زمین 31.5 سانتی متر و RF حدود ⁠ ​​است.1/20 میلیون.​

پیش‌بینی نقشه استوانه‌ای با فرمول‌هایی مشخص می‌شود که مختصات جغرافیایی عرض جغرافیایی  φ و طول جغرافیایی  λ را به مختصات دکارتی روی نقشه با مبدأ روی استوا و محور x در امتداد استوا مشخص می‌کند. با ساخت، تمام نقاط یک نصف النهار روی یک ژنراتور ^[a] استوانه با مقدار ثابت x قرار می گیرند ، اما فاصله y در امتداد ژنراتور (اندازه گیری شده از استوا) تابعی دلخواه ^[b] از عرض جغرافیایی است. y ( φ ). به طور کلی این تابع نمایش هندسی (مانند پرتوهای نور بر روی صفحه) را از مرکز کره زمین به استوانه توصیف نمی کند، که تنها یکی از روش های نامحدود برای طرح مفهومی یک نقشه استوانه ای است.

از آنجایی که استوانه مماس بر کره زمین در استوا است، ضریب مقیاس بین کره و استوانه وحدت روی استوا است اما در هیچ جای دیگری نیست. به ویژه از آنجایی که شعاع یک موازی یا دایره عرض جغرافیایی R  cos  φ است ، موازی متناظر روی نقشه باید با ضریب ⁠ کشیده شده باشد .1/cos φ⁠ = ثانیه φ . این ضریب مقیاس روی موازی به طور معمول با k و ضریب مقیاس مربوطه در نصف النهار با  h نشان داده می شود . ^[29]

ضریب مقیاس

طرح مرکاتور مطابقت دارد . یکی از مفاهیم آن "ایزوتروپی عوامل مقیاس" است، به این معنی که ضریب مقیاس نقطه مستقل از جهت است، به طوری که اشکال کوچک توسط برجستگی حفظ می شود. این بدان معناست که ضریب مقیاس عمودی، h ، برابر با ضریب مقیاس افقی، k است . از آنجایی که k = sec φ , h نیز باید .

نمودار تغییرات این ضریب مقیاس را با عرض جغرافیایی نشان می دهد. برخی از مقادیر عددی در زیر فهرست شده است.

در عرض جغرافیایی 30 درجه ضریب مقیاس   k  = ثانیه 30 درجه = 1.15 است،

در عرض جغرافیایی 45 درجه ضریب مقیاس   k  = ثانیه 45 درجه = 1.41 است،

در عرض جغرافیایی 60 درجه ضریب مقیاس   k  = ثانیه 60 درجه = 2 است،

در عرض جغرافیایی 80 درجه ضریب مقیاس   k  = ثانیه 80 درجه = 5.76 است،

در عرض جغرافیایی 85 درجه ضریب مقیاس   k  = ثانیه 85 درجه = 11.5 است

ضریب مقیاس مساحت حاصل ضرب مقیاس های موازی و نصف النهار hk = sec ² φ است . برای گرینلند، با در نظر گرفتن 73 درجه به عنوان عرض جغرافیایی میانه، hk = 11.7. برای استرالیا، در نظر گرفتن 25 درجه به عنوان عرض جغرافیایی میانه، hk = 1.2. برای بریتانیای کبیر، در نظر گرفتن 55 درجه به عنوان عرض جغرافیایی میانه، hk = 3.04.

تغییر با عرض جغرافیایی گاهی اوقات با مقیاس های نواری متعدد همانطور که در زیر نشان داده شده است نشان داده می شود.

اندیکاتورهای تیسوت در برجستگی مرکاتور

راه کلاسیک برای نشان دادن اعوجاج ذاتی در یک طرح، استفاده از شاخص تیسوت است . نیکلاس تیسو خاطرنشان کرد که فاکتورهای مقیاس در یک نقطه بر روی نقشه، که با اعداد h و k مشخص می شوند ، یک بیضی را در آن نقطه تعریف می کنند. برای برجستگی های استوانه ای، محورهای بیضی با نصف النهارها و موازی ها هم تراز هستند. ^{[30] [c]} برای برآمدگی مرکاتور، h  =  k ، بنابراین بیضی ها به دایره هایی با شعاع متناسب با مقدار ضریب مقیاس برای آن عرض جغرافیایی تبدیل می شوند. این دایره ها بر روی نقشه پیش بینی شده با تنوع بسیار زیاد در اندازه ارائه می شوند که نشان دهنده تغییرات مقیاس مرکاتور است.

