سیستم دینامیکی

مدل ریاضی وابستگی زمانی یک نقطه در فضا

جذب کننده لورنز در مطالعه نوسانگر لورنز ، یک سیستم دینامیکی پدید می آید.

در ریاضیات ، سیستم دینامیکی سیستمی است که در آن یک تابع وابستگی زمانی یک نقطه را در یک فضای محیطی ، مانند یک منحنی پارامتری ، توصیف می کند . به عنوان مثال می توان به مدل های ریاضی اشاره کرد که تاب خوردن یک آونگ ساعت ، جریان آب در یک لوله ، حرکت تصادفی ذرات در هوا ، و تعداد ماهی ها در هر فصل بهار در دریاچه را توصیف می کند . کلی‌ترین تعریف، چندین مفهوم را در ریاضیات مانند معادلات دیفرانسیل معمولی و نظریه ارگودیک با اجازه دادن به انتخاب‌های مختلف فضا و نحوه اندازه‌گیری زمان، متحد می‌کند. زمان را می‌توان با اعداد صحیح، با اعداد حقیقی یا مختلط اندازه‌گیری کرد ^{یا می‌تواند یک شی جبری عمومی‌تر باشد که حافظه منشأ فیزیکی خود را از دست می‌دهد} و فضا ممکن است یک منیفولد یا صرفاً یک مجموعه باشد ، بدون نیاز به یک ساختار صاف فضا-زمان بر روی آن تعریف شده است.

در هر زمان معین، یک سیستم دینامیکی حالتی دارد که نشان دهنده یک نقطه در فضای حالت مناسب است . این حالت اغلب با چند اعداد حقیقی یا بردار در یک منیفولد هندسی داده می شود. قاعده تکامل سیستم دینامیکی تابعی است که توصیف می کند که وضعیت های آینده از وضعیت فعلی چه چیزی را دنبال می کنند. اغلب تابع قطعی است ، یعنی برای یک بازه زمانی معین فقط یک حالت آینده از حالت فعلی تبعیت می کند. ^{[1] [2]} با این حال، برخی از سیستم‌ها تصادفی هستند ، زیرا رویدادهای تصادفی نیز بر تکامل متغیرهای حالت تأثیر می‌گذارند.

در فیزیک ، یک سیستم دینامیکی به عنوان "ذره یا مجموعه ای از ذرات که حالت آنها در طول زمان تغییر می کند و بنابراین از معادلات دیفرانسیل مشتقات زمان تبعیت می کند" توصیف می شود. ^[3] به منظور پیش بینی در مورد رفتار آینده سیستم، حل تحلیلی این معادلات یا ادغام آنها در طول زمان از طریق شبیه سازی کامپیوتری محقق می شود.

مطالعه سیستم‌های دینامیکی تمرکز نظریه سیستم‌های دینامیکی است که در زمینه‌های مختلف مانند ریاضیات، فیزیک، ^{[4] [5]} زیست‌شناسی ، ^[6] شیمی ، مهندسی ، ^[7] اقتصاد ، ^{[8] کاربرد دارد. ]} تاریخ و پزشکی . سیستم‌های دینامیکی بخش اساسی نظریه آشوب ، دینامیک نقشه لجستیک ، نظریه دوشاخه ، فرآیندهای خودسازماندهی و خودسازماندهی و لبه مفهوم آشوب هستند.

نمای کلی

مفهوم سیستم دینامیکی ریشه در مکانیک نیوتنی دارد . در آنجا، مانند سایر رشته‌های علوم طبیعی و مهندسی، قانون تکامل سیستم‌های دینامیکی یک رابطه ضمنی است که وضعیت سیستم را تنها برای مدت کوتاهی در آینده نشان می‌دهد. (این رابطه یا یک معادله دیفرانسیل ، معادله تفاوت یا مقیاس زمانی دیگر است .) برای تعیین وضعیت برای همه زمان‌های آینده، نیاز به تکرار رابطه چندین بار است - هر زمان یک گام کوچک پیش می‌رود. روش تکرار به حل سیستم یا یکپارچه سازی سیستم گفته می شود . اگر بتوان سیستم را حل کرد، با توجه به یک نقطه اولیه، می توان تمام موقعیت های آینده آن را تعیین کرد، مجموعه ای از نقاط که به عنوان مسیر یا مدار شناخته می شوند .

قبل از ظهور رایانه‌ها ، یافتن یک مدار به تکنیک‌های ریاضی پیچیده‌ای نیاز داشت و فقط برای دسته کوچکی از سیستم‌های دینامیکی قابل انجام بود. روش های عددی اجرا شده بر روی ماشین های محاسباتی الکترونیکی، کار تعیین مدارهای یک سیستم دینامیکی را ساده کرده است.

برای سیستم‌های دینامیکی ساده، دانستن مسیر اغلب کافی است، اما بیشتر سیستم‌های دینامیکی آن‌قدر پیچیده هستند که نمی‌توان آن‌ها را از نظر مسیرهای منفرد درک کرد. مشکلات به این دلیل به وجود می آیند که:

• سیستم های مورد مطالعه ممکن است فقط به طور تقریبی شناخته شوند - ممکن است پارامترهای سیستم به طور دقیق شناخته نشده باشند یا ممکن است اصطلاحات در معادلات گم شده باشند. تقریب های استفاده شده اعتبار یا ارتباط راه حل های عددی را زیر سوال می برد. برای پرداختن به این سوالات چندین مفهوم از پایداری در مطالعه سیستم های دینامیکی مانند پایداری لیاپانوف یا پایداری سازه معرفی شده است . پایداری سیستم دینامیکی نشان می‌دهد که کلاسی از مدل‌ها یا شرایط اولیه وجود دارد که مسیرها برای آن‌ها معادل هستند. عملیات مقایسه مدارها برای تعیین هم ارزی آنها با مفاهیم مختلف پایداری تغییر می کند.
• نوع مسیر ممکن است مهمتر از یک مسیر خاص باشد. برخی از مسیرها ممکن است دوره ای باشند، در حالی که برخی دیگر ممکن است در بسیاری از حالت های مختلف سیستم سرگردان باشند. برنامه های کاربردی اغلب نیاز به شمارش این کلاس ها یا حفظ سیستم در یک کلاس دارند. طبقه بندی تمام مسیرهای ممکن منجر به مطالعه کیفی سیستم های دینامیکی شده است، یعنی ویژگی هایی که تحت تغییرات مختصات تغییر نمی کنند. سیستم‌ها و سیستم‌های دینامیکی خطی که دارای دو عدد هستند که حالت را توصیف می‌کنند، نمونه‌هایی از سیستم‌های دینامیکی هستند که در آن کلاس‌های ممکن مدارها درک می‌شوند.
• رفتار مسیرها به عنوان تابعی از یک پارامتر ممکن است چیزی باشد که برای یک برنامه مورد نیاز است. از آنجایی که یک پارامتر متغیر است، سیستم های دینامیکی ممکن است نقاط انشعاب داشته باشند که در آن رفتار کیفی سیستم دینامیکی تغییر می کند. برای مثال، ممکن است از داشتن حرکات تناوبی به رفتار ظاهراً نامنظم تبدیل شود، مانند انتقال به تلاطم یک سیال .
• مسیرهای سیستم ممکن است نامنظم به نظر برسند، گویی تصادفی. در این موارد ممکن است لازم باشد میانگین ها را با استفاده از یک مسیر بسیار طولانی یا بسیاری از مسیرهای مختلف محاسبه کنیم. میانگین ها به خوبی برای سیستم های ارگودیک تعریف شده اند و درک دقیق تری برای سیستم های هذلولی به دست آمده است . درک جنبه های احتمالی سیستم های دینامیکی به ایجاد پایه های مکانیک آماری و آشوب کمک کرده است .

تاریخچه

بسیاری از مردم ، هانری پوانکاره، ریاضیدان فرانسوی را بنیانگذار سیستم های دینامیکی می دانند. ^[9] پوانکاره دو تک نگاری کلاسیک به نام‌های «روش‌های جدید مکانیک سماوی» (1892–1899) و «سخنرانی‌هایی درباره مکانیک سماوی» (1905-1910) منتشر کرد. در آنها، او با موفقیت نتایج تحقیقات خود را برای مسئله حرکت سه جسم به کار برد و رفتار راه حل ها (فرکانس، پایداری، مجانبی و غیره) را به طور دقیق مورد مطالعه قرار داد. این مقالات شامل قضیه عود پوانکاره بود ، که بیان می‌کند که سیستم‌های خاصی، پس از مدت زمان کافی طولانی اما محدود، به حالت بسیار نزدیک به حالت اولیه باز می‌گردند.

الکساندر لیاپانوف بسیاری از روشهای تقریب مهم را توسعه داد. روش های او که در سال 1899 توسعه داد، امکان تعریف پایداری مجموعه معادلات دیفرانسیل معمولی را فراهم می کند. او نظریه مدرن پایداری یک سیستم دینامیکی را ایجاد کرد.

در سال 1913، جورج دیوید بیرخوف " آخرین قضیه هندسی " پوانکاره را اثبات کرد ، یک مورد خاص از مسئله سه جسم ، نتیجه ای که او را به شهرت جهانی رساند. در سال 1927، او سیستم های پویا خود را منتشر کرد . بادوام ترین نتیجه بیرخوف کشف او در سال 1931 از چیزی است که اکنون قضیه ارگودیک نامیده می شود . این قضیه با ترکیب بینش‌های فیزیک در مورد فرضیه ارگودیک با نظریه اندازه‌گیری ، حداقل در اصل یک مشکل اساسی مکانیک آماری را حل کرد . قضیه ارگودیک نیز برای دینامیک بازتاب داشته است.

استفن اسمیل نیز پیشرفت های چشمگیری داشت. اولین مشارکت او نعل اسب کوچک بود که تحقیقات قابل توجهی را در سیستم های دینامیکی آغاز کرد. او همچنین یک برنامه تحقیقاتی که توسط بسیاری دیگر انجام شده است را تشریح کرد.

اولکساندر میکولایوویچ شارکوفسکی در سال 1964 قضیه شارکوفسکی را در مورد دوره های سیستم های دینامیکی گسسته توسعه داد . یکی از پیامدهای قضیه این است که اگر یک سیستم دینامیکی گسسته روی خط واقعی دارای نقطه تناوبی از دوره 3 باشد، باید نقاط تناوبی از هر یک را داشته باشد. دوره دیگر

در اواخر قرن بیستم، دیدگاه سیستم دینامیکی به معادلات دیفرانسیل جزئی محبوبیت پیدا کرد. مهندس مکانیک فلسطینی علی ح. نایفه دینامیک غیرخطی را در سیستم های مکانیک و مهندسی به کار برد . ^[10] کار پیشگام او در دینامیک غیرخطی کاربردی در ساخت و نگهداری ماشین‌ها و سازه‌هایی که در زندگی روزمره رایج هستند، مانند کشتی‌ها ، جرثقیل‌ها ، پل‌ها ، ساختمان‌ها ، آسمان‌خراش‌ها ، موتورهای جت ، موتورهای موشک ، هواپیما و فضاپیما تأثیرگذار بوده است. . ^[11]

تعریف رسمی

در کلی‌ترین مفهوم، ^{[12] [13]} یک سیستم دینامیکی یک تاپل است ( T ، X ، Φ) که در آن T یک مونوئید است که به صورت اضافه نوشته می‌شود، X یک مجموعه غیر خالی و Φ یک تابع است.

${\displaystyle \Phi :U\subseteq (T\times X)\to X}$

با

${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}(U)=X}$ ( نقشه طرح دوم کجاست ) ${\displaystyle \mathrm {proj} _{2}}$

و برای هر x در X :

${\displaystyle \Phi (0,x)=x}$

${\displaystyle \Phi (t_{2},\Phi (t_{1},x))=\Phi (t_{2}+t_{1},x),}$

برای و ، جایی که ما مجموعه ای را برای هر x در X تعریف کرده ایم . ${\displaystyle \,t_{1},\,t_{2}+t_{1}\in I(x)}$ ${\displaystyle \ t_{2}\in I(\Phi (t_{1},x))}$ ${\displaystyle I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}}$

به ویژه، در موردی که ما برای هر x در X داریم که و بنابراین، ف یک عمل مونوئیدی T را روی X تعریف می کند . ${\displaystyle U=T\times X}$ ${\displaystyle I(x)=T}$

تابع Φ( t , x ) تابع تکامل سیستم دینامیکی نامیده می شود : به هر نقطه x در مجموعه X یک تصویر منحصر به فرد، بسته به متغیر t که پارامتر تکامل نامیده می شود ، مرتبط می کند . X فضای فاز یا فضای حالت نامیده می شود ، در حالی که متغیر x حالت اولیه سیستم را نشان می دهد .

ما اغلب می نویسیم

${\displaystyle \Phi _{x}(t)\equiv \Phi (t,x)}$

${\displaystyle \Phi ^{t}(x)\equiv \Phi (t,x)}$

اگر یکی از متغیرها را ثابت در نظر بگیریم. تابع

${\displaystyle \Phi _{x}:I(x)\to X}$

جریان از طریق x و نمودار آن مسیر عبور از x نامیده می شود . مجموعه

${\displaystyle \gamma _{x}\equiv \{\Phi (t,x):t\in I(x)\}}$

مدار از طریق x نامیده می شود . مدار از طریق x تصویر جریان از طریق x است . زیرمجموعه ای از فضای حالت X ، ف- ثابت نامیده می شود اگر برای همه x در S و همه t در T

${\displaystyle \Phi (t,x)\in S.}$

بنابراین، به‌ویژه، اگر S برای همه x در S ثابت است . یعنی جریان x باید برای تمام زمان برای هر عنصر S تعریف شود . ${\displaystyle I(x)=T}$

معمولاً دو دسته از تعاریف برای یک سیستم دینامیکی وجود دارد: یکی از معادلات دیفرانسیل معمولی و دارای طعم هندسی است. و دیگری با انگیزه نظریه ارگودیک است و از نظر طعم و مزه نظری است .

تعریف هندسی

در تعریف هندسی، سیستم دینامیکی تاپل است . دامنه زمان است - انتخاب های زیادی وجود دارد، معمولاً واقعی یا اعداد صحیح، که احتمالاً محدود به غیر منفی بودن هستند. یک منیفولد است ، یعنی به صورت محلی یک فضای Banach یا فضای اقلیدسی، یا در حالت گسسته یک نمودار است . f یک قاعده تکاملی t  →  f ^t (با ) است به طوری که f  ^t یک دیفئومورفیسم منیفولد به خودش است. بنابراین، f یک نگاشت «هموار» از حوزه زمان در فضای تفاوت شکل‌های منیفولد به خودش است. به عبارت دیگر، f ( t ) یک دیفرمورفیسم است، برای هر بار t در دامنه . ${\displaystyle \langle {\mathcal {T}},{\mathcal {M}},f\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  ${\displaystyle t\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

سیستم دینامیکی واقعی

یک سیستم دینامیکی واقعی ، سیستم دینامیکی بلادرنگ ، سیستم دینامیکی زمان پیوسته یا جریان یک تاپلی ( T ، M ، Φ) با T یک بازه باز در اعداد واقعی R ، M یک منیفولد به صورت موضعی متفاوت به فضای Banach است ، و Φ تابع پیوسته . اگر Φ به طور پیوسته قابل تمایز باشد ، می گوییم سیستم یک سیستم دینامیکی متمایزپذیر است . اگر منیفولد M به طور موضعی با Rn دیفئومورفیک باشد ، ^سیستم دینامیکی بعد محدود است . اگر نه، سیستم دینامیکی بی‌بعدی است . این یک ساختار ساده را فرض نمی کند . هنگامی که T به عنوان واقعی در نظر گرفته شود، سیستم دینامیکی جهانی یا جریان نامیده می شود . و اگر T به واقعیات غیر منفی محدود شود، سیستم دینامیکی یک نیمه جریان است .

سیستم دینامیکی گسسته

یک سیستم دینامیکی گسسته ، سیستم دینامیکی زمان گسسته یک تاپل است ( T ، M ، Φ)، که در آن M یک منیفولد به صورت موضعی متفاوت به فضای Banach است ، و Φ یک تابع است. وقتی T به عنوان اعداد صحیح در نظر گرفته شود، یک آبشار یا یک نقشه است . اگر T به اعداد صحیح غیر منفی محدود شود، سیستم را نیمه آبشاری می نامیم . ^[14]

اتومات سلولی

یک خودکار سلولی یک تاپل است ( T ، M ، Φ)، با T یک شبکه مانند اعداد صحیح یا یک شبکه اعداد صحیح با ابعاد بالاتر ، M مجموعه ای از توابع از یک شبکه اعداد صحیح (باز هم با یک یا چند بعد) به یک مجموعه محدود، و Φ یک تابع تکامل (محلی تعریف شده). به این ترتیب اتوماتای ​​سلولی سیستم های دینامیکی هستند. شبکه در M نشان دهنده شبکه "فضا" است، در حالی که شبکه T نشان دهنده شبکه "زمان" است.

تعمیم چند بعدی

سیستم های پویا معمولاً بر روی یک متغیر مستقل تعریف می شوند که به عنوان زمان در نظر گرفته می شود. یک کلاس کلی تر از سیستم ها بر روی چندین متغیر مستقل تعریف می شوند و بنابراین سیستم های چند بعدی نامیده می شوند . چنین سیستم هایی برای مدل سازی، به عنوان مثال، پردازش تصویر مفید هستند .

فشرده سازی یک سیستم دینامیکی

با توجه به یک سیستم دینامیکی جهانی ( R ، X ، Φ) در فضای توپولوژیکی X به صورت محلی فشرده و هاسدورف ، اغلب مطالعه گسترش پیوسته Φ* از ​​Φ به فشرده سازی یک نقطه ای X* از X مفید است . اگرچه ساختار دیفرانسیل سیستم اصلی را از دست می دهیم، اکنون می توانیم از آرگومان های فشردگی برای تجزیه و تحلیل سیستم جدید استفاده کنیم ( R ، X* ، Φ*).

در سیستم های دینامیکی فشرده، مجموعه حدی هر مداری غیر خالی ، فشرده و به سادگی متصل است .

اندازه گیری تعریف نظری

یک سیستم دینامیکی ممکن است به طور رسمی به عنوان تبدیلی برای حفظ اندازه گیری یک فضای اندازه گیری ، سه گانه ( T ، ( X ، Σ، μ )، ​​Φ) تعریف شود. در اینجا، T یک مونوئید است (معمولا اعداد صحیح غیر منفی)، X یک مجموعه است ، و ( X ، Σ، μ ) یک فضای احتمال است ، به این معنی که Σ یک سیگما-جبر روی X است و μ یک اندازه گیری محدود است . ( X ، Σ). یک نقشه Φ: X → X می گویند Σ-قابل اندازه گیری است اگر و فقط اگر، برای هر σ در Σ، یکی دارای . به نقشه Φ گفته می شود که اندازه گیری را حفظ می کند اگر و فقط اگر برای هر σ در Σ، یک عدد داشته باشد . با ترکیب موارد فوق، یک نقشه Φ گفته می‌شود که تبدیل اندازه‌گیری X است ، اگر نقشه‌ای از X به خودش باشد، قابل اندازه‌گیری Σ است و دارای اندازه‌گیری است. سه گانه ( T ، ( X ، Σ، μ )، ​​Φ)، برای چنین Φ، سپس به عنوان یک سیستم دینامیکی تعریف می شود . ${\displaystyle \Phi ^{-1}\sigma \in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu (\Phi ^{-1}\sigma )=\mu (\sigma )}$

نقشه Φ تجسم تکامل زمانی سیستم دینامیکی است. بنابراین، برای سیستم های دینامیکی گسسته، تکرار برای هر عدد صحیح n مورد مطالعه قرار می گیرد. برای سیستم های دینامیکی پیوسته، نقشه Φ به عنوان یک نقشه تکامل زمان محدود شناخته می شود و ساخت و ساز پیچیده تر است. ${\displaystyle \Phi ^{n}=\Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi }$

ارتباط با تعریف هندسی

تعریف نظری اندازه گیری وجود یک تبدیل حفظ اندازه را فرض می کند. بسیاری از معیارهای تغییرناپذیر مختلف را می توان به هر یک از قوانین تکامل مرتبط دانست. اگر سیستم دینامیکی توسط یک سیستم معادلات دیفرانسیل داده شود، اندازه گیری مناسب باید تعیین شود. این امر توسعه نظریه ارگودیک را با شروع از معادلات دیفرانسیل دشوار می کند، بنابراین داشتن یک تعریف مبتنی بر سیستم های دینامیکی در نظریه ارگودیک راحت می شود که انتخاب اندازه گیری را کنار گذاشته و انتخاب را فرض می کند. یک ساختار ساده (گاهی اوقات قضیه کریلوف-بوگولیوبوف نامیده می‌شود ) نشان می‌دهد که برای کلاس بزرگی از سیستم‌ها، همیشه می‌توان اندازه‌گیری کرد تا قانون تکامل سیستم دینامیکی تبدیلی برای حفظ اندازه شود. در ساخت و ساز، یک اندازه معین از فضای حالت برای تمام نقاط آینده یک مسیر جمع می شود، که عدم تغییر را تضمین می کند.

برخی از سیستم‌ها اندازه‌گیری طبیعی دارند، مانند اندازه‌گیری لیوویل در سیستم‌های همیلتونی ، که بیش از سایر معیارهای ثابت انتخاب شده است، مانند معیارهایی که در مدارهای تناوبی سیستم همیلتونی پشتیبانی می‌شوند. برای سیستم‌های پراکنده آشفته ، انتخاب اندازه‌گیری ثابت از نظر فنی چالش‌برانگیزتر است. اندازه گیری باید روی جذب کننده پشتیبانی شود ، اما جذب کننده ها دارای اندازه Lebesgue صفر هستند و معیارهای ثابت باید با توجه به اندازه Lebesgue منفرد باشند. منطقه کوچکی از فضای فاز تحت تکامل زمان کوچک می شود.

برای سیستم‌های دینامیکی هذلولی، به نظر می‌رسد معیارهای Sinai-Ruelle-Bowen انتخاب طبیعی باشد. آنها بر روی ساختار هندسی منیفولدهای پایدار و ناپایدار سیستم دینامیکی ساخته شده اند. آنها تحت اختلالات کوچک رفتار فیزیکی دارند. و بسیاری از آمارهای مشاهده شده سیستم های هذلولی را توضیح می دهند.

ساخت سیستم های دینامیکی

مفهوم تکامل در زمان در نظریه سیستم‌های دینامیکی، همانطور که در بخش‌های قبلی دیده شد، مرکزی است: دلیل اصلی این واقعیت این است که انگیزه شروع نظریه، مطالعه رفتار زمانی سیستم‌های مکانیکی کلاسیک بود . اما یک سیستم معادلات دیفرانسیل معمولی قبل از تبدیل شدن به یک سیستم پویا باید حل شود. به عنوان مثال، یک مشکل مقدار اولیه مانند موارد زیر را در نظر بگیرید:

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t=0}={\boldsymbol {x}}_{0}}$

کجا

• ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}}$نشان دهنده سرعت نقطه مادی x است
• M یک منیفولد با ابعاد محدود است
• v : T × M → TM یک میدان برداری در R ⁿ یا C ⁿ است و نشان دهنده تغییر سرعت القا شده توسط نیروهای شناخته شده وارد بر نقطه ماده معین در فضای فاز M است . این تغییر یک بردار در فضای فاز M نیست  ، بلکه در فضای مماس TM است .

نه نیازی به مشتقات مرتبه بالاتر در معادله وجود دارد و نه به پارامتر t در v ( t ، x )، زیرا با در نظر گرفتن سیستم هایی با ابعاد بالاتر می توان آنها را حذف کرد.

بسته به خواص این میدان برداری، سیستم مکانیکی نامیده می شود

• خودمختار ، زمانی که v ( t ، x ) = v ( x )
• همگن زمانی که v ( t ، 0 ) = 0 برای همه t

راه حل را می توان با استفاده از تکنیک های استاندارد ODE پیدا کرد و به عنوان تابع تکاملی که قبلاً در بالا معرفی شد نشان داده می شود

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})}$

سپس سیستم دینامیکی ( T ، M ، Φ) است.

برخی از دستکاری های رسمی سیستم معادلات دیفرانسیل که در بالا نشان داده شده است، شکل کلی تری از معادلات به دست می دهد که یک سیستم دینامیکی باید برآورده کند.

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {x}}}-{\boldsymbol {v}}(t,{\boldsymbol {x}})=0\qquad \Leftrightarrow \qquad {\mathfrak {G}}\left(t,\Phi (t,{\boldsymbol {x}}_{0})\right)=0}$

که در آن تابعی از مجموعه توابع تکامل به میدان اعداد مختلط است . ${\displaystyle {\mathfrak {G}}:{{(T\times M)}^{M}}\to \mathbf {C} }$

این معادله هنگام مدل‌سازی سیستم‌های مکانیکی با محدودیت‌های پیچیده مفید است.

بسیاری از مفاهیم در سیستم‌های دینامیکی را می‌توان به منیفولدهای بی‌بعدی - آنهایی که به صورت محلی فضاهای Banach هستند - گسترش داد که در این صورت معادلات دیفرانسیل معادلات دیفرانسیل جزئی هستند .

نمونه ها

• نقشه گربه آرنولد
• نقشه بیکر نمونه ای از یک نقشه خطی تکه تکه آشفته است
• بیلیارد و بیلیارد بیرونی
• دینامیک توپ پرش
• نقشه دایره ای
• چند جمله ای مرکب درجه دوم
• آونگ دوتایی
• دگرگونی دیادیک
• نقشه هنون
• چرخش غیر منطقی
• نقشه کاپلان – یورک
• فهرست نقشه های آشفته
• سیستم لورنز
• سیستم شبیه سازی نقشه درجه دوم
• نقشه روسلر
• چرخاندن ماشین اتوود
• نقشه چادر

سیستم های دینامیکی خطی

سیستم های دینامیکی خطی را می توان از نظر توابع ساده و رفتار همه مدارهای طبقه بندی شده حل کرد. در یک سیستم خطی، فضای فاز، فضای اقلیدسی N بعدی است، بنابراین هر نقطه در فضای فاز را می توان با بردار با N عدد نشان داد. تجزیه و تحلیل سیستم های خطی ممکن است زیرا آنها یک اصل برهم نهی را برآورده می کنند : اگر u ( t ) و w ( t ) معادله دیفرانسیل میدان برداری (اما نه لزوماً شرط اولیه) را برآورده کنند، پس u ( t ) +  w نیز چنین خواهد بود. ( ت ).

جریان می یابد

برای یک جریان ، میدان برداری v( x ) تابعی از موقعیت در فضای فاز است، یعنی:

${\displaystyle {\dot {x}}=v(x)=Ax+b,}$

با A یک ماتریس، b بردار اعداد و x بردار موقعیت. راه حل این سیستم را می توان با استفاده از اصل برهم نهی (خطی) یافت. حالت b  ≠ 0 با A  = 0 فقط یک خط مستقیم در جهت  b است :

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{1})=x_{1}+bt.}$

وقتی b صفر باشد و A  ≠ 0 مبدأ یک نقطه تعادل (یا منفرد) جریان است، یعنی اگر x ₀  = 0 باشد، مدار در آنجا باقی می ماند. برای سایر شرایط اولیه، معادله حرکت با نمایی یک ماتریس به دست می‌آید : برای یک نقطه اولیه x ₀ ،

${\displaystyle \Phi ^{t}(x_{0})=e^{tA}x_{0}.}$

وقتی b = 0، مقادیر ویژه A ساختار فضای فاز را تعیین می کند. از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه A می توان تعیین کرد که آیا یک نقطه اولیه به نقطه تعادل در مبدأ همگرا یا واگرا می شود.

فاصله بین دو شرط اولیه متفاوت در حالت A  ≠ 0 در بیشتر موارد به صورت تصاعدی تغییر می کند، یا با سرعت نمایی به سمت یک نقطه همگرا می شود یا به طور نمایی سریع واگرا می شود. سیستم های خطی در صورت واگرایی، وابستگی حساسی به شرایط اولیه نشان می دهند. برای سیستم های غیرخطی این یکی از شرایط (ضروری اما کافی نیست) برای رفتار آشفته است .

میدان های برداری خطی و چند خط سیر.

نقشه ها

یک سیستم دینامیکی با زمان گسسته و وابسته به شکل یک معادله اختلاف ماتریس است :

${\displaystyle x_{n+1}=Ax_{n}+b,}$

با A ماتریس و b بردار. مانند حالت پیوسته، تغییر مختصات x  →  x  + (1 −  A )  ^–1 b عبارت b را از معادله حذف می کند. در سیستم مختصات جدید مبدأ یک نقطه ثابت نقشه و جواب ها از سیستم خطی A ⁿ x ₀ هستند . راه حل های نقشه دیگر منحنی نیستند، بلکه نقاطی هستند که در فضای فاز پرش می کنند. مدارها در منحنی ها یا الیافی سازماندهی می شوند که مجموعه ای از نقاط هستند که تحت تأثیر نقشه به درون خود نقشه می پردازند. 

همانطور که در حالت پیوسته، مقادیر ویژه و بردارهای ویژه A ساختار فضای فاز را تعیین می کند. به عنوان مثال، اگر u ₁ بردار ویژه A باشد ، با مقدار ویژه واقعی کوچکتر از یک، آنگاه خطوط مستقیم داده شده توسط نقاط در امتداد α  u ₁ ، با α  ∈  R ، منحنی ثابت نقشه است. نقاط این خط مستقیم به نقطه ثابت می رسند.

همچنین بسیاری دیگر از سیستم های دینامیکی گسسته وجود دارد .

پویایی محلی

ویژگی‌های کیفی سیستم‌های دینامیکی تحت یک تغییر هموار مختصات تغییر نمی‌کند (این گاهی اوقات به عنوان تعریف کیفی در نظر گرفته می‌شود): یک نقطه منفرد از میدان برداری (نقطه‌ای که  v ( x ) = 0) یک نقطه منفرد باقی می‌ماند. تحت تحولات صاف؛ مدار تناوبی یک حلقه در فضای فاز است و تغییر شکل های صاف فضای فاز نمی تواند حلقه بودن آن را تغییر دهد. در مجاورت نقاط منفرد و مدارهای تناوبی است که می توان ساختار فضای فاز یک سیستم دینامیکی را به خوبی درک کرد. در مطالعه کیفی سیستم های دینامیکی، رویکرد این است که نشان داده شود که یک تغییر مختصات (معمولاً نامشخص، اما قابل محاسبه) وجود دارد که سیستم دینامیکی را تا حد امکان ساده می کند.

اصلاح

یک جریان در بیشتر تکه های کوچک فضای فاز می تواند بسیار ساده باشد. اگر y نقطه ای باشد که میدان برداری v ( y ) ≠ 0 باشد، در آن صورت مختصات ناحیه ای در اطراف y تغییر می کند که در آن میدان برداری به مجموعه ای از بردارهای موازی با همان قدر تبدیل می شود. این به عنوان قضیه تصحیح شناخته می شود.

قضیه تصحیح می گوید که دور از نقاط منفرد، دینامیک یک نقطه در یک تکه کوچک یک خط مستقیم است. وصله گاهی اوقات می تواند با دوختن چندین تکه به هم بزرگ شود، و زمانی که این کار در کل فضای فاز M انجام شود، سیستم دینامیکی یکپارچه می شود . در بیشتر موارد پچ را نمی توان به کل فضای فاز گسترش داد. ممکن است نقاط منفرد در فیلد برداری وجود داشته باشد (که در آن v ( x ) = 0). یا تکه ها ممکن است با نزدیک شدن به نقطه ای کوچکتر و کوچکتر شوند. دلیل ظریف‌تر یک محدودیت جهانی است، جایی که مسیر در یک پچ شروع می‌شود و پس از بازدید از یک سری وصله‌های دیگر به نسخه اصلی باز می‌گردد. اگر دفعه بعد مدار به روش دیگری به دور فضای فاز حلقه بزند، اصلاح میدان برداری در کل سری تکه‌ها غیرممکن است.

نزدیک مدارهای تناوبی

به طور کلی، در همسایگی یک مدار تناوبی نمی توان از قضیه تصحیح استفاده کرد. پوانکاره رویکردی را توسعه داد که تجزیه و تحلیل نزدیک یک مدار دوره ای را به تجزیه و تحلیل نقشه تبدیل می کند. یک نقطه x ₀ را در مدار γ انتخاب کنید و نقاطی را در فضای فاز در آن همسایگی که عمود بر v ( x ₀ ) هستند در نظر بگیرید. این نقاط یک بخش پوانکاره S ( γ ,  x ₀ ) از مدار هستند. این جریان اکنون نقشه ای را تعریف می کند، نقشه پوانکاره F  :  S  →  S ، برای نقاطی که از S شروع می شوند و به  S باز می گردند . بازگشت همه این نقاط به یک اندازه طول نمی کشد، اما زمان ها نزدیک به زمانی است که  x ₀ طول می کشد .

محل تلاقی مدار تناوبی با مقطع پوانکاره نقطه ثابتی از نقشه پوانکاره F است . با یک ترجمه، نقطه را می توان در x  = 0 فرض کرد. سری تیلور نقشه F ( x ) =  J  ·  x  + O ( x ² ) است، بنابراین می توان انتظار داشت که تغییر مختصات h فقط ساده شود. F به قسمت خطی آن

${\displaystyle h^{-1}\circ F\circ h(x)=J\cdot x.}$

این به عنوان معادله صرف شناخته می شود. یافتن شرایط برای حفظ این معادله یکی از وظایف اصلی تحقیق در سیستم های دینامیکی بوده است. پوانکاره ابتدا با فرض اینکه همه توابع تحلیلی هستند به آن نزدیک شد و در این فرآیند شرایط غیر رزونانسی را کشف کرد. اگر λ ₁ ، ...،  λ _ν مقادیر ویژه J باشند ، اگر یک مقدار ویژه یک ترکیب خطی صحیح از دو یا چند عدد دیگر باشد، تشدید خواهند شد. از آنجایی که شرایط شکل λ _i – Σ (چندین مقادیر ویژه دیگر) در مخرج عبارات تابع h وجود دارد ، شرط غیر تشدید نیز به عنوان مسئله مقسوم علیه کوچک شناخته می شود.

نتایج صرف

نتایج مربوط به وجود یک راه حل برای معادله صرف به مقادیر ویژه J و درجه صافی مورد نیاز از h بستگی دارد . از آنجایی که J نیازی به داشتن تقارن خاصی ندارد، مقادیر ویژه آن معمولاً اعداد مختلط خواهند بود. هنگامی که مقادیر ویژه J در دایره واحد نباشند، دینامیک نزدیک نقطه ثابت x ₀ از F را هذلولی و زمانی که مقادیر ویژه روی دایره واحد و مختلط باشند، دینامیک را بیضوی می نامند .

در حالت هذلولی، قضیه هارتمن-گروبمن شرایطی را برای وجود یک تابع پیوسته ارائه می دهد که همسایگی نقطه ثابت نقشه را با نقشه خطی J  ·  x ترسیم می کند . مورد هذلولی نیز از نظر ساختاری پایدار است . تغییرات کوچک در میدان برداری تنها تغییرات کوچکی را در نقشه پوانکاره ایجاد می کند و این تغییرات کوچک در تغییرات کوچک در موقعیت مقادیر ویژه J در صفحه مختلط منعکس می شود و به این معنی است که نقشه هنوز هذلولی است.

قضیه Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) رفتار نزدیک به یک نقطه بیضوی را نشان می‌دهد.

نظریه انشعاب

هنگامی که نقشه تکامل Φ ^t (یا میدان برداری که از آن مشتق شده است) به پارامتر μ بستگی دارد، ساختار فضای فاز نیز به این پارامتر بستگی دارد. تغییرات کوچک ممکن است هیچ تغییر کیفی در فضای فاز ایجاد نکند تا زمانی که یک مقدار ویژه μ ₀ حاصل شود. در این مرحله فضای فاز به طور کیفی تغییر می کند و گفته می شود که سیستم دینامیکی از یک انشعاب عبور کرده است.

نظریه انشعاب ساختاری را در فضای فاز (معمولاً یک نقطه ثابت ، یک مدار تناوبی یا یک چنبره ثابت ) در نظر می‌گیرد و رفتار آن را به عنوان تابعی از پارامتر  μ مطالعه می‌کند . در نقطه انشعاب، سازه ممکن است پایداری خود را تغییر دهد، به ساختارهای جدید تقسیم شود یا با سازه های دیگر ادغام شود. با استفاده از تقریب‌های سری تیلور از نقشه‌ها و درک تفاوت‌هایی که ممکن است با تغییر مختصات حذف شوند، می‌توان انشعاب‌های سیستم‌های دینامیکی را فهرست‌بندی کرد.

انشعاب های یک نقطه ثابت هذلولی x ₀ از یک خانواده سیستم F _μ را می توان با مقادیر ویژه اولین مشتق سیستم DF _μ ( x0 ) محاسبه _شده در نقطه انشعاب مشخص کرد. برای یک نقشه، انشعاب زمانی رخ می دهد که مقادیر ویژه DF _μ در دایره واحد وجود داشته باشد. برای یک جریان، زمانی اتفاق می افتد که مقادیر ویژه در محور خیالی وجود داشته باشد. برای اطلاعات بیشتر، مقاله اصلی در نظریه انشعاب را ببینید .

برخی از دوشاخه ها می توانند به ساختارهای بسیار پیچیده در فضای فاز منجر شوند. به عنوان مثال، سناریوی Ruelle-Takens توضیح می‌دهد که چگونه یک مدار تناوبی به یک چنبره و چنبره به یک جاذبه عجیب و غریب تقسیم می‌شود . در مثالی دیگر، دوره مضاعف شدن فایگنباوم توضیح می‌دهد که چگونه یک مدار تناوبی پایدار از یک سری دوشاخه‌های پریود دوبرابر می‌گذرد .

سیستم های ارگودیک

در بسیاری از سیستم‌های دینامیکی، می‌توان مختصات سیستم را طوری انتخاب کرد که حجم (در واقع یک حجم ν بعدی) در فضای فاز ثابت باشد. تا زمانی که مختصات موقعیت و تکانه باشند و حجم بر حسب واحد (موقعیت) × (تکانه) اندازه گیری شود، این اتفاق برای سیستم های مکانیکی برگرفته از قوانین نیوتن می افتد. جریان نقاط زیر مجموعه A را به نقاط Φ ^t ( A ) می برد و تغییرناپذیری فضای فاز به این معنی است که 

${\displaystyle \mathrm {vol} (A)=\mathrm {vol} (\Phi ^{t}(A)).}$

در فرمالیسم همیلتونی ، با توجه به یک مختصات، می‌توان تکانه مناسب (تعمیم‌یافته) را به‌گونه‌ای استخراج کرد که حجم مرتبط توسط جریان حفظ شود. گفته می شود که حجم با اندازه گیری لیوویل محاسبه می شود .

در یک سیستم همیلتونی، نمی توان از یک شرایط اولیه به همه تنظیمات ممکن موقعیت و تکانه دست یافت. به دلیل بقای انرژی، فقط حالت هایی با انرژی مشابه شرایط اولیه قابل دسترسی هستند. حالت هایی با انرژی یکسان یک پوسته انرژی Ω را تشکیل می دهند که یک منیفولد فرعی از فضای فاز است. حجم پوسته انرژی، محاسبه شده با استفاده از اندازه گیری لیوویل، تحت تکامل حفظ می شود.

برای سیستم هایی که حجم توسط جریان حفظ می شود، پوانکاره قضیه عود را کشف کرد : فرض کنید فضای فاز دارای حجم لیوویل محدود است و اجازه دهید F یک نقشه فضای فاز حفظ حجم و A زیرمجموعه فضای فاز باشد. سپس تقریباً هر نقطه از A بی نهایت به A باز می گردد. قضیه عود پوانکاره توسط زرملو برای اعتراض به اشتقاق بولتزمن از افزایش آنتروپی در یک سیستم دینامیکی از اتم‌های در حال برخورد استفاده شد.

یکی از سوالات مطرح شده توسط بولتزمن، برابری احتمالی بین میانگین‌های زمانی و میانگین‌های مکانی بود، چیزی که او آن را فرضیه ارگودیک نامید . این فرضیه بیان می کند که مدت زمانی که یک مسیر معمولی در منطقه A سپری می کند vol( A )/vol(Ω) است.

معلوم شد که فرضیه ارگودیک خاصیت ضروری مورد نیاز برای توسعه مکانیک آماری نیست و یک سری ویژگی‌های مشابه ارگودیک دیگر برای به تصویر کشیدن جنبه‌های مربوط به سیستم‌های فیزیکی معرفی شدند. کوپمن به مطالعه سیستم های ارگودیک با استفاده از تحلیل عملکردی نزدیک شد . a قابل مشاهده تابعی است که به هر نقطه از فضای فاز یک عدد (مثلا فشار لحظه یا ارتفاع متوسط) مرتبط می کند. مقدار یک قابل مشاهده را می توان در زمان دیگری با استفاده از تابع تکامل φ  ^t محاسبه کرد . این یک اپراتور U ^t را معرفی می کند ، اپراتور انتقال ، 

${\displaystyle (U^{t}a)(x)=a(\Phi ^{-t}(x)).}$

با مطالعه خواص طیفی عملگر خطی U، طبقه بندی خواص ارگودی ف ^t امکان پذیر می شود . در استفاده از رویکرد کوپمن برای در نظر گرفتن عمل جریان بر روی یک تابع قابل مشاهده، مسئله غیرخطی محدود بعدی شامل Φ ^t به یک مسئله خطی بی‌بعدی شامل  U نگاشت می‌شود .  

اندازه گیری لیوویل محدود به سطح انرژی Ω مبنایی برای میانگین های محاسبه شده در مکانیک آماری تعادل است . میانگین زمان در طول یک مسیر معادل میانگین در فضا است که با ضریب بولتزمن exp(-β H ) محاسبه می شود . این ایده توسط Sinai، Bowen و Ruelle (SRB) به یک کلاس بزرگتر از سیستم های دینامیکی که شامل سیستم های اتلاف کننده است، تعمیم داده شده است. معیارهای SRB جایگزین عامل بولتزمن می‌شوند و بر روی جاذبه‌های سیستم‌های آشفته تعریف می‌شوند.

سیستم های دینامیکی غیرخطی و آشوب

سیستم‌های دینامیکی غیرخطی ساده، از جمله سیستم‌های خطی تکه‌ای ، می‌توانند رفتار بسیار غیرقابل پیش‌بینی از خود نشان دهند، که ممکن است تصادفی به نظر برسد، علی‌رغم این واقعیت که اساساً قطعی هستند. این رفتار غیر قابل پیش بینی را آشوب نامیده اند . سیستم های هایپربولیک سیستم های دینامیکی دقیقاً تعریف شده ای هستند که ویژگی های نسبت داده شده به سیستم های آشفته را نشان می دهند. در سیستم های هذلولی، فضاهای مماس عمود بر مدار را می توان به ترکیبی از دو بخش تجزیه کرد: یکی با نقاطی که به سمت مدار همگرا می شوند ( منیفولد پایدار ) و دیگری از نقاطی که از مدار منحرف می شوند ( منیفولد ناپایدار ).

این شاخه از ریاضیات به رفتار کیفی بلند مدت سیستم های دینامیکی می پردازد. در اینجا، تمرکز بر یافتن راه‌حل‌های دقیق برای معادلات تعریف‌کننده سیستم دینامیکی نیست (که اغلب ناامیدکننده است)، بلکه بیشتر برای پاسخ به سؤالاتی مانند «آیا سیستم در بلندمدت به حالت ثابت می‌رسد، و اگر چنین است، چه چیزی آیا جاذبه های احتمالی وجود دارد ؟ یا "آیا رفتار بلند مدت سیستم به شرایط اولیه آن بستگی دارد؟"

رفتار آشفته سیستم های پیچیده موضوع نیست. سال‌هاست که هواشناسی شامل رفتارهای پیچیده و حتی آشفته می‌شود. نظریه آشوب بسیار شگفت‌انگیز بوده است، زیرا هرج و مرج را می‌توان در سیستم‌های تقریباً بی‌اهمیت یافت. سناریوی Pomeau-Manneville نقشه لجستیک و مشکل Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou فقط با چندجمله ای های درجه دوم به وجود آمدند. نقشه نعل اسب به صورت تکه ای خطی است.

راه حل های مدت زمان محدود

برای ODE های مستقل غیرخطی، تحت برخی شرایط ممکن است راه حل هایی با مدت زمان محدود ایجاد شود، ^[15] به این معنی که در این راه حل ها سیستم در زمانی به مقدار صفر می رسد که زمان پایان نامیده می شود و سپس برای همیشه در آنجا باقی می ماند. . این تنها زمانی اتفاق می‌افتد که مسیرهای سیستم به‌طور منحصربه‌فرد به جلو و عقب در زمان توسط دینامیک تعیین نشده باشند، بنابراین راه‌حل‌های با مدت زمان محدود حاکی از شکلی از «پیش‌بینی‌ناپذیری معکوس در زمان» است که ارتباط نزدیکی با غیرقابل‌پیش‌بینی‌ناپذیری هرج و مرج از پیش در زمان دارد. این رفتار نمی تواند برای معادلات دیفرانسیل پیوسته لیپشیتز مطابق با اثبات قضیه پیکارد-لیندلوف اتفاق بیفتد . این راه حل ها توابع غیر لیپشیتز در زمان پایان خود هستند و نمی توانند توابع تحلیلی در کل خط واقعی باشند.

به عنوان مثال، معادله:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

راه حل مدت زمان محدود را می پذیرد:

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {t}{2}}+\left|1-{\frac {t}{2}}\right|\right)^{2}}$

که صفر است و در زمان پایان آن Lipschitz پیوسته نیست ${\displaystyle t\geq 2}$ ${\displaystyle t=2.}$

همچنین ببینید

• پورتال علم سیستم ها

• مدل سازی رفتاری
• مدل سازی شناختی
• دینامیک پیچیده
• رویکرد پویا به توسعه زبان دوم
• غیرفعال سازی بازخورد
• ترکیبات بی نهایت توابع تحلیلی
• فهرست مباحث سیستم دینامیکی
• نوسان
• افراد در سیستم ها و کنترل
• قضیه شارکوفسکی
• قضیه اساسی سیستم های دینامیکی کانلی
• دینامیک سیستم
• نظریه سیستم ها
• اصل حداکثر کالیبر

مراجع

1. Strogatz، SH (2001). دینامیک غیرخطی و آشوب: با کاربرد در فیزیک، زیست شناسی و شیمی . پرسئوس
2. کاتوک، ا. هاسلبلات، بی (1995). مقدمه ای بر نظریه مدرن سیستم های دینامیکی . کمبریج: انتشارات دانشگاه کمبریج. شابک 978-0-521-34187-5.
3. «طبیعت». Springer Nature . بازبینی شده در 17 فوریه 2017 .
4. ملبی، پ. و همکاران (2005). "دینامیک سیستم های خودتنظیم با نویز". آشوب: مجله بین رشته ای علوم غیرخطی . 15 (3): 033902. Bibcode :2005Chaos..15c3902M. doi :10.1063/1.1953147. PMID  16252993.
5. گینتاوتاس، وی. و همکاران (2008). "اجبار رزونانس درجات آزادی انتخابی پویایی نقشه آشفته چند بعدی". J. Stat. فیزیک . 130 (3): 617. arXiv : 0705.0311 . Bibcode :2008JSP...130..617G. doi :10.1007/s10955-007-9444-4. S2CID  8677631.
6. جکسون، تی. Radunskaya، A. (2015). کاربردهای سیستم های پویا در زیست شناسی و پزشکی . اسپرینگر.
7. کریزیگ، اروین (2011). ریاضیات مهندسی پیشرفته . هوبوکن: وایلی. شابک 978-0-470-64613-7.
8. گاندولفو، جیانکارلو (2009) [1971]. پویایی اقتصادی: روش ها و مدل ها (ویرایش چهارم). برلین: اسپرینگر. شابک 978-3-642-13503-3.
9. هلمز، فیلیپ. "پوانکاره، مکانیک آسمانی، نظریه سیستم های دینامیکی و "آشوب"." Physics Reports 193.3 (1990): 137-163.
10. رگا، جوزپه (2019). ادای احترام به علی ح. نایفه (1933–2017)». سمپوزیوم IUTAM در مورد بهره برداری از دینامیک غیرخطی برای سیستم های مهندسی. اسپرینگر . صص 1-2. شابک 9783030236922.
11. «علی حسن نایفه». جوایز موسسه فرانکلین موسسه فرانکلین 4 فوریه 2014 . بازبینی شده در 25 اوت 2019 .
12. Giunti M. and Mazzola C. (2012)، "سیستم های دینامیکی روی مونوئیدها: به سوی یک نظریه کلی سیستم های قطعی و حرکت". در Minati G., Abram M., Pessa E. (ویرایشات)، روش ها، مدل ها، شبیه سازی ها و رویکردها به سمت یک نظریه کلی تغییر ، صفحات 173-185، سنگاپور: علمی جهانی. شابک 978-981-4383-32-5 
13. Mazzola C. and Giunti M. (2012)، "دینامیک برگشت پذیر و جهت گیری زمان". در Minati G., Abram M., Pessa E. (ویرایشات)، روش ها، مدل ها، شبیه سازی ها و رویکردها به سمت یک نظریه کلی تغییر ، صفحات 161-171، سنگاپور: علمی جهانی. شابک 978-981-4383-32-5 . 
14. گالور، اودد (2010). سیستم های دینامیکی گسسته اسپرینگر.
15. واردیا تی هایمو (1985). "معادلات دیفرانسیل زمان محدود". 1985 بیست و چهارمین کنفرانس IEEE در مورد تصمیم گیری و کنترل . صفحات 1729-1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.

• آرنولد، ولادیمیر I. (2006). "مفاهیم اساسی". معادلات دیفرانسیل معمولی . برلین: Springer Verlag. شابک 3-540-34563-9.
• چوشوف، آی دی مقدمه ای بر تئوری سیستم های اتلاف بی نهایت بعدی .نسخه آنلاین نسخه اول در سایت EMIS [1].
• تیمام، راجر (1997) [1988]. سیستم های دینامیکی بینهایت بعدی در مکانیک و فیزیک . Springer Verlag.

در ادامه مطلب

آثاری که پوشش گسترده ای را ارائه می دهند:

• رالف آبراهام و جرولد ای. مارسدن (1978). مبانی مکانیک . بنجامین – کامینگز شابک 978-0-8053-0102-1. (قابل چاپ مجدد: ISBN 0-201-40840-6 ) 
• دایره المعارف علوم ریاضی ( ISSN  0938-0396) دارای زیر مجموعه ای در مورد سیستم های دینامیکی با بررسی تحقیقات فعلی است.
• کریستین بوناتی؛ لورنزو جی دیاز; مارسلو ویانا (2005). دینامیک فراتر از هیپربولییک یکنواخت: یک دیدگاه هندسی و احتمالی جهانی . اسپرینگر. شابک 978-3-540-22066-4.
• استیون اسمیل (1967). "سیستم های دینامیکی متمایز". بولتن انجمن ریاضی آمریکا . 73 (6): 747-817. doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .

متن های مقدماتی با دیدگاهی منحصر به فرد:

• VI آرنولد (1982). روشهای ریاضی مکانیک کلاسیک . Springer-Verlag. شابک 978-0-387-96890-2.
• جیکوب پالیس و ولینگتون د ملو (1982). تئوری هندسی سیستم های دینامیکی: مقدمه . Springer-Verlag. شابک 978-0-387-90668-3.
• دیوید رول (1989). عناصر دینامیک متمایز و نظریه انشعاب . مطبوعات دانشگاهی. شابک 978-0-12-601710-6.
• تیم بدفورد، مایکل کین و کارولین سری، ویرایش. (1991). نظریه ارگودیک، پویایی نمادین و فضاهای هذلولی . انتشارات دانشگاه آکسفورد شابک 978-0-19-853390-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• رالف اچ. آبراهام و کریستوفر دی شاو (1992). دینامیک - هندسه رفتار، ویرایش دوم . ادیسون-وسلی. شابک 978-0-201-56716-8.

کتاب های درسی

• Kathleen T. Alligood، Tim D. Sauer and James A. Yorke (2000). هرج و مرج. مقدمه ای بر سیستم های دینامیکی Springer Verlag. شابک 978-0-387-94677-1.
• اود گالور (2011).سیستم های دینامیکی گسسته. اسپرینگر. شابک 978-3-642-07185-0.
• موریس دبلیو. هیرش ، استفن اسمیل و رابرت ال. دوانی (2003). معادلات دیفرانسیل، سیستم های دینامیکی و مقدمه ای بر آشوب . مطبوعات دانشگاهی. شابک 978-0-12-349703-1.
• آناتول کاتوک؛ بوریس هاسلبلات (1996). مقدمه ای بر نظریه مدرن سیستم های دینامیکی . کمبریج. شابک 978-0-521-57557-7.
• استیون لینچ (2010). سیستم های پویا با برنامه های کاربردی با استفاده از Maple 2nd Ed . اسپرینگر. شابک 978-0-8176-4389-8.
• استیون لینچ (2014). سیستم های پویا با برنامه های کاربردی با استفاده از MATLAB ویرایش 2 . انتشارات بین المللی Springer. شابک 978-3319068190.
• استیون لینچ (2017). سیستم‌های دینامیکی با کاربردها با استفاده از Mathematica ویرایش دوم . اسپرینگر. شابک 978-3-319-61485-4.
• استیون لینچ (2018). سیستم های پویا با برنامه های کاربردی با استفاده از پایتون . انتشارات بین المللی Springer. شابک 978-3-319-78145-7.
• جیمز میس (2007). سیستم های دینامیکی دیفرانسیل . SIAM. شابک 978-0-89871-635-1.
• دیوید دی نولتی (2015). مقدمه ای بر دینامیک مدرن: آشوب، شبکه ها، فضا و زمان . انتشارات دانشگاه آکسفورد شابک 978-0199657032.
• جولین کلینتون اسپرت (2003).آشوب و تحلیل سری زمانی. انتشارات دانشگاه آکسفورد شابک 978-0-19-850839-7.
• استیون اچ استروگاتز (1994). دینامیک غیرخطی و آشوب: با کاربرد در فیزیک، زیست شناسی شیمی و مهندسی . ادیسون وسلی شابک 978-0-201-54344-5.
• تسچل، جرالد (2012). معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی. Providence : انجمن ریاضی آمریکا . شابک 978-0-8218-8328-0.
• استیون ویگینز (2003). مقدمه ای بر سیستم های دینامیکی کاربردی و آشوب . اسپرینگر. شابک 978-0-387-00177-7.

محبوبیت ها:

• فلورین دیاکو و فیلیپ هلمز (1996). برخوردهای آسمانی پرینستون شابک 978-0-691-02743-2.
• جیمز گلیک (1988). آشوب: ساختن یک علم جدید . پنگوئن. شابک 978-0-14-009250-9.
• ایوار اکلند (1990). ریاضیات و غیر منتظره ها (شومیز) . انتشارات دانشگاه شیکاگو شابک 978-0-226-19990-0.
• ایان استوارت (1997). آیا خدا تاس بازی می کند؟ ریاضیات جدید آشوب . پنگوئن. شابک 978-0-14-025602-4.

لینک های خارجی

• سرور پیش چاپ Arxiv دارای ارسال روزانه نسخ خطی (غیر مرجع) در سیستم های دینامیکی است.
• دایره‌المعارف سیستم‌های دینامیکی بخشی از Scholarpedia - توسط متخصصان دعوت‌شده بررسی و نوشته شده است.
• دینامیک غیر خطی مدل‌های انشعاب و آشوب توسط المر جی. وینز
• Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (سپتامبر 2003) تعاریف، توضیحات و منابع مربوط به علوم غیرخطی را ارائه می دهد.

کتاب های آنلاین یا یادداشت های سخنرانی

• نظریه هندسی سیستم های دینامیکی. یادداشت های سخنرانی نیلز برگلوند برای دوره ای در ETH در سطح کارشناسی پیشرفته.
• سیستم های دینامیکی کتاب جورج دی. بیرخوف در سال 1927 رویکردی مدرن به سیستم‌های دینامیکی دارد.
• آشوب: کلاسیک و کوانتومی. مقدمه‌ای بر سیستم‌های دینامیکی از دیدگاه مدار دوره‌ای.
• یادگیری سیستم های دینامیکی آموزش یادگیری سیستم های دینامیکی.
• معادلات دیفرانسیل معمولی و سیستم های دینامیکی. یادداشت های سخنرانی توسط جرالد تسچل

گروه های تحقیقاتی

• گروه سیستم های دینامیک گرونینگن، IWI، دانشگاه گرونینگن.
• آشوب @ UMD. بر کاربردهای سیستم های دینامیکی تمرکز دارد.
• [2]، SUNY Stony Brook. فهرست کنفرانس ها، محققان و برخی مشکلات باز.
• مرکز دینامیک و هندسه، ایالت پن.
• سیستم های کنترل و دینامیک، Caltech.
• آزمایشگاه سیستم‌های غیرخطی، Ecole Polytechnique Fédérale de Lozanne (EPFL).
• مرکز سیستم های دینامیکی، دانشگاه برمن
• گروه تحلیل سیستمی، مدلسازی و پیش بینی، دانشگاه آکسفورد
• گروه دینامیک غیر خطی، Instituto Superior Técnico، دانشگاه فنی لیسبون
• سیستم‌های دینامیکی بایگانی شده در 02-06-2017 در Wayback Machine ، IMPA، Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
• گروه کاری دینامیک غیر خطی بایگانی شده در 21-01-2015 در Wayback Machine ، موسسه علوم کامپیوتر، آکادمی علوم چک.
• UPC Dynamical Systems Group بارسلونا، دانشگاه پلی تکنیک کاتالونیا.
• مرکز کنترل، سیستم های دینامیکی و محاسبات، دانشگاه کالیفرنیا، سانتا باربارا.