مجموعه (ریاضی)

مجموعه ای از اشیاء ریاضی

مجموعه ای از چند ضلعی ها در نمودار اویلر

این مجموعه برابر است با مجموعه ای که در بالا نشان داده شده است زیرا هر دو دارای عناصر یکسان هستند.

در ریاضیات ، یک مجموعه مجموعه ای از چیزهای مختلف ^{[1] است. [2] [3] [4] این چیزها} عناصر یا اعضای مجموعه نامیده می شوند و معمولاً اشیاء ریاضی از هر نوعی هستند: اعداد، نمادها، نقاط در فضا، خطوط، سایر اشکال هندسی، متغیرها یا حتی مجموعه های دیگر. ^[5] یک مجموعه ممکن است دارای تعداد محدودی از عناصر یا یک مجموعه نامحدود باشد . یک مجموعه منحصر به فرد بدون عنصر وجود دارد که مجموعه خالی نامیده می شود . یک مجموعه با یک عنصر یک تک تن است .

مجموعه ها به طور منحصر به فردی با عناصر خود مشخص می شوند. این بدان معنی است که دو مجموعه که عناصر دقیقاً مشابهی دارند با هم برابر هستند (آنها یک مجموعه هستند). ^{[6] به این ویژگی} extensionality می گویند . به طور خاص، این نشان می دهد که تنها یک مجموعه خالی وجود دارد.

مجموعه ها در ریاضیات مدرن همه جا وجود دارند. در واقع، نظریه مجموعه‌ها ، به‌ویژه نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل ، راه استانداردی برای ارائه پایه‌های دقیق برای همه شاخه‌های ریاضیات از نیمه اول قرن بیستم بوده است. ^[5]

تعریف و نماد

متون ریاضی معمولاً مجموعه ها را با حروف بزرگ ^[7] [ 5 ^] به صورت مورب نشان می دهند ، مانند A ، B ، C. ^{[8] یک مجموعه را می‌توان} مجموعه یا خانواده نیز نامید ، به ویژه زمانی که عناصر آن خود مجموعه باشند.

نماد فهرستی

فهرست یا نماد شمارش یک مجموعه را با فهرست کردن عناصر آن بین پرانتزهای مجعد ، که با کاما از هم جدا شده اند، تعریف می کند: ^{[9] [10] [11] [12]}

A = {4، 2، 1، 3}

B = {آبی، سفید، قرمز} .

این علامت گذاری توسط ارنست زرملو در سال 1908 معرفی شد. ^[13] در یک مجموعه، تنها چیزی که اهمیت دارد این است که آیا هر عنصر در آن وجود دارد یا نه، بنابراین ترتیب عناصر در نشانه گذاری فهرستی نامربوط است (در مقابل، در یک دنباله ، تاپل یا جابجایی یک مجموعه، ترتیب عبارات مهم است). به عنوان مثال، {2، 4، 6} و {4، 6، 4، 2} یک مجموعه را نشان می دهند. ^{[14] [8] [15]}

برای مجموعه‌هایی با عناصر زیاد، به‌ویژه آنهایی که از یک الگوی ضمنی پیروی می‌کنند، فهرست اعضا را می‌توان با استفاده از بیضی « ... » خلاصه کرد. ^{[16] [17]} برای مثال، مجموعه ای از اولین هزار اعداد صحیح مثبت ممکن است در نماد فهرستی به صورت مشخص شود.

{1، 2، 3، ...، 1000} .

مجموعه های بی نهایت در نماد فهرستی

مجموعه بی نهایت مجموعه ای با تعداد نامتناهی عنصر است. اگر الگوی عناصر آن واضح باشد، می‌توان مجموعه‌ای بی‌نهایت را در نماد فهرستی با یک بیضی در انتهای فهرست، یا در هر دو انتهای آن قرار داد تا نشان دهد که لیست برای همیشه ادامه دارد. به عنوان مثال، مجموعه اعداد صحیح غیر منفی است

{0، 1، 2، 3، 4، ...} ،

و مجموعه تمام اعداد صحیح است

{...، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، ...} .

تعریف معنایی

راه دیگر برای تعریف یک مجموعه، استفاده از یک قانون برای تعیین عناصر است:

اجازه دهید A مجموعه ای باشد که اعضای آن چهار عدد صحیح مثبت اول باشند .

اجازه دهید B مجموعه رنگ های پرچم فرانسه باشد .