تحولات طرح ریزی مرکاتور

اشتقاق

همانطور که در بالا بحث شد، شرط همسانگردی نشان می دهد که h = k = sec φ . نقطه ای از کره زمین به شعاع R با طول جغرافیایی λ و عرض جغرافیایی φ را در نظر بگیرید . اگر φ به مقدار بی نهایت کوچک dφ افزایش یابد ، نقطه Rdφ در امتداد یک نصف النهار کره با شعاع R حرکت می کند ، بنابراین تغییر مربوطه در y ، dy ، باید hR dφ = R  sec  φ dφ باشد . بنابراین y′ ( φ ) =  R  sec  φ . به طور مشابه، افزایش λ توسط dλ ، نقطه R cos φ dλ را در امتداد موازی کره حرکت می‌کند، بنابراین dx = kR cos φ dλ = R dλ . یعنی x′ ( λ ) =  R . ادغام معادلات

${\displaystyle x'(\lambda )=R,\qquad y'(\varphi )=R\sec \varphi ,}$

با x ( λ ₀ ) = 0 و y (0) = 0، x(λ) و y(φ) را می دهد . مقدار λ ₀ طول یک نصف النهار مرکزی دلخواه است که معمولاً، اما نه همیشه، طول جغرافیایی گرینویچ است (یعنی صفر). زوایای λ و φ بر حسب رادیان بیان می شوند. توسط انتگرال تابع سکانت ، ^{[31] [32]}

${\displaystyle x=R(\lambda -\lambda _{0}),\qquad y=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

تابع y ( φ ) در کنار φ برای حالت R  = 1 رسم می شود: در قطب ها به سمت بی نهایت میل می کند. مقادیر خطی محور y معمولاً روی نقشه های چاپی نشان داده نمی شوند. در عوض برخی از نقشه ها مقیاس غیر خطی مقادیر عرض جغرافیایی را در سمت راست نشان می دهند. اغلب اوقات نقشه ها فقط یک خط لوله از نصف النهارها و موازی های انتخاب شده را نشان می دهند.

تبدیل های معکوس

${\displaystyle \lambda =\lambda _{0}+{\frac {x}{R}},\qquad \varphi =2\tan ^{-1}\left[\exp \left({\frac {y}{R}}\right)\right]-{\frac {\pi }{2}}\,.}$

عبارت سمت راست معادله دوم تابع گودرمانی را تعریف می کند . یعنی φ  = gd( ⁠y/آر⁠ ): بنابراین معادله مستقیم ممکن است به صورت y  =  R ·gd ^-1 ( φ ) نوشته شود. ^[31]

عبارات جایگزین

عبارات جایگزین زیادی برای y ( φ ) وجود دارد که همه توسط دستکاری های ابتدایی مشتق شده اند. ^[32]

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=&{\frac {R}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right]&=&{R}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}\right]&=R\ln \left(\sec \varphi +\tan \varphi \right)\\[2ex]&=&R\tanh ^{-1}\left(\sin \varphi \right)&=&R\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)&=R\operatorname {sgn} (\varphi )\cosh ^{-1}\left(\sec \varphi \right)=R\operatorname {gd} ^{-1}(\varphi ).\end{aligned}}}$

معکوس های مربوطه عبارتند از:

${\displaystyle \varphi =\sin ^{-1}\left(\tanh {\frac {y}{R}}\right)=\tan ^{-1}\left(\sinh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {sgn} (y)\sec ^{-1}\left(\cosh {\frac {y}{R}}\right)=\operatorname {gd} {\frac {y}{R}}.}$

برای زوایای بیان شده در درجه:

