متعامد بودن

معانی مختلف اصطلاحات

پاره خط AB و CD متعامد با یکدیگر هستند.

در ریاضیات ، متعامد بودن عبارت است از تعمیم مفهوم هندسی عمود بودن . در حالی که عمود به طور معمول هنگام مرتبط کردن دو خط به یکدیگر دنبال می شود (به عنوان مثال، "خط A عمود بر خط B است")، ^[1] متعامد معمولاً بدون به استفاده می شود (به عنوان مثال، "خطوط متعامد A و B"). ^[2]

متعامد بودن نیز با معانی مختلفی استفاده می شود که اغلب با معانی ریاضی ارتباط ضعیفی دارند یا اصلاً مرتبط نیستند.

ریشه شناسی

این کلمه از یونانی باستان ὀρθός ( orthós ) به معنای "راست"، ^[3] و γωνία ( gōnía ) به معنای "زاویه" گرفته شده است. ^[4]

یونانی باستان ὀρθογώνιον ( orthogṓnion ) و کلاسیک لاتین orthogonium در اصل به یک مستطیل اشاره می کردند . ^{[5] بعدها به معنی} مثلث قائم الزاویه رسیدند . در قرن دوازدهم، کلمه لاتین پس از کلاسیک orthogonalis به معنای زاویه راست یا چیزی مربوط به زاویه راست آمد. ^[6]

ریاضیات

در ریاضیات ، متعامد بودن تعمیم مفهوم هندسی عمود بر جبر خطی اشکال دوخطی است .

دو عنصر u و v از فضای برداری با فرم دوخطی متعامد هستند وقتی . بسته به فرم دوخطی، فضای برداری ممکن است حاوی بردارهای خود متعامد غیر صفر باشد. در مورد فضاهای تابعی از خانواده های توابع متعامد برای تشکیل پایه متعامد استفاده می شود . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$

این مفهوم در زمینه توابع متعامد , چند جمله ای متعامد , و ترکیبات استفاده شده است .

متعامد بودن و چرخش سیستم های مختصات در مقایسه بین چپ: فضای اقلیدسی از طریق زاویه دایره ای ϕ ، سمت راست: در فضازمان مینکوفسکی از طریق زاویه هذلولی ϕ (خطوط قرمز با برچسب c نشان دهنده خطوط جهانی یک سیگنال نوری است، اگر بردار روی آن قرار گیرد متعامد به خود است. خط). ^[7]

فیزیک

اپتیک

در اپتیک ، حالت های پلاریزاسیون زمانی متعامد گفته می شود که به طور مستقل از یکدیگر منتشر شوند، مانند قطبش خطی عمودی و افقی یا قطبش دایره ای راست و چپ .

نسبیت خاص

در نسبیت خاص ، یک محور زمانی که با سرعت حرکت تعیین می‌شود ، هذلولی-متعامد نسبت به محور فضایی رویدادهای همزمان است، که با سرعت نیز تعیین می‌شود. نظریه نسبیت همزمانی را مشخص می کند .

متعامد هذلولی

متعامد اقلیدسی با چرخش در نمودار سمت چپ حفظ می شود. متعامد هذلولی با توجه به هذلولی (B) با چرخش هذلولی در نمودار سمت راست حفظ می شود.

در هندسه ، رابطه متعامد هذلولی بین دو خط که با مجانب هذلولی از هم جدا شده اند ، مفهومی است که در نسبیت خاص برای تعریف رویدادهای همزمان استفاده می شود. زمانی که دو رویداد روی یک خط متعامد به یک خط زمانی خاص قرار گیرند، همزمان خواهند بود. این وابستگی به یک جدول زمانی خاص توسط سرعت تعیین می شود و مبنای نسبیت همزمانی است .

مکانیک کوانتومی

در مکانیک کوانتومی ، یک شرط کافی (اما نه ضروری) برای متعامد بودن دو حالت ویژه یک عملگر هرمیتی ، این است که با مقادیر ویژه متفاوت مطابقت داشته باشند. این به این معنی است که در نماد دیراک ، if و با مقادیر ویژه متفاوت مطابقت دارند. این از این واقعیت ناشی می شود که معادله شرودینگر یک معادله استورم-لیویل است (در فرمول شرودینگر) یا اینکه قابل مشاهده ها توسط عملگرهای هرمیتی (در فرمول هایزنبرگ) ارائه شده است. ^{[ نیازمند منبع ]} ${\displaystyle \psi _{m}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$ ${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =0}$ ${\displaystyle \psi _{m}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

هنر

در هنر، خطوط پرسپکتیو (تخیلی) که به نقطه ناپدید شدن اشاره می کنند ، "خطوط متعامد" نامیده می شوند. اصطلاح "خط متعامد" اغلب در ادبیات نقد هنر مدرن معنای کاملاً متفاوتی دارد. بسیاری از آثار نقاشانی مانند پیت موندریان و بورگوین دیلر به دلیل استفاده انحصاری آنها از "خطوط متعامد" مورد توجه قرار گرفته اند - البته نه با اشاره به پرسپکتیو، بلکه به خطوطی اشاره می کنند که مستقیم و منحصراً افقی یا عمودی هستند و زوایای قائم را تشکیل می دهند. آنها متقاطع می شوند. به عنوان مثال، مقاله ای در وب سایت موزه تیسن-بورنمیزا بیان می کند که "موندریان... تمام آثار خود را به بررسی تعادل بین خطوط متعامد و رنگ های اصلی اختصاص داده است." بایگانی شده در 2009-01-31 در ماشین راه برگشت

علوم کامپیوتر

متعامد بودن در طراحی زبان برنامه نویسی توانایی استفاده از ویژگی های مختلف زبان در ترکیب های دلخواه با نتایج ثابت است. ^{[8] این کاربرد توسط} Van Wijngaarden در طراحی Algol 68 معرفی شد :

تعداد مفاهیم اولیه مستقل به حداقل رسیده است تا زبان برای توصیف، یادگیری و پیاده سازی آسان باشد. از سوی دیگر، این مفاهیم به منظور به حداکثر رساندن قدرت بیانی زبان و در عین حال تلاش برای جلوگیری از زائدات زیان آور به کار گرفته شده اند. ^[9]

متعامد بودن یک ویژگی طراحی سیستم است که تضمین می کند که اصلاح اثر فنی تولید شده توسط یک جزء از یک سیستم، نه عوارض جانبی ایجاد می کند و نه به سایر اجزای سیستم منتشر می کند. معمولاً این از طریق جداسازی نگرانی‌ها و کپسوله‌سازی به دست می‌آید و برای طراحی‌های عملی و فشرده سیستم‌های پیچیده ضروری است. رفتار اضطراری یک سیستم متشکل از اجزاء باید کاملاً با تعاریف رسمی منطق آن کنترل شود و نه با عوارض جانبی ناشی از یکپارچگی ضعیف، به عنوان مثال، طراحی غیر متعامد ماژول ها و رابط ها. متعامد بودن زمان آزمایش و توسعه را کاهش می دهد زیرا تأیید طرح هایی که نه عوارض جانبی ایجاد می کنند و نه به آنها وابسته هستند آسان تر است.

مجموعه دستورالعمل متعامد

اگر مجموعه دستورالعمل‌ها فاقد افزونگی باشند، متعامد گفته می‌شود (یعنی فقط یک دستورالعمل وجود دارد که می‌توان برای انجام یک کار معین از آن استفاده کرد) ^[10] و به گونه‌ای طراحی شده است که دستورالعمل‌ها بتوانند از هر ثبات در هر حالت آدرس‌دهی استفاده کنند . این اصطلاح از در نظر گرفتن یک دستورالعمل به عنوان یک بردار ناشی می شود که اجزای آن فیلدهای دستورالعمل هستند. یک فیلد رجیسترهایی را که قرار است روی آنها کار شود و دیگری حالت آدرس دهی را مشخص می کند. یک مجموعه دستورالعمل متعامد به طور منحصربفرد همه ترکیبات ثبات ها و حالت های آدرس دهی را رمزگذاری می کند. ^[11]

مخابرات

در ارتباطات راه دور ، طرح‌های دسترسی چندگانه زمانی متعامد هستند که یک گیرنده ایده‌آل می‌تواند سیگنال‌های ناخواسته قوی دلخواه را از سیگنال مورد نظر با استفاده از توابع پایه متفاوت به طور کامل رد کند . یکی از این طرح‌ها ، دسترسی چندگانه تقسیم زمانی (TDMA) است، که در آن توابع پایه متعامد، پالس‌های مستطیلی غیرهمپوشانی ("شکاف‌های زمانی") هستند.

مالتی پلکسی تقسیم فرکانس متعامد

طرح دیگر ، مالتی پلکسی تقسیم فرکانس متعامد (OFDM) است که به استفاده از یک فرستنده منفرد از مجموعه ای از سیگنال های چندگانه فرکانسی با حداقل فاصله فرکانس دقیق مورد نیاز برای متعامد کردن آنها به طوری که با یکدیگر تداخل نداشته باشند، اشاره دارد. . نمونه های شناخته شده عبارتند از ( a ، g ، و n ) نسخه های 802.11 Wi-Fi . وایمکس​ ITU-T G.hn ، DVB-T ، سیستم پخش تلویزیون دیجیتال زمینی که در اکثر نقاط جهان خارج از آمریکای شمالی استفاده می شود. و DMT (Discrete Multi Tone)، فرم استاندارد ADSL .

در OFDM، فرکانس های حامل فرعی ^{[ چگونه؟ ]} به طوری که حامل های فرعی متعامد با یکدیگر باشند، به این معنی که تداخل بین کانال های فرعی حذف شده و باندهای محافظ بین حامل ها مورد نیاز نیست. این امر طراحی فرستنده و گیرنده را بسیار ساده می کند. در FDM معمولی، یک فیلتر جداگانه برای هر زیر کانال مورد نیاز است.

آمار، اقتصاد سنجی و اقتصاد

هنگام انجام تجزیه و تحلیل آماری، متغیرهای مستقلی که بر یک متغیر وابسته خاص تأثیر می‌گذارند، اگر همبسته نباشند، متعامد گفته می‌شوند، ^[12] زیرا کوواریانس یک محصول درونی را تشکیل می‌دهد. در این مورد، نتایج یکسانی برای تأثیر هر یک از متغیرهای مستقل بر متغیر وابسته به دست می‌آید، صرف نظر از اینکه تأثیرات متغیرها را به صورت جداگانه با رگرسیون ساده یا همزمان با رگرسیون چندگانه مدل‌سازی می‌کنیم . در صورت وجود همبستگی ، عوامل متعامد نیستند و با دو روش نتایج متفاوتی به دست می آید. این استفاده از این واقعیت ناشی می شود که اگر با تفریق مقدار مورد انتظار (میانگین) در مرکز قرار گیرند، متغیرهای غیر همبسته به معنای هندسی که در بالا بحث شد متعامد هستند، هم به عنوان داده مشاهده شده (یعنی بردارها) و هم به عنوان متغیرهای تصادفی (یعنی توابع چگالی). یکی از فرمالیسم اقتصاد سنجی که جایگزین چارچوب حداکثر احتمال است ، روش تعمیم یافته لحظه ها ، بر شرایط متعامد تکیه دارد. به طور خاص، برآوردگر حداقل مربعات معمولی ممکن است به راحتی از یک شرط متعامد بین متغیرهای توضیحی و باقیمانده های مدل استخراج شود.

طبقه بندی

در طبقه‌بندی ، طبقه‌بندی متعامد طبقه‌بندی است که در آن هیچ موردی عضو بیش از یک گروه نباشد، یعنی طبقه‌بندی‌ها متقابل هستند.

شیمی و بیوشیمی

در شیمی و بیوشیمی، یک برهمکنش متعامد زمانی اتفاق می‌افتد که دو جفت ماده وجود داشته باشد و هر ماده بتواند با شریک مربوطه خود برهم‌کنش داشته باشد، اما با هیچ یک از مواد جفت دیگر برهم‌کنش نداشته باشد. به عنوان مثال، DNA دارای دو جفت متعامد است: سیتوزین و گوانین یک جفت باز را تشکیل می دهند، و آدنین و تیمین یک جفت باز دیگر را تشکیل می دهند، اما سایر ترکیبات جفت باز به شدت نامطلوب هستند. به عنوان یک مثال شیمیایی، تترازین با ترانس سیکلوکتن و آزید با سیکلواکتین بدون هیچ واکنش متقاطع واکنش می دهد، بنابراین این واکنش ها متعامد هستند و بنابراین، می توانند به طور همزمان و انتخابی انجام شوند. ^[13]

سنتز آلی

در سنتز آلی ، حفاظت متعامد یک استراتژی است که اجازه می دهد تا گروه های عاملی مستقل از یکدیگر محافظت شوند.

شیمی بیورتوگونال

اصطلاح شیمی متعامد زیستی به هر واکنش شیمیایی که می تواند در داخل سیستم های زنده بدون تداخل با فرآیندهای بیوشیمیایی بومی رخ دهد، اطلاق می شود. ^{[14] [15] [16] این اصطلاح توسط} Carolyn R. Bertozzi در سال 2003 ابداع شد . ^{[17] [18]} از زمان معرفی آن، مفهوم واکنش متعامد زیستی امکان مطالعه بیومولکول‌هایی مانند گلیکان‌ها ، پروتئین‌ها ، ^{[ 17] را فراهم کرده است. 19]} و لیپیدها ^[20] در زمان واقعی در سیستم های زنده بدون سمیت سلولی. تعدادی از استراتژی‌های بستن شیمیایی ایجاد شده‌اند که الزامات متعامد زیستی را برآورده می‌کنند، از جمله سیکلودافزودن 1،3 دوقطبی بین آزیدها و سیکلوکتین‌ها (همچنین به آن شیمی کلیک بدون مس نیز گفته می‌شود )، ^[21] بین نیترون‌ها و سیکلواکتین‌ها، ^[22] اکسیم. / تشکیل هیدرازون از آلدئیدها و کتون ها ، ^[23] بستن تترازین ، ^[24] واکنش کلیک مبتنی بر ایزوسیانید ، ^[25] و اخیراً، بستن کوادری سیکلان . ^[26]

شیمی فوق مولکولی

در شیمی فوق مولکولی، مفهوم متعامد به امکان سازگاری دو یا چند برهمکنش فوق مولکولی، اغلب غیرکووالانسی اشاره دارد . به صورت برگشت پذیر بدون دخالت دیگری شکل می گیرد.

شیمی تجزیه

در شیمی تحلیلی ، آنالیزها «متعامد» هستند اگر اندازه‌گیری یا شناسایی را به روش‌های کاملاً متفاوت انجام دهند، بنابراین قابلیت اطمینان اندازه‌گیری افزایش می‌یابد. بنابراین، آزمایش متعامد را می توان به عنوان "بررسی متقابل" نتایج مشاهده کرد، و مفهوم "متقابل" با منشا ریشه شناختی متعامد مطابقت دارد. آزمایش متعامد اغلب به عنوان بخشی از یک برنامه دارویی جدید مورد نیاز است .

قابلیت اطمینان سیستم

در زمینه قابلیت اطمینان سیستم، افزونگی متعامد به آن شکلی از افزونگی گفته می شود که شکل دستگاه یا روش پشتیبان گیری کاملاً با دستگاه یا روش مستعد خطا متفاوت است. حالت خرابی یک دستگاه یا روش پشتیبان اضافی متعامد با حالت خرابی دستگاه یا روشی که برای محافظت از کل سیستم در برابر خرابی فاجعه‌بار نیاز به افزونگی دارد، تلاقی ندارد و کاملاً متفاوت است.

علوم اعصاب

در علوم اعصاب ، نقشه حسی در مغز که دارای کدگذاری محرک های همپوشانی (مثلاً مکان و کیفیت) است، نقشه متعامد نامیده می شود.

فلسفه

در فلسفه ، به دو موضوع، نویسنده یا نوشته‌ای که گفته می‌شود «متعامد» با یکدیگر گفته می‌شود، زمانی که اساساً آنچه را که می‌توان ادعاهایی بالقوه همپوشانی یا رقیب در نظر گرفت، پوشش ندهند. بنابراین، متون در فلسفه می توانند همدیگر را پشتیبانی و تکمیل کنند، می توانند توضیحات یا سیستم های رقیب را ارائه دهند، یا می توانند در مواردی که دامنه، محتوا و هدف نوشته ها کاملاً نامرتبط هستند، متعامد با یکدیگر باشند.

بازی

در بازی‌های رومیزی مانند شطرنج که دارای شبکه‌ای از مربع‌ها هستند، «متعامد» به معنای «در یک ردیف/«رتبه» یا ستون/«پرونده» استفاده می‌شود. این همتای مربع هایی است که "به صورت مورب مجاور" هستند. ^[27] در بازی رومیزی باستانی چینی Go، بازیکن می‌تواند سنگ‌های حریف را با اشغال تمام نقاط مجاور متعامد بگیرد.

نمونه های دیگر

ضبط‌های وینیل استریو هر دو کانال استریو چپ و راست را در یک شیار رمزگذاری می‌کنند. شیار V شکل در وینیل دارای دیوارهایی است که 90 درجه نسبت به یکدیگر قرار دارند و تغییرات در هر دیوار به طور جداگانه یکی از دو کانال آنالوگ را که سیگنال استریو را تشکیل می دهند کد می کند. کارتریج حرکت قلم را به دنبال شیار در دو جهت متعامد حس می کند: 45 درجه از عمودی به هر طرف. ^[28] یک حرکت افقی خالص مربوط به یک سیگنال مونو، معادل یک سیگنال استریو است که در آن هر دو کانال سیگنال‌های یکسان (در فاز) را حمل می‌کنند.

همچنین ببینید

• جفت لیگاند-پروتئین متعامد
• تاک

مراجع

1. "عمود". دیکشنری Merriam-Webster.com . مریام وبستر.
2. «متعامد». دیکشنری Merriam-Webster.com . مریام وبستر.
3. لیدل و اسکات، لغت نامه یونانی-انگلیسی ὀρθός
4. Liddell and Scott, A Greek–English Lexicon sv γωνία
5. لیدل و اسکات، لغت نامه یونانی-انگلیسی sv ὀρθογώνιον
6. «متعامد». فرهنگ لغت انگلیسی آکسفورد (ویرایش سوم). انتشارات دانشگاه آکسفورد سپتامبر 2004.
7. جی ویلر; C. Misner; KS Thorne (1973). جاذبه ​WH Freeman & Co. p. 58. شابک 0-7167-0344-0.
8. مایکل ال. اسکات، عمل شناسی زبان برنامه نویسی ، ص. 228.
9. 1968، Adriaan van Wijngaarden و همکاران، گزارش تجدید نظر شده در مورد زبان الگوریتمی ALGOL 68، بخش 0.1.2، طراحی متعامد
10. نول، لیندا و لوبر، جولیا (2006). اصول سازماندهی و معماری کامپیوتر (ویرایش دوم). یادگیری جونز و بارتلت ص 257. شابک 978-0-7637-3769-6.
11. لیندا نول (2010). اصول سازماندهی و معماری کامپیوتر (PDF) . ناشران جونز و بارتلت ص 287-288. شابک 978-1449600068. بایگانی شده (PDF) از نسخه اصلی در 2015-10-10.
12. آتاناسیوس پاپولیس؛ S. Unnikrishna Pillai (2002). احتمال، متغیرهای تصادفی و فرآیندهای تصادفی . مک گراو هیل. ص 211. شابک 0-07-366011-6.
13. کارور، مارک آر. هیلدربراند، اسکات آ (2012). "جفت‌های واکنش بیواورتوگونال تصویربرداری همزمان، انتخابی و چند هدف را امکان‌پذیر می‌سازد". Angewandte Chemie International Edition . 51 (4): 920-2. doi :10.1002/anie.201104389. PMC 3304098 . PMID  22162316. 
14. اسلتن، الن ام. برتوزی، کارولین آر (2009). "شیمی متعامد زیستی: ماهیگیری برای انتخاب پذیری در دریای کارکرد". Angewandte Chemie International Edition . 48 (38): 6974-98. doi :10.1002/anie.200900942. PMC 2864149 . PMID  19714693. 
15. پرشر، جنیفر آ. دوب، دانیل اچ. برتوزی، کارولین آر (2004). "بازسازی شیمیایی سطوح سلولی در حیوانات زنده". طبیعت . 430 (7002): 873-7. Bibcode :2004Natur.430..873P. doi :10.1038/nature02791. PMID  15318217. S2CID  4371934.
16. پرشر، جنیفر آ. برتوزی، کارولین آر (2005). "شیمی در سیستم های زنده". زیست شناسی شیمیایی طبیعت . 1 (1): 13-21. doi :10.1038/nchembio0605-13. PMID  16407987. S2CID  40548615.
17. هانگ، هوارد سی. یو، چونگ؛ کاتو، داریل ال. برتوزی، کارولین آر (2003-12-09). "رویکرد برچسب زدن متابولیک به سمت آنالیز پروتئومی گلیکوزیلاسیون O-مرتبط با نوع موسین". مجموعه مقالات آکادمی ملی علوم . 100 (25): 14846-14851. Bibcode :2003PNAS..10014846H. doi : 10.1073/pnas.2335201100 . ISSN  0027-8424. PMC 299823 . PMID  14657396. 
18. اسلتن، الن ام. برتوزی، کارولین آر (2011). "از مکانیسم تا موش: داستان دو واکنش متعامد". حساب های تحقیقات شیمیایی . 44 (9): 666-676. doi : 10.1021/ar200148z. PMC 3184615 . PMID  21838330. 
19. پلاس، تیلمان؛ میلز، سیگرید؛ کوهلر، کریستین؛ شولتز، کارستن؛ لمکه، ادوارد آ (2011). "شیمی کلیک بدون مس رمزگذاری شده ژنتیکی". Angewandte Chemie International Edition . 50 (17): 3878-3881. doi :10.1002/anie.201008178. PMC 3210829 . PMID  21433234. 
20. نیف، آن بی. شولتز، کارستن (2009). "برچسب گذاری فلورسانس انتخابی لیپیدها در سلول های زنده". Angewandte Chemie International Edition . 48 (8): 1498-500. doi :10.1002/anie.200805507. PMID  19145623.
21. باسکین، جی.ام. پرشر، ج.ا. Laughlin، ST; آگارد، نیوجرسی؛ چانگ، PV; میلر، IA; لو، ا. Codelli، JA; برتوزی، CR (2007). "شیمی کلیک بدون مس برای تصویربرداری پویا در داخل بدن". مجموعه مقالات آکادمی ملی علوم . 104 (43): 16793-7. Bibcode :2007PNAS..10416793B. doi : 10.1073/pnas.0707090104 . PMC 2040404 . PMID  17942682. 
22. نینگ، زینگهای؛ تمینگ، رینسکه پی. دومرهولت، جان؛ گوا، جون؛ بلانکو آنیا، دانیل؛ دبیتس، مارجوک اف. ولفرت، مارگیت آ. بونز، گیرت جان؛ ون دلفت، فلوریس ال (2010). "اصلاح پروتئین توسط سیکلودیشن آلکین-نیترون تقویت شده با سویه". Angewandte Chemie International Edition . 49 (17): 3065-8. doi :10.1002/anie.201000408. PMC 2871956 . PMID  20333639. 
23. Yarema، KJ; محل، LK; بروهل، RE; رودریگز، EC; برتوزی، CR (1998). "تحویل متابولیک گروه های کتون به باقی مانده های اسید سیالیک. کاربرد در مهندسی گلیکوفرم سطح سلول". مجله شیمی بیولوژیکی . 273 (47): 31168-79. doi : 10.1074/jbc.273.47.31168 . PMID  9813021.
24. بلکمن، ملیسا ال. رویزن، ماکسیم؛ فاکس، جوزف ام (2008). "بسته شدن تترازین: بیوکونژوگاسیون سریع بر اساس واکنش پذیری دیلز-آلدر با تقاضای معکوس الکترون". مجله انجمن شیمی آمریکا . 130 (41): 13518-9. doi : 10.1021/ja8053805. PMC 2653060 . PMID  18798613. 
25. استوکمن، هنینگ؛ Neves، آندره A. پله ها، شان؛ بریندل، کوین ام. لیپر، فینیان جی (2011). "کاوش در شیمی کلیک مبتنی بر ایزونیتریل برای بستن با بیومولکول ها". شیمی آلی و بیومولکولی 9 (21): 7303-5. doi : 10.1039/C1OB06424J. PMID  21915395.
26. اسلتن، الن ام. برتوزی، کارولین آر (2011). "بسته شدن کوادری سیکلان بیواورتوگونال". مجله انجمن شیمی آمریکا . 133 (44): 17570-3. doi : 10.1021/ja2072934. PMC 3206493 . PMID  21962173. 
27. «واژه نامه شطرنج chessvariants.org».
28. برای مثال، YouTube را ببینید.