چنین تعریفی توصیف معنایی نامیده می شود . ^{[18] [19]}

نماد مجموعه ساز

نماد Set-builder یک مجموعه را به عنوان انتخابی از یک مجموعه بزرگتر مشخص می کند که توسط یک شرط روی عناصر تعیین می شود. ^{[19] [20] [21]} به عنوان مثال، مجموعه F را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

$${\displaystyle F=\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$$

در این نماد، نوار عمودی "|" به معنای "چنین است که"، و توصیف را می توان اینگونه تفسیر کرد " F مجموعه ای از همه اعداد n است به طوری که n یک عدد صحیح در محدوده 0 تا 19 شامل" است. برخی از نویسندگان به جای نوار عمودی از دو نقطه ":" استفاده می کنند. ^[22]

طبقه بندی روش های تعریف

فلسفه از اصطلاحات خاصی برای طبقه بندی انواع تعاریف استفاده می کند:

• یک تعریف هدفمند از یک قانون برای تعیین عضویت استفاده می کند. تعاریف معنایی و تعاریف با استفاده از نماد مجموعه ساز نمونه هایی هستند.
• یک تعریف توسعه ای یک مجموعه را با فهرست کردن تمام عناصر آن توصیف می کند . ^{[19] به این گونه تعاریف} ، شمارشی نیز می گویند .
• تعریف ظاهری تعریفی است که مجموعه ای را با ذکر مثال هایی از عناصر توصیف می کند. فهرستی که شامل بیضی می شود مثالی است.

عضویت

اگر B یک مجموعه باشد و x عنصری از B باشد ، به صورت مختصر x ∈ B نوشته می شود، که همچنین می تواند به عنوان " x متعلق به B است " یا " x در B است" خوانده شود . ^[23] عبارت " y یک عنصر از B نیست " به صورت y ∉ B نوشته می شود ، که همچنین می تواند به عنوان " y در B نیست " خوانده شود . ^{[24] [25]}

به عنوان مثال، با توجه به مجموعه های A = {1، 2، 3، 4} ، B = {آبی، سفید، قرمز} و F = { n | n یک عدد صحیح است و 0 ≤ n ≤ 19} ،

4 ∈ A و 12 ∈ F ; و

20 ∉ F و سبز ∉ B.

مجموعه خالی

مجموعه خالی (یا مجموعه تهی ) مجموعه منحصر به فردی است که هیچ عضوی ندارد. آن را ∅ , , { }, ^{[26] [27]} ϕ , ^[28] یا ϕ نشان می دهند . ^[29] ${\displaystyle \emptyset }$

ست های سینگلتون

ست تک تن مجموعه ای است که دقیقاً یک عنصر دارد. چنین مجموعه ای را می توان مجموعه واحد نیز نامید . ^{[6] هر مجموعه ای از این قبیل را می توان به صورت {} x } نوشت که x عنصر است. مجموعه { x } و عنصر x به معنای چیزهای مختلفی هستند. هالموس ^[30] این تشبیه را می کند که جعبه حاوی کلاه با کلاه یکسان نیست.

زیر مجموعه ها

اگر هر عنصر مجموعه A نیز در B باشد ، A به عنوان زیرمجموعه B توصیف می شود ، یا در B وجود دارد ، A⊆ B ، [ ^31] یا B ⊇ A نوشته می شود . ^[32] نماد اخیر ممکن است خوانده شود B شامل A ، B شامل A ، یا B یک ابرمجموعه A است . رابطه بین مجموعه‌هایی که با ⊆ ایجاد می‌شود ، شامل یا مهار نامیده می‌شود . دو مجموعه با هم برابرند: A ⊆ B و B ⊆ A معادل A = B است . ^[20]

اگر A زیرمجموعه B باشد ، اما A برابر B نباشد ، A زیرمجموعه مناسب B نامیده می شود . این را می توان A ⊊ B نوشت . به همین ترتیب، B ⊋ A به این معنی است که B یک ابرمجموعه مناسب از A است ، یعنی B حاوی A است و برابر با A نیست .

یک جفت سوم از عملگرهای ⊂ و ⊃ به طور متفاوت توسط نویسندگان مختلف استفاده می شود: برخی از نویسندگان از A ⊂ B و B ⊃ A به این معنی استفاده می کنند که A هر زیر مجموعه ای از B است (و لزوماً یک زیر مجموعه مناسب نیست)، ^{[33] [24]} در حالی که دیگران A ⊂ B و B ⊃ A را برای مواردی که A زیرمجموعه مناسب B است رزرو کنید . ^[31]

مثال ها:

• مجموعه همه انسان ها زیرمجموعه مناسبی از مجموعه همه پستانداران است.
• {1، 3} ⊂ {1، 2، 3، 4} .
• {1، 2، 3، 4} ⊆ {1، 2، 3، 4} .

مجموعه خالی زیرمجموعه ای از هر مجموعه است، ^[26] و هر مجموعه زیر مجموعه ای از خود است: ^[33]

• ∅ ⊆ A.
• A ⊆ A.​

نمودارهای اویلر و ون

A زیر مجموعه B است .
B ابرمجموعه ای از A است .

نمودار اویلر نمایش گرافیکی مجموعه ای از مجموعه ها است. هر مجموعه به عنوان یک منطقه مسطح محصور شده توسط یک حلقه، با عناصر آن در داخل به تصویر کشیده شده است. اگر A زیرمجموعه ای از B باشد ، آنگاه ناحیه ای که A را نشان می دهد کاملاً داخل ناحیه ای است که B را نشان می دهد . اگر دو مجموعه هیچ عنصر مشترکی نداشته باشند، مناطق با هم همپوشانی ندارند.