${\displaystyle x={\frac {\pi R(\lambda ^{\circ }-\lambda _{0}^{\circ })}{180}},\qquad \quad y=R\ln \left[\tan \left(45+{\frac {\varphi ^{\circ }}{2}}\right)\right].}$

فرمول های فوق بر حسب شعاع کره زمین R نوشته شده اند . اغلب کار کردن مستقیم با پهنای نقشه W  = 2 π R راحت است . به عنوان مثال، معادلات تبدیل اولیه تبدیل می شوند

${\displaystyle x={\frac {W}{2\pi }}\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\qquad \quad y={\frac {W}{2\pi }}\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right].}$

برش و نسبت ابعاد

مختصات y طرح مرکاتور در قطب ها بی نهایت می شود و نقشه باید در عرض جغرافیایی کمتر از نود درجه کوتاه شود. لازم نیست این کار به صورت متقارن انجام شود. نقشه اصلی مرکاتور در 80 درجه شمالی و 66 درجه جنوبی کوتاه شده است و در نتیجه کشورهای اروپایی به سمت مرکز نقشه حرکت می کنند. نسبت ابعاد نقشه او ⁠ است198/120= 1.65. حتی از برش شدیدتر استفاده شده است: یک اطلس مدرسه فنلاند تقریباً در 76 درجه شمالی و 56 درجه جنوبی کوتاه شده است، با نسبت ابعاد 1.97.

بسیاری از نقشه برداری های مبتنی بر وب از یک نسخه قابل بزرگنمایی از طرح Mercator با نسبت ابعاد یک استفاده می کنند. در این حالت حداکثر عرض جغرافیایی به دست آمده باید با y  = ± ⁠ مطابقت داشته باشددبلیو/2، یا معادل آنy/آر= π . ​  هر یک از فرمول های تبدیل معکوس ممکن است برای محاسبه عرض های جغرافیایی مربوطه استفاده شود:

${\displaystyle \varphi =\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y}{R}}\right)\right]=\tan ^{-1}\left[\sinh \pi \right]=\tan ^{-1}\left[11.5487\right]=85.05113^{\circ }.}$

هندسه عنصر کوچک

روابط بین y ( φ ) و خصوصیات طرح ریزی، مانند تبدیل زوایا و تغییر در مقیاس، از هندسه عناصر کوچک متناظر روی کره و نقشه ناشی می شود. شکل زیر یک نقطه P را در عرض جغرافیایی  φ و طول جغرافیایی  λ روی کره زمین و یک نقطه Q نزدیک در عرض جغرافیایی φ  +  δφ و طول جغرافیایی λ  +  δλ را نشان می دهد . خطوط عمودی PK و MQ کمان هایی از نصف النهارها به طول Rδφ هستند . ^[d] خطوط افقی PM و KQ کمانهای موازی با طول R (cos  φ ) δλ هستند . نقاط مربوطه روی برجستگی یک مستطیل با عرض  δx و ارتفاع  δy را تعریف می کنند .

برای عناصر کوچک، زاویه PKQ تقریباً یک زاویه راست است و بنابراین

${\displaystyle \tan \alpha \approx {\frac {R\cos \varphi \,\delta \lambda }{R\,\delta \varphi }},\qquad \qquad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}},}$

فاکتورهای پوسته پوسته شدن که قبلا ذکر شد از کره به سیلندر به وسیله داده می شود

ضریب مقیاس موازی     ${\displaystyle \quad k(\varphi )\;=\;{\frac {P'M'}{PM}}\;=\;{\frac {\delta x}{R\cos \varphi \,\delta \lambda }},}$

فاکتور مقیاس نصف النهار   ${\displaystyle \quad h(\varphi )\;=\;{\frac {P'K'}{PK}}\;=\;{\frac {\delta y}{R\delta \varphi \,}}.}$

از آنجایی که نصف النهارها به خطوط ثابت x نگاشت می شوند ، باید x = R ( λ - λ ₀ ) و δx  =  Rδλ ، ( λ به رادیان) داشته باشیم. بنابراین، در حد عناصر بی نهایت کوچک

${\displaystyle \tan \beta ={\frac {R\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha \,,\qquad k=\sec \varphi \,,\qquad h={\frac {y'(\varphi )}{R}}.}$

در مورد برآمدگی مرکاتور، y' ( φ ) = R sec φ ، بنابراین h = k و α = β را به ما می دهد . این واقعیت که h = k همسانگردی عوامل مقیاس مورد بحث در بالا است. این واقعیت که α = β نشان‌دهنده مفهوم دیگری از مطابقت نقشه‌برداری است، یعنی این واقعیت که یک مسیر قایقرانی با آزیموت ثابت روی کره زمین به همان یاتاقان شبکه ثابت روی نقشه نگاشت می‌شود.

فرمول های فاصله

تبدیل فاصله خط کش در نقشه مرکاتور به فاصله واقعی ( دایره بزرگ ) روی کره در امتداد استوا ساده است اما در هیچ جای دیگری نیست. یک مشکل تغییر مقیاس با عرض جغرافیایی است، و مشکل دیگر این است که خطوط مستقیم روی نقشه ( خطوط روم )، به غیر از نصف النهارها یا خط استوا، با دایره های بزرگ مطابقت ندارند.

تمایز بین فاصله رومب (قایقرانی) و فاصله دایره بزرگ (واقعی) به وضوح توسط مرکاتور درک شد. (به افسانه 12 در نقشه 1569 مراجعه کنید.) او تاکید کرد که فاصله خط روم تقریبی قابل قبول برای فاصله دایره بزرگ واقعی برای مسیرهای با فاصله کوتاه یا متوسط، به ویژه در عرض های جغرافیایی پایین تر است. او حتی بیانیه خود را اینگونه بیان می کند: «زمانی که فواصل دایره بزرگی که قرار است در مجاورت خط استوا اندازه گیری شود از 20 درجه یک دایره بزرگ یا 15 درجه در نزدیکی اسپانیا و فرانسه یا 8 و حتی 10 درجه در مناطق شمالی تجاوز نمی کند. استفاده از فواصل خط رامب راحت است».

برای اندازه گیری خط کش یک خط کوتاه ، با نقطه میانی در عرض جغرافیایی  φ ، که در آن ضریب مقیاس k  = sec  φ  =  ⁠1/cos  φ:​

فاصله واقعی = فاصله روم ≅ فاصله خط کش × cos  φ / RF. (خطوط کوتاه)

با شعاع و محیط دایره بزرگ به ترتیب برابر با 6371 کیلومتر و 40030 کیلومتر RF از ⁠1/300 میلیون⁠ ، که برای آن R  = 2.12 سانتی متر و W  = 13.34 سانتی متر، نشان می دهد که اندازه خط کش 3 میلی متر است. در هر جهت از نقطه ای از استوا تقریباً 900 کیلومتر است. فواصل مربوطه برای عرض های جغرافیایی 20 درجه، 40 درجه، 60 درجه و 80 درجه به ترتیب 846 کیلومتر، 689 کیلومتر، 450 کیلومتر و 156 کیلومتر است.

مسافت های طولانی تر نیاز به رویکردهای مختلفی دارد.

روی خط استوا

مقیاس وحدت روی استوا است (برای طرح ریزی غیر مقطعی). بنابراین، تفسیر اندازه گیری های خط کش در استوا ساده است:

فاصله واقعی = فاصله خط کش / RF (استوا)

برای مدل فوق، با RF =  ⁠1/300 میلیون1 سانتی متر معادل 3000 کیلومتر است.

در موازی های دیگر

در هر موازی دیگر ضریب مقیاس sec φ است به طوری که

فاصله موازی = فاصله خط کش × cos  φ / RF (موازی).

برای مدل فوق 1 سانتی متر معادل 1500 کیلومتر در عرض جغرافیایی 60 درجه است.

این کوتاهترین فاصله بین نقاط انتهایی انتخاب شده در موازی نیست زیرا موازی دایره بزرگی نیست. این تفاوت برای فواصل کوتاه کم است، اما با افزایش λ ، جدایی طولی، افزایش می یابد. برای دو نقطه A و B که با 10 درجه طول جغرافیایی در موازی در 60 درجه از هم جدا می شوند، فاصله در امتداد موازی تقریباً 0.5 کیلومتر بیشتر از فاصله دایره بزرگ است. (فاصله AB در امتداد موازی برابر است با ( a  cos  φ )  λ . طول وتر AB 2 ( a  cos  φ ) sin⁠  است .λ/2. ​این وتر در مرکز زاویه ای برابر با 2arcsin (cos  φ  sin  ⁠) قرار می دهدλ/2⁠ ) و فاصله دایره بزرگ بین A و B 2 arcsin است (  cos  φ  sin  ⁠λ/2⁠ ).) در حالت شدید که جدایی طولی 180 درجه است، فاصله در امتداد موازی نصف محیط آن موازی است. یعنی 10007.5 کیلومتر. از سوی دیگر، ژئودزیک بین این نقاط، یک قوس دایره‌ای بزرگ از طریق قطب است که زاویه 60 درجه را در مرکز فرو می‌کند: طول این کمان یک ششم محیط دایره بزرگ، حدود 6672 کیلومتر است. این تفاوت 3338 کیلومتر است، بنابراین فاصله خط کش اندازه گیری شده از نقشه حتی پس از اصلاح تغییرات عرض جغرافیایی ضریب مقیاس، کاملا گمراه کننده است.

روی یک نصف النهار

یک نصف النهار نقشه یک دایره بزرگ در کره زمین است، اما تغییرات مقیاس پیوسته به این معنی است که اندازه گیری خط کش به تنهایی نمی تواند فاصله واقعی بین نقاط دور از نصف النهار را نشان دهد. با این حال، اگر نقشه با مقیاس عرض جغرافیایی دقیق و با فاصله ریز مشخص شده باشد که بتوان از آن به طور مستقیم عرض جغرافیایی را خواند - همانطور که در مورد نقشه جهانی Mercator 1569 (برگ‌های 3، 9، 15) و همه نمودارهای دریایی بعدی وجود دارد، نصف النهار فاصله بین دو عرض جغرافیایی φ ₁ و φ ₂ به سادگی است

${\displaystyle m_{12}=a|\varphi _{1}-\varphi _{2}|.}$

اگر عرض جغرافیایی نقاط انتهایی را نتوان با اطمینان تعیین کرد، در عوض می توان آنها را با محاسبه فاصله خط کش پیدا کرد. با فراخوانی فاصله خط‌کش نقاط انتهایی روی نصف النهار نقشه که از استوای y ₁ و y ₂ اندازه‌گیری می‌شود ، فاصله واقعی بین این نقاط روی کره با استفاده از هر یک از فرمول‌های مرکاتور معکوس به دست می‌آید:

${\displaystyle m_{12}=a\left|\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)\right]-\tan ^{-1}\left[\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right]\right|,}$

که در آن R را می توان از عرض W نقشه با R  =  ⁠ محاسبه کرددبلیو/2 π. ​به عنوان مثال، در نقشه ای با R  = 1 مقادیر y  = 0، 1، 2، 3 با عرض های جغرافیایی φ  = 0 درجه، 50 درجه، 75 درجه، 84 درجه و بنابراین فواصل متوالی 1 سانتی متر در نقشه مطابقت دارد. مربوط به فواصل عرض جغرافیایی در کره زمین 50 درجه، 25 درجه، 9 درجه و فواصل 5560 کیلومتر، 2780 کیلومتر و 1000 کیلومتر بر روی زمین است.

روی یک ریمب

یک خط مستقیم در نقشه مرکاتور در زاویه α نسبت به نصف النهارها یک خط لوزی است . وقتی α  =  ⁠π/2یا​​3 π/2روم با یکی از موارد مشابه مطابقت دارد . تنها یکی، استوا، یک دایره بزرگ است. وقتی α  = 0 یا π مربوط به یک دایره بزرگ نصف النهار است (اگر در اطراف زمین ادامه یابد). برای همه مقادیر دیگر، یک مارپیچ از قطبی به قطب دیگر در کره زمین است که تمام نصف النهارها را در یک زاویه قطع می کند، و بنابراین یک دایره بزرگ نیست. ^[32] این بخش تنها آخرین مورد از این موارد را مورد بحث قرار می دهد.

اگر α نه 0 و نه π باشد ، شکل بالا از عناصر بی نهایت کوچک نشان می دهد که طول یک خط بی نهایت کوچک بر روی کره بین عرض های جغرافیایی φ . و φ  +  δφ یک  ثانیه  α  δφ است . از آنجایی که α روی رومب ثابت است، این عبارت را می توان برای خطوط روم محدود روی زمین ادغام کرد:

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \,|\varphi _{1}-\varphi _{2}|=a\,\sec \alpha \;\Delta \varphi .}$

یک بار دیگر، اگر Δ φ را ممکن است مستقیماً از یک مقیاس عرض جغرافیایی دقیق روی نقشه خوانده شود، آنگاه فاصله روم بین نقاط نقشه با عرض های جغرافیایی φ ₁ و φ ₂ با موارد بالا داده می شود. اگر چنین مقیاسی وجود نداشته باشد، فاصله خط کش بین نقاط انتهایی و استوا، y ₁ و y ₂ ، از طریق فرمول معکوس نتیجه را نشان می دهد:

${\displaystyle r_{12}=a\sec \alpha \left|\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{1}}{R}}\right)-\tan ^{-1}\sinh \left({\frac {y_{2}}{R}}\right)\right|.}$

این فرمول‌ها فواصل رومبی را روی کره نشان می‌دهند که ممکن است با فواصل واقعی که تعیین آنها به محاسبات پیچیده‌تری نیاز دارد تفاوت زیادی داشته باشد. ^[e]

تعمیم به بیضی

هنگامی که زمین توسط یک کروی ( بیضی از چرخش) مدل می‌شود، اگر بخواهیم مطابقت داشته باشد، پیش‌بینی مرکاتور باید اصلاح شود . معادلات تبدیل و ضریب مقیاس برای نسخه غیر سکانسی ^{[33] است.} $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=R\left(\lambda -\lambda _{0}\right),\\y&=R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\left({\frac {1-e\sin \varphi }{1+e\sin \varphi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]=R\left(\sinh ^{-1}\left(\tan \varphi \right)-e\tanh ^{-1}(e\sin \varphi )\right),\\k&=\sec \varphi {\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\varphi }}.\end{aligned}}}$$

ضریب مقیاس وحدت روی استوا است، همانطور که باید باشد زیرا استوانه مماس بر بیضی در استوا است. تصحیح بیضی ضریب مقیاس با عرض جغرافیایی افزایش می یابد، اما هرگز از e ² بیشتر نمی شود ، اصلاحی کمتر از 1%. (مقدار e ² برای همه بیضی های مرجع حدود 0.006 است.) این بسیار کوچکتر از عدم دقت مقیاس است، به جز بسیار نزدیک به استوا. فقط پیش‌بینی‌های دقیق مرکاتور از مناطق نزدیک به استوا، اصلاحات بیضی را ضروری می‌کند.

معکوس به صورت تکراری حل می شود، زیرا عرض جغرافیایی ایزومتریک درگیر است.

همچنین ببینید

• کارتوگرافی
• برآمدگی استوانه ای مرکزی - تحریف شده تر. گاهی اوقات به اشتباه به عنوان روش ساخت طرح مرکاتور توصیف می شود
• پیش بینی نقشه منسجم
• برآمدگی مستطیل شکل - کمتر تحریف شده، اما مساحت مساوی ندارد
• برآمدگی گال-پیترز - یک برجستگی استوانه ای با مساحت مساوی
• مرکاتور عرضی جردن
• لیست پیش بینی های نقشه
• نقشه جهانی Mercator 1569
• نمودار دریایی
• حذف نیوزلند از نقشه ها - اغلب تصور می شود که ناشی از طرح ریزی مرکاتور است
• شبکه رامبلاین
• اندیکاتور تیسوت
• برآمدگی عرضی مرکاتور
• سیستم مختصات مرکاتور عرضی جهانی

یادداشت ها

1. مولد یک استوانه یک خط مستقیم روی سطح موازی با محور سیلندر است.
2. تابع y ( φ ) کاملاً دلخواه نیست: باید یکنواخت افزایشی و ضد متقارن باشد ( y (- φ ) = − y ( φ ) ، به طوری که y (0) = 0): معمولاً با یک پیوسته اول پیوسته است. مشتق
3. مثال کلی تر از شاخص تیسوت: طرح ریزی سه پله وینکل .
4. R شعاع کره زمین است.
5. فاصله دایره بزرگ ، فرمول های وینسنتی یا Mathworld را ببینید .

مراجع

1. «جراردوس مرکاتور». Education.nationalgeographic.org . بازیابی شده در 2024-03-02 .
2. نیدهام، جوزف (1959). علم و تمدن در چین جلد 3. انتشارات دانشگاه کمبریج. ص 277، 545.
3. میاجیما، کازوهیکو (1998). "روش های پروجکشن در نقشه های ستاره ای چینی، کره ای و ژاپنی". نکات برجسته نجوم . 11 (2): 712-715. doi : 10.1017/s1539299600018554 .
4. Shalowitz، Aaron L. (1969). "نمودار تاریخ ناوبری". مجله آکادمی علوم واشنگتن . 59 (7-9): 180-186. JSTOR  24535986.
5. Nicolai, R. (2015). "منشا پیش از قرون وسطی نمودارهای پورتولان: شواهد جدید ژئودتیک". داعش​ 106 (3): 517-543. doi :10.1086/683532. hdl : 1874/327279 . PMID  26685516.
6. Nicolai, R. (2015). "منشا پیش از قرون وسطی نمودارهای پورتولان: شواهد جدید ژئودتیک". داعش​ 106 (3): 517-543. doi :10.1086/683532. hdl : 1874/327279 . PMID  26685516.
7. اسنایدر 1987، ص. 38.
8. اسنایدر 1993، ص. 48.
9. کرین، نیکلاس (2002). مرکاتور: مردی که نقشه سیاره را ترسیم کرد . لندن: ویدنفلد و نیکلسون. چ. 9.
10. لیتائو، هنریکه؛ گاسپار، خواکیم آلوز (2014-07-03). "گلوب ها، جداول رومب، و پیش از تاریخ فرافکنی مرکاتور". ایماگو موندی 66 (2): 180-195. doi :10.1080/03085694.2014.902580. ISSN  0308-5694.
11. Monmonier 2004، ص. 72.
12. لاپاین، میلینکو (2024). "مشکل در "کارتوگرافی اساسی"". International Journal of Cartography . 10 (1): 118-131. Bibcode :2024IJCar..10..118L. doi :10.1080/23729333.2022.2157106.
    کرکوویتس، کریستیان (2024). "سیلندرهای مقطعی شیطانی هستند - مطالعه موردی بر روی خطوط استاندارد مرکاتور عرضی جهانی و پیش بینی های استریوگرافی قطبی جهانی". مجله بین المللی اطلاعات جغرافیایی . 13 (2): 56. Bibcode :2024IJGI...13...56K. doi : 10.3390/ijgi13020056 .
13. فردریک ریکی، وی. توچینسکی، فیلیپ ام. (مه 1980). "کاربرد جغرافیا در ریاضیات: تاریخچه انتگرال بخش". مجله ریاضی . 53 (3): 164. doi :10.2307/2690106. JSTOR  2690106 . بازبینی شده در 18 اوت 2022 .
14. "این نقشه متحرک اندازه واقعی هر کشور را نشان می دهد". شاخص طبیعت . 27-08-2019 . بازیابی شده در 2023-06-20 .
15. «مرکاتور پروجکشن در مقابل پروجکشن پیترز، قسمت 1». مت تی روزنبرگ، about.com.
16. کلاوی، GP (1946). پیش بینی های نقشه ص. 37-38. لندن: Methuen & Co. LTD. (بر اساس این منبع، ادعا شده بود که برآمدگی مرکاتور برای "انگیزه های امپریالیستی" استفاده شده است)
17. آبلسون، CE (1954). پیش بینی های معمول نقشه s. 4. Sevenoaks: WH Smith & Sons.
18. چمبرلین، ولمن (1947). زمین گرد روی کاغذ مسطح s. 99. واشنگتن دی سی: انجمن نشنال جئوگرافیک.
19. Monmonier 2004، ص. 124-128.
20. نقشه کش آمریکایی. 1989. 16 (3): 222-223.
21. [1] ^{[ منبع خود منتشر شده ]}
22. کاکس، آلن، ویرایش. (1973). تکتونیک صفحه و وارونگی ژئومغناطیسی . WH فریمن. ص 46.
23. آزبورن 2013، صفحات 39-40.
24. بترزبی، سارا ای. فین، مایکل پی. یوزری، ای. لین; یاماموتو، کریستینا اچ (1 ژوئن 2014). "پیامدهای Web Mercator و استفاده از آن در نقشه برداری آنلاین". Cartographica: The International Journal for Geographic Information and Geovisualization . 49 (2): 85-101. doi :10.3138/carto.49.2.2313. ISSN  0317-7173.
25. «مرکاتور: افراطی».
26. «مرکاتور پروجکشن».
27. اسنایدر 1987، صفحات 37-95.
28. اسنایدر 1993.
29. اسنایدر. راهنمای کار، صفحه 20.
30. اسنایدر 1987، ص. 20; اسنایدر 1993، صفحات 147-149.
31. NIST. به بخش‌های 4.26#ii و 4.23#viii مراجعه کنید
32. Osborne 2013، فصل 2
33. آزبورن 2013، فصل 5، 6

کتابشناسی

• مالینگ، درک هیلتون (1992)، سیستم‌های مختصات و پیش‌بینی‌های نقشه (ویرایش دوم)، چاپ پرگامون، ISBN 0-08-037233-3.
• مونمونیر، مارک (2004)، خطوط رامب و جنگ‌های نقشه: تاریخ اجتماعی پیش‌بینی مرکاتور (ویرایش با جلد گالینگور)، شیکاگو: انتشارات دانشگاه شیکاگو، ISBN 0-226-53431-6
• اولور، FWJ; Lozier، DW; Boisvert، RF؛ et al., eds. (2010)، NIST Handbook of Mathematical Functions، انتشارات دانشگاه کمبریج
• آزبورن، پیتر (14 نوامبر 2013)، پیش بینی های مرکاتور ، doi :10.5281/zenodo.35392(مکمل ها: فایل های ماکسیما و کدها و شکل های لاتکس)
• اسنایدر، جان پی (1993)، مسطح کردن زمین: دو هزار سال پیش بینی نقشه ، انتشارات دانشگاه شیکاگو، ISBN 0-226-76747-7
• اسنایدر، جان پی (1987)، پیش‌بینی‌های نقشه - راهنمای کاری. مقاله تخصصی بررسی زمین شناسی ایالات متحده 1395، دفتر چاپ دولت ایالات متحده، واشنگتن، دی سیاین مقاله را می توان از صفحات USGS دانلود کرد. جزئیات کامل بیشتر پیش بینی ها را همراه با بخش های مقدماتی جالب ارائه می دهد، اما هیچ یک از پیش بینی ها را از اصول اولیه استخراج نمی کند.

در ادامه مطلب

• رپ، ریچارد اچ (1991)، ژئودزی هندسی، قسمت اول ، گروه علوم زمین شناسی و نقشه برداری دانشگاه ایالتی اوهایو، hdl : 1811/24333

لینک های خارجی

• Ad maiorem Gerardi Mercatoris gloriam – حاوی تصاویری با وضوح بالا از نقشه جهان در سال 1569 توسط Mercator است.
• جدول نمونه ها و ویژگی های همه پیش بینی های رایج، از radicalcartography.net.
• یک اپلت تعاملی جاوا برای مطالعه تغییر شکل های متریک پروجکشن Mercator.
• طرح مرکاتور در دانشگاه بریتیش کلمبیا
• مختصات نقشه های گوگل
• Mercator Extreme