بخش دایره ای

ناحیه ای که توسط یک قوس دایره ای و یک خط مستقیم محدود شده است

یک بخش دایره ای (به رنگ سبز) بین یک سکانت/وتر (خط چین) و کمانی که نقاط انتهایی آن با وتر برابر است (قوس نشان داده شده در بالای ناحیه سبز) محصور شده است.

در هندسه ، یک قطعه دایره ای یا قطعه دیسک (نماد: ⌓ ) ناحیه ای از یک دیسک ^[1] است که با یک خط مستقیم از بقیه دیسک "بریده شده" است. خط کامل به عنوان سکانت و بخش داخل دیسک به عنوان یک آکورد شناخته می شود . ^[2]

به طور رسمی تر، یک بخش دایره ای یک منطقه صفحه ای است که توسط یک قوس دایره ای (طبق قرارداد کمتر از رادیان π) و وتر دایره ای که نقاط انتهایی آن را به هم متصل می کند محدود شده است.

فرمول ها

فرض کنید R شعاع کمانی باشد که بخشی از محیط قطعه را تشکیل می دهد، θ زاویه مرکزی که قوس را بر حسب رادیان فرو می برد ، c طول وتر ، s طول قوس ، h ساگیتا ( ارتفاع ) قطعه ، d آپوتم قطعه، و a مساحت قطعه .

معمولاً طول و ارتفاع وتر داده یا اندازه گیری می شود و گاهی طول قوس جزئی از محیط و مجهولات مساحت و گاهی طول قوس است. اینها را نمی توان به سادگی از طول و ارتفاع وتر محاسبه کرد، بنابراین معمولاً ابتدا دو کمیت میانی، شعاع و زاویه مرکزی محاسبه می شود.

شعاع و زاویه مرکزی

شعاع عبارت است از:

${\displaystyle R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}}$^[3]

زاویه مرکزی است

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\tfrac {c}{2R}}}$

طول و ارتفاع آکورد

طول و ارتفاع وتر را می توان از شعاع و زاویه مرکزی به صورت زیر محاسبه کرد:

طول وتر است

${\displaystyle c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}}$

${\displaystyle c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}}$

ساگیتا است ​

${\displaystyle h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}}$

حکم این است

${\displaystyle d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}}$

طول و مساحت قوس

طول قوس، از هندسه آشنای یک دایره، است

${\displaystyle s={\theta }R}$

مساحت a از بخش دایره ای برابر است با مساحت بخش دایره ای منهای مساحت قسمت مثلثی (با استفاده از فرمول زاویه دوتایی برای بدست آوردن معادله بر حسب ): ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)}$

بر حسب R و h ،

${\displaystyle a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}}$

بر حسب c و h

${\displaystyle a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})}$

آنچه می توان بیان کرد این است که با کوچکتر شدن زاویه مرکزی (یا به طور متناوب بزرگتر شدن شعاع)، ناحیه a به سرعت و مجانبی نزدیک می شود . اگر ، یک تقریب قابل ملاحظه خوب است. ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$ ${\displaystyle \theta \ll 1}$ ${\displaystyle a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h}$

اگر ثابت نگه داشته شود، و شعاع اجازه تغییر داشته باشد، آنگاه داریم ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\frac {\partial a}{\partial s}}=R}$$

همانطور که زاویه مرکزی به π نزدیک می شود، مساحت قطعه به مساحت یک نیم دایره همگرا می شود، بنابراین یک تقریب خوب یک آفست دلتا از ناحیه دوم است: ${\displaystyle {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)}$برای h>.75 R

به عنوان مثال، مساحت یک چهارم دایره است که θ ~ 2.31 رادیان (132.3 درجه) مربوط به ارتفاع ~59.6٪ و طول وتر ~183٪ از شعاع است. ^{[ توضیح لازم است ]}

و غیره

محیط p طول قوس بعلاوه طول وتر است،

${\displaystyle p=c+s=c+\theta R}$

به نسبت کل مساحت دیسک،، شما دارید ${\displaystyle A=\pi R^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}}$

برنامه های کاربردی

فرمول مساحت را می توان در محاسبه حجم یک مخزن استوانه ای نیمه پر که به صورت افقی قرار دارد استفاده کرد.

در طراحی پنجره‌ها یا درها با رویه‌های گرد، c و h ممکن است تنها مقادیر شناخته شده باشند و می‌توانند برای محاسبه R برای تنظیم قطب‌نمای نقشه‌کش استفاده شوند.

می توان ابعاد کامل یک جسم دایره ای کامل را از قطعات با اندازه گیری طول قوس و طول وتر قطعه بازسازی کرد.

برای بررسی موقعیت سوراخ در یک الگوی دایره ای. به ویژه برای بررسی کیفیت محصولات ماشینکاری شده مفید است.

برای محاسبه مساحت یا مرکز یک شکل مسطح که شامل قطعات دایره ای است.

همچنین ببینید

• آکورد (هندسه)
• کلاهک کروی
• بخش دایره ای

مراجع

1. ریاضیات در مواقع لزوم بین کلمات دایره و دیسک تمایز قائل می شود : دیسک صفحه ای است که مرز آن دایره است، در حالی که دایره منحنی بسته ای است که خود مرز را تشکیل می دهد.
2. این اصطلاحات به خطی اشاره دارد که یک منحنی را قطع می کند. در این مورد، منحنی دایره ای است که مرز دیسک را تشکیل می دهد.
3. رابطه اساسی بین R، c و h که مستقیماً از قضیه فیثاغورث در بین اجزای R، C/2 و rh یک مثلث قائم الزاویه مشتق می شود، این است: که ممکن است در صورت لزوم برای R، c یا h حل شود. ${\displaystyle R^{2}=({\tfrac {c}{2}})^{2}+(R-h)^{2}}$

• Weiststein, Eric W. "قطع دایره ای". دنیای ریاضی .

لینک های خارجی

• تعریف یک بخش دایره ای با انیمیشن تعاملی
• فرمول های مساحت یک بخش دایره ای با انیمیشن تعاملی