نمودار ون ، در مقابل، یک نمایش گرافیکی از n مجموعه است که در آن n حلقه، صفحه را به 2 ⁿ ناحیه تقسیم می کند، به طوری که برای هر روش انتخاب برخی از n مجموعه ها (احتمالاً همه یا هیچ کدام)، منطقه ای برای عناصری که به همه مجموعه های انتخاب شده تعلق دارند و هیچ کدام از بقیه. به عنوان مثال، اگر مجموعه‌ها A ، B و C باشند ، باید برای عناصری که داخل A و C و خارج B هستند یک ناحیه وجود داشته باشد (حتی اگر چنین عناصری وجود نداشته باشند).

مجموعه های ویژه اعداد در ریاضیات

اعداد طبیعی در اعداد صحیح موجود هستند که در اعداد گویا و اعداد واقعی موجود در اعداد مختلط موجود هستند. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

مجموعه‌هایی با چنان اهمیت ریاضی وجود دارند که ریاضیدانان آنقدر به آنها اشاره می‌کنند که نام‌های خاص و قراردادهای نمادین برای شناسایی آنها به دست آورده‌اند.

بسیاری از این مجموعه های مهم در متون ریاضی با استفاده از حروف درشت (مثلاً ) یا پررنگ تخته سیاه (مثلاً ) نمایش داده می شوند. ^[34] اینها عبارتند از ${\displaystyle \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbf {N} }$یا , مجموعه تمام اعداد طبیعی : (اغلب نویسندگان 0 را حذف می کنند ); ^[34] ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} =\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Z} }$یا مجموعه همه اعداد صحیح (اعم از مثبت، منفی یا صفر): ; ^[34] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbf {Z} =\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle \mathbf {Q} }$یا ، مجموعه همه اعداد گویا (یعنی مجموعه همه کسرهای مناسب و نامناسب ): . به عنوان مثال، - ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbf {Q} =\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in \mathbf {Z} ,b\neq 0\right\}}$7/4∈ Q و 5 = ⁠5/1∈ Q ;​ ^[34]
• ${\displaystyle \mathbf {R} }$یا ، مجموعه تمام اعداد حقیقی ، از جمله همه اعداد گویا و همه اعداد غیر منطقی (که شامل اعداد جبری مانند اعداد غیر قابل بازنویسی به عنوان کسری و همچنین اعداد ماورایی مانند π و e می شود ). ^[34] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle \mathbf {C} }$یا , مجموعه همه اعداد مختلط : C = { a + bi | a , b ∈ R } , برای مثال 1 + 2 i ∈ C . ^[34] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

هر یک از مجموعه اعداد فوق دارای تعداد نامتناهی عنصر است. هر کدام زیرمجموعه ای از مجموعه های فهرست شده در زیر آن هستند.

مجموعه اعداد مثبت یا منفی گاهی اوقات به ترتیب با علامت مثبت و منفی نشان داده می شوند. به عنوان مثال، مجموعه ای از اعداد گویا مثبت را نشان می دهد. ${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

توابع

یک تابع (یا نگاشت ) از مجموعه A به مجموعه B قانونی است که به هر عنصر "ورودی" A یک "خروجی" که عنصری از B است اختصاص می دهد . به طور رسمی تر، یک تابع نوع خاصی از رابطه است ، رابطه ای که هر عنصر A را دقیقا به یک عنصر از B مرتبط می کند . یک تابع فراخوانی می شود

• تزریقی (یا یک به یک) اگر هر دو عنصر مختلف A را به عناصر مختلف B نگاشت کند ،
• سوژه (یا روی) اگر برای هر عنصر B ، حداقل یک عنصر از A وجود داشته باشد که به آن نگاشت، و
• دوگانه (یا مطابقت یک به یک) اگر تابع هم تزریقی و هم سطحی باشد - در این مورد، هر عنصر A با یک عنصر منحصر به فرد B جفت می شود و هر عنصر B با یک عنصر منحصر به فرد A جفت می شود. ، به طوری که هیچ عنصر جفت نشده ای وجود نداشته باشد.

تابع تزریقی را تزریق ، تابع سطحی را جرقه نامیده می‌شود و تابع دوطرفه را تناظر یک به یک می‌گویند .

کاردینالیته

کاردینالیته یک مجموعه S ، نشان داده شده | S | ، تعداد اعضای S است . ^[35] برای مثال، اگر B = {آبی، سفید، قرمز} ، سپس | B | = 3 . اعضای مکرر در نماد فهرست شمارش نمی شوند، ^{[36] [37]} بنابراین | {آبی، سفید، قرمز، آبی، سفید} | = 3 نیز.

به طور رسمی تر، دو مجموعه در صورتی که بین آنها دوگانگی وجود داشته باشد، کاردینالیتی یکسان دارند.

کاردینالیته مجموعه خالی صفر است. ^[38]

مجموعه های بی نهایت و کاردینالیتی بی نهایت

فهرست عناصر برخی از مجموعه ها بی پایان یا بی نهایت است . برای مثال مجموعه اعداد طبیعی بی نهایت است. ^[20] در واقع، تمام مجموعه های ویژه اعداد ذکر شده در بخش فوق بی نهایت هستند. مجموعه های نامتناهی کاردینالیته بی نهایت دارند . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

برخی از کاردینالیته های بی نهایت بزرگتر از بقیه هستند. مسلماً یکی از مهم‌ترین نتایج تئوری مجموعه‌ها این است که مجموعه اعداد حقیقی دارای کاردینالیتی بیشتر از مجموعه اعداد طبیعی است. ^[39] مجموعه‌هایی با کاردینالیتی کمتر یا مساوی با مجموعه‌های قابل شمارش نامیده می‌شوند . اینها یا مجموعه‌های متناهی هستند یا مجموعه‌های نامتناهی قابل شمارش (مجموعه‌هایی با کاردینالیتی مشابه ). برخی از نویسندگان از "قابل شمارش" به معنای "بی نهایت قابل شمارش" استفاده می کنند. مجموعه‌هایی که کاردینالیته آنها به شدت بیشتر از مجموعه‌های غیرقابل شمارش نامیده می‌شوند . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

با این حال، می توان نشان داد که کاردینالیته یک خط مستقیم (یعنی تعداد نقاط روی یک خط) با کاردینالیته هر بخش از آن خط، کل صفحه ، و در واقع هر اقلیدسی محدود بعدی یکسان است. فضا . ^[40]

فرضیه پیوستگی

فرضیه پیوستار که توسط گئورگ کانتور در سال 1878 صورت‌بندی شد، بیانیه‌ای است که هیچ مجموعه‌ای با کاردینالیته به طور دقیق بین اصلی بودن اعداد طبیعی و اصلی بودن یک خط مستقیم وجود ندارد. ^[41] در سال 1963، پل کوهن ثابت کرد که فرضیه پیوستار مستقل از سیستم بدیهی ZFC متشکل از نظریه مجموعه زرملو-فرانکل با اصل انتخاب است . ^[42] (ZFC گسترده ترین نسخه مورد مطالعه نظریه مجموعه های بدیهی است.)

مجموعه های قدرت

مجموعه توان یک مجموعه S مجموعه تمام زیر مجموعه های S است . ^[20] مجموعه خالی و S خود عناصری از مجموعه توان S هستند ، زیرا هر دو زیر مجموعه S هستند . برای مثال، مجموعه توان {1، 2، 3} {∅، {1}، {2}، {3}، {1، 2}، {1، 3}، {2، 3}، {1 است . , 2, 3}} . مجموعه توان یک مجموعه S معمولاً به صورت P ( S ) یا 2 ^S نوشته می شود . ^{[20] [43] [8]}

اگر S دارای n عنصر باشد، P ( S ) دارای 2 ⁿ عنصر است. ^[44] برای مثال، {1، 2، 3} دارای سه عنصر است و مجموعه توان آن دارای 2 ³ = 8 عنصر است، همانطور که در بالا نشان داده شده است.

اگر S نامتناهی باشد (چه قابل شمارش باشد چه غیرقابل شمارش )، آنگاه P ( S ) غیرقابل شمارش است. علاوه بر این، مجموعه توان همیشه به شدت "بزرگتر" از مجموعه اصلی است، به این معنا که هر تلاشی برای جفت کردن عناصر S با عناصر P ( S ) باعث می شود برخی از عناصر P ( S ) جفت نشده باشند. (هرگز از S به P ( S ) انحراف وجود ندارد .) ^[45]

پارتیشن ها

یک پارتیشن از مجموعه S مجموعه ای از زیر مجموعه های غیر خالی S است ، به طوری که هر عنصر x در S دقیقاً در یکی از این زیر مجموعه ها قرار دارد. یعنی زیرمجموعه‌ها به صورت جفتی جدا هستند (به این معنی که هر دو مجموعه از پارتیشن هیچ عنصر مشترکی ندارند) و اتحاد همه زیر مجموعه‌های پارتیشن S است . ^{[46] [47]}

عملیات اساسی

مکمل A ​​در U​​

فرض کنید که یک مجموعه جهانی U (مجموعه ای حاوی تمام عناصر مورد بحث) ثابت شده است، و A زیرمجموعه ای از U است .

• متمم A مجموعه ای از تمام عناصر ( U ) است که به A تعلق ندارند . ممکن است A ^c یا A نشان داده شود . در نماد مجموعه ساز، . متمم را می توان مکمل مطلق نیز نامید تا از متمم نسبی زیر متمایز شود. مثال: اگر مجموعه جهانی به عنوان مجموعه اعداد صحیح در نظر گرفته شود، مکمل مجموعه اعداد صحیح، مجموعه اعداد صحیح فرد است. ${\displaystyle A^{\text{c}}=\{a\in U:a\notin A\}}$

اتحاد A و B ، نشان دهنده A ∪ B است

تقاطع A و B که با A ∩ B نشان داده می شود

تفاوت مجموعه A \ B

تفاوت متقارن A و B​

با توجه به هر دو مجموعه A و B ،

• اتحاد آنها A ∪ B مجموعه همه چیزهایی است که اعضای A یا B یا هر دو هستند.
• تقاطع آنها A ∩ B مجموعه همه چیزهایی است که هر دو عضو A و B هستند . اگر A ∩ B = ∅ , آنگاه A و B ناهمگون هستند .
• تفاوت مجموعه A \ B (همچنین A - B نوشته می شود ) مجموعه همه چیزهایی است که به A تعلق دارند اما B نیستند . به خصوص وقتی B زیرمجموعه A باشد، به آن مکمل نسبی B در A نیز می گویند . با B ^c به عنوان مکمل مطلق B (در مجموعه جهانی U )، A \ B = A ∩ B ^c .
• تفاوت متقارن آنها A Δ B مجموعه همه چیزهایی است که به A یا B تعلق دارند اما نه هر دو. یکی دارد . ${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$
• حاصل ضرب دکارتی آنها A × B مجموعه ای از تمام جفت های مرتب شده ( a , b ) است به طوری که a عنصری از A و b عنصری از B باشد .

مثال ها:

• {1، 2، 3} ∪ {3، 4، 5} = {1، 2، 3، 4، 5 }.
• {1، 2، 3} ∩ {3، 4، 5} = {3} .
• {1، 2، 3} - {3، 4، 5} = {1، 2 }.
• {1، 2، 3} Δ {3، 4، 5} = {1، 2، 4، 5 }.
• { a , b } × {1, 2, 3} = {( a ,1), ( a ,2), ( a , 3), ( b ,1), ( b ,2), ( b ,3) }.

عملیات فوق هویت های بسیاری را برآورده می کند. به عنوان مثال، یکی از قوانین دی مورگان بیان می کند که ( A ∪ B )′ = A “∩ B ” (یعنی عناصر خارج از اتحادیه A و B عناصری هستند که خارج از A و خارج B هستند ).

کاردینالیته A × B حاصل ضرب کاردینالیته های A و B است . این یک واقعیت ابتدایی است زمانی که A و B متناهی هستند. هنگامی که یک یا هر دو نامتناهی است، ضرب اعداد اصلی تعریف می شود تا این درست شود.

مجموعه توان هر مجموعه به یک حلقه بولی با اختلاف متقارن به عنوان جمع حلقه و تقاطع به عنوان ضرب حلقه تبدیل می شود.

برنامه های کاربردی

مجموعه ها در ریاضیات مدرن همه جا وجود دارند. برای مثال، ساختارهای جبر انتزاعی ، مانند گروه‌ها ، میدان‌ها و حلقه‌ها ، مجموعه‌هایی هستند که تحت یک یا چند عملیات بسته می‌شوند .

یکی از کاربردهای اصلی نظریه مجموعه های ساده لوحانه در ساخت روابط است . یک رابطه از یک دامنه A به یک هم دامنه B زیرمجموعه ای از محصول دکارتی A × B است . به عنوان مثال، با در نظر گرفتن مجموعه S = {سنگ، کاغذ، قیچی} از اشکال در بازی به همین نام، رابطه "بیت" از S به S مجموعه B = {(قیچی، کاغذ)، (کاغذ، سنگ) است. ), (سنگ، قیچی)} ; بنابراین اگر جفت ( x , y ) یکی از اعضای B باشد، x در بازی y را شکست می دهد . مثال دیگر مجموعه F تمام جفت ها ( x , x ² ) است که x واقعی است. این رابطه زیرمجموعه ای از R × R است ، زیرا مجموعه تمام مربع ها زیر مجموعه ای از همه اعداد حقیقی است. از آنجایی که به ازای هر x در R ، یک و تنها یک جفت ( x ،...) در F یافت می‌شود ، به آن تابع می‌گویند . در نماد تابعی، این رابطه را می توان به صورت F ( x ) = x ² نوشت .

اصل شمول و حذف

اصل گنجاندن - حذف برای دو مجموعه محدود بیان می کند که اندازه اتحاد آنها مجموع اندازه مجموعه ها منهای اندازه تقاطع آنها است.

اصل گنجاندن – طرد تکنیکی برای شمارش عناصر در یک اتحاد دو مجموعه محدود بر حسب اندازه دو مجموعه و تلاقی آنهاست. می توان آن را به صورت نمادین بیان کرد $${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$$

شکل کلی‌تر این اصل، اصلی بودن هر اتحادیه متناهی از مجموعه‌های محدود را نشان می‌دهد: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$$

تاریخچه

مفهوم مجموعه در پایان قرن نوزدهم در ریاضیات پدیدار شد. ^[48] ​​واژه آلمانی برای مجموعه، منگه ، توسط برنارد بولزانو در اثر خود پارادوکس‌های بی‌نهایت ابداع شد . ^{[49] [50] [51]}

متنی با ترجمه تعریف مجموعه اصلی گئورگ کانتور. کلمه آلمانی Menge برای مجموعه در اینجا با کل ترجمه شده است .

گئورگ کانتور ، یکی از بنیانگذاران نظریه مجموعه ها، در ابتدای کتاب Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre تعریف زیر را ارائه کرد : ^{[52] [1]}

مجموعه عبارت است از گردهمایی در مجموعه ای از اشیاء مشخص و متمایز از ادراک یا اندیشه ما - که عناصر مجموعه نامیده می شوند.

برتراند راسل تمایز بین یک مجموعه و یک کلاس را معرفی کرد (یک مجموعه یک کلاس است، اما برخی از طبقات، مانند کلاس همه مجموعه ها، مجموعه نیستند؛ پارادوکس راسل را ببینید ): ^[53]

هنگامی که ریاضیدانان با آنچه آنها منیفولد، مجموع، منگه ، مجموعه یا نامی معادل می نامند سروکار دارند، معمول است، به ویژه در مواردی که تعداد عبارت های درگیر محدود است، شی مورد نظر (که در واقع یک کلاس است) را به عنوان یک طبقه در نظر بگیرند. با شمارش عبارات آن تعریف می‌شود و احتمالاً شامل یک عبارت واحد است که در آن حالت کلاس است .

نظریه مجموعه ساده لوحانه

مهمترین ویژگی یک مجموعه این است که می تواند دارای عناصری باشد که به آنها اعضا نیز می گویند . دو مجموعه زمانی برابرند که دارای عناصر یکسان باشند. به طور دقیق تر، اگر هر عنصر A یکی از عناصر B باشد ، و هر عنصر B عنصری از A باشد، مجموعه های A و B برابر هستند . به این ویژگی امتداد مجموعه ها می گویند . ^[23] در نتیجه، به عنوان مثال، {2، 4، 6} و {4، 6، 4، 2} یک مجموعه را نشان می دهند. برخلاف مجموعه‌ها، چند مجموعه‌ها را می‌توان با تعداد دفعات یک عنصر متمایز کرد. به عنوان مثال [2، 4، 6] و [4، 6، 4، 2] چند مجموعه های مختلف را نشان می دهند، در حالی که [2، 4، 6] و [6، 4، 2] برابر هستند. تاپل ها را حتی می توان با ترتیب عناصر متمایز کرد. به عنوان مثال (2، 4، 6) و (6، 4، 2) تاپل های مختلف را نشان می دهند.

مفهوم ساده یک مجموعه در ریاضیات بسیار مفید است، اما اگر محدودیتی در نحوه ساخت مجموعه ها وجود نداشته باشد، پارادوکس ها به وجود می آیند:

• پارادوکس راسل نشان می دهد که "مجموعه همه مجموعه هایی که خود را شامل نمی شوند "، به عنوان مثال، { x | x یک مجموعه است و x ∉ x }، نمی تواند وجود داشته باشد.
• پارادوکس کانتور نشان می دهد که «مجموعه همه مجموعه ها» نمی تواند وجود داشته باشد.

نظریه مجموعه های ساده، مجموعه را به عنوان هر مجموعه کاملاً تعریف شده از عناصر متمایز تعریف می کند، اما مشکلات ناشی از مبهم بودن اصطلاح خوب تعریف شده است .

نظریه مجموعه های بدیهی

در تلاش‌های بعدی برای حل این پارادوکس‌ها از زمان فرمول‌بندی اولیه نظریه مجموعه‌های ساده، ویژگی‌های مجموعه‌ها با بدیهیات تعریف شده‌اند . نظریه مجموعه بدیهی مفهوم مجموعه را به عنوان یک مفهوم ابتدایی می گیرد . ^[54] هدف بدیهیات ارائه یک چارچوب اساسی است که از طریق آن می توان صدق یا نادرستی گزاره های ریاضی خاص (گزاره ها) در مورد مجموعه ها را با استفاده از منطق مرتبه اول استنتاج کرد . با این حال، با توجه به قضایای ناقص بودن گودل ، نمی‌توان از منطق مرتبه اول برای اثبات عاری بودن چنین نظریه مجموعه‌های بدیهی خاصی از پارادوکس استفاده کرد. ^[55]

همچنین ببینید

• جبر مجموعه ها
• نظریه مجموعه های جایگزین
• دسته بندی مجموعه ها
• کلاس (نظریه مجموعه ها)
• خانواده مجموعه ها
• مجموعه فازی
• صرف شناسی
• Principia Mathematica

یادداشت ها

1. Cantor، Georg; Jourdain, Philip EB (مترجم) (1915). مشارکت در پایه گذاری نظریه اعداد متقابل . انتشارات نیویورک دوور (ترجمه انگلیسی 1954). با یک «مجموعه» (Menge) ما باید هر مجموعه ای را در یک کل (Zusammenfassung zu einem Ganzen) M از اشیاء معین و مجزا از شهود یا اندیشه خود درک کنیم.اینجا: ص85
2. پی کی جین; خلیل احمد; Om P. Ahuja (1995). تحلیل عملکردی عصر جدید بین المللی. ص 1. ISBN 978-81-224-0801-0.
3. ساموئل گلدبرگ (۱ ژانویه ۱۹۸۶). احتمال: مقدمه شرکت پیک. ص 2. ISBN 978-0-486-65252-8.
4. توماس اچ. کورمن؛ چارلز ای لیزرسون; رونالد ال ریوست; کلیفورد استاین (2001). مقدمه ای بر الگوریتم ها مطبوعات MIT. ص 1070. شابک 978-0-262-03293-3.
5. Halmos 1960, p. 1.
6. استول، رابرت (1974). مجموعه ها، منطق و نظریه های بدیهی . WH فریمن و شرکت. ص 5. شابک 9780716704577.
7. سیمور لیپشوتز; مارک لیپسون (22 ژوئن 1997). طرح کلی ریاضیات گسسته Schaum. مک گراو هیل حرفه ای. ص 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
8. "مقدمه ای بر مجموعه ها". www.mathsisfun.com . بازیابی شده 2020-08-19 .
9. چارلز رابرتز (24 ژوئن 2009). مقدمه ای بر اثبات های ریاضی: یک انتقال. مطبوعات CRC. ص 45. شابک 978-1-4200-6956-3.
10. دیوید جانسون؛ دیوید بی جانسون; توماس A. Mowry (ژوئن 2004). ریاضیات محدود: کاربردهای عملی (نسخه Docutech). WH فریمن. ص 220. شابک 978-0-7167-6297-3.
11. ایگناسیو بلو؛ آنتون کائول; جک آر بریتون (29 ژانویه 2013). مباحث ریاضیات معاصر. Cengage Learning. ص 47. شابک 978-1-133-10742-2.
12. سوزانا اس اپ (4 اوت 2010). ریاضیات گسسته با برنامه های کاربردی Cengage Learning. ص 13. شابک 978-0-495-39132-6.
13. آ. کاناموری، «مجموعه خالی، مجرد، و جفت مرتب»، ص278. بولتن منطق نمادین جلد. 9، نه 3، (2003). دریافت شده در 21 اوت 2023.
14. استفان بی. ماورر؛ آنتونی رالستون (21 ژانویه 2005). ریاضیات الگوریتمی گسسته. مطبوعات CRC. ص 11. شابک 978-1-4398-6375-6.
15. D. Van Dalen; HC Doets; H. De Swart (9 مه 2014). مجموعه‌ها: ساده‌لوح، بدیهی و کاربردی: خلاصه‌ای پایه با تمرین‌هایی برای استفاده در تئوری مجموعه‌ها برای غیر منطق‌دانان، ریاضی‌دانان شاغل و تدریس و دانش‌آموزان. علم الزویر. ص 1. ISBN 978-1-4831-5039-0.
16. آلفرد باستا؛ استفان دلانگ؛ نادین باستا (1 ژانویه 2013). ریاضیات برای فناوری اطلاعات. Cengage Learning. ص 3. ISBN 978-1-285-60843-3.
17. لورا براکن؛ اد میلر (15 فوریه 2013). جبر ابتدایی. Cengage Learning. ص 36. شابک 978-0-618-95134-5.
18. هالموس 1960، ص. 4.
19. فرانک رودا (6 اکتبر 2011). هگل هگل: تحقیقی در فلسفه حق هگل. انتشارات بلومزبری. ص 151. شابک 978-1-4411-7413-0.
20. John F. Lucas (1990). مقدمه ای بر ریاضیات انتزاعی. رومن و لیتلفیلد ص 108. شابک 978-0-912675-73-2.
21. وایستاین، اریک دبلیو. «مجموعه». Wolfram MathWorld . بازیابی شده 2020-08-19 .
22. رالف سی استاینلیج (1987). جبر کالج. شرکت انتشارات غرب. شابک 978-0-314-29531-6.
23. Halmos 1960, p. 2.
24. Marek Capinski; پیتر ای کوپ (2004). اندازه گیری، انتگرال و احتمال. Springer Science & Business Media. ص 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
25. «تنظیم نمادها». www.mathsisfun.com . بازیابی شده 2020-08-19 .
26. Halmos 1960, p. 8.
27. KT Leung; دوریس لای چو چن (1 ژوئیه 1992). تئوری مجموعه های ابتدایی، قسمت اول / دوم. انتشارات دانشگاه هنگ کنگ ص 27. شابک 978-962-209-026-2.
28. آگاروال، ML (2021). "1. مجموعه". درک ISC ریاضیات کلاس XI . جلد 1. انتشارات آریا (شرکت انتشارات آویچال). ص A=3.
29. سورندرا نات، دی (ژانویه 2015). "واحد-1 مجموعه ها و توابع: 1. نظریه مجموعه ها". چهایا گانیت (اکاداش شرنی) . Scholar Books Pvt. Ltd. p. 5.
30. Halmos 1960, Sect.2.
31. Felix Hausdorff (2005). تئوری مجموعه ها انجمن ریاضی آمریکا ص 30. شابک 978-0-8218-3835-8.
32. پیتر کامنینوس (6 آوریل 2010). تکنیک های برنامه نویسی ریاضی و کامپیوتری برای گرافیک کامپیوتری. Springer Science & Business Media. ص 7. ISBN 978-1-84628-292-8.
33. Halmos 1960, p. 3.
34. جورج تورلاکیس (13 فوریه 2003). سخنرانی در منطق و نظریه مجموعه ها: جلد 2، نظریه مجموعه ها. انتشارات دانشگاه کمبریج ص 137. شابک 978-1-139-43943-5.
35. Yiannis N. Moschovakis (1994). نکاتی در مورد نظریه مجموعه ها Springer Science & Business Media. شابک 978-3-540-94180-4.
36. آرتور چارلز فلک (2001). مدل‌های رسمی محاسبات: محدودیت‌های نهایی محاسبات علمی جهانی ص 3. ISBN 978-981-02-4500-9.
37. ویلیام جانستون (25 سپتامبر 2015). انتگرال Lebesgue برای دانشجویان کارشناسی. انجمن ریاضی آمریکا ص 7. ISBN 978-1-939512-07-9.
38. کارل جی اسمیت (7 ژانویه 2008). ریاضیات: قدرت و کاربرد آن Cengage Learning. ص 401. شابک 978-0-495-38913-2.
39. جان استیلول (16 اکتبر 2013). اعداد واقعی: مقدمه ای بر نظریه و تحلیل مجموعه ها. Springer Science & Business Media. شابک 978-3-319-01577-4.
40. دیوید تال (11 آوریل 2006). تفکر ریاضی پیشرفته Springer Science & Business Media. ص 211. شابک 978-0-306-47203-9.
41. کانتور، گئورگ (1878). «این بیتراگ زور منیگفالتیگکیتسلهره». مجله für die Reine und Angewandte Mathematik . 1878 (84): 242-258. doi :10.1515/crll.1878.84.242 (غیرفعال 2024-09-19).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
42. کوهن، پل جی. (15 دسامبر 1963). «استقلال فرضیه پیوستگی». مجموعه مقالات آکادمی ملی علوم ایالات متحده آمریکا . 50 (6): 1143-1148. Bibcode :1963PNAS...50.1143C. doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 . JSTOR  71858. PMC 221287 . PMID  16578557. 
43. هالموس 1960، ص. 19.
44. هالموس 1960، ص. 20.
45. ادوارد بی برگر; مایکل استاربرد (18 اوت 2004). قلب ریاضیات: دعوت به تفکر مؤثر. Springer Science & Business Media. ص 183. شابک 978-1-931914-41-3.
46. توفیق منصور (۲۷ ژوئیه ۲۰۱۲). ترکیبیات مجموعه پارتیشن ها. مطبوعات CRC. شابک 978-1-4398-6333-6.
47. هالموس 1960، ص. 28.
48. خوزه فریروس (16 اوت 2007). هزارتوی اندیشه: تاریخچه نظریه مجموعه ها و نقش آن در ریاضیات مدرن. بیرخاوزر بازل. شابک 978-3-7643-8349-7.
49. استیو راس (9 دسامبر 2004). آثار ریاضی برنارد بولزانو. OUP آکسفورد. شابک 978-0-19-151370-1.
50. ویلیام اوالد؛ ویلیام براگ اوالد (1996). از کانت تا هیلبرت جلد 1: کتاب منبع در مبانی ریاضیات. OUP آکسفورد. ص 249. شابک 978-0-19-850535-8.
51. پل روسناک؛ Jan Sebestik (25 آوریل 2019). برنارد بولزانو: زندگی و کار او. OUP آکسفورد. ص 430. شابک 978-0-19-255683-7.
52. گئورگ کانتور (نوامبر ۱۸۹۵). "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)". Matheatische Annalen (به آلمانی). 46 (4): 481-512.
53. راسل (1903) اصول ریاضیات ، فصل ششم: کلاس ها
54. خوزه فریروس (1 نوامبر 2001). هزارتوی اندیشه: تاریخچه نظریه مجموعه ها و نقش آن در ریاضیات مدرن. Springer Science & Business Media. شابک 978-3-7643-5749-8.
55. Raatikainen، Panu (2022). زالتا، ادوارد N. (ویرایش). "قضیه های ناتمامی گودل". دایره المعارف فلسفه استنفورد . آزمایشگاه تحقیقات متافیزیک، دانشگاه استنفورد . بازیابی شده در 2024-06-03 .

مراجع

• داوبن، جوزف دبلیو (1979). جورج کانتور: ریاضیات و فلسفه بی نهایت او . بوستون: انتشارات دانشگاه هاروارد . شابک 0-691-02447-2.
• هالموس، پل آر (1960). نظریه مجموعه ساده لوحانه . پرینستون، نیوجرسی: ون نوستراند. شابک 0-387-90092-6.
• استول، رابرت آر (1979). نظریه و منطق مجموعه ها . Mineola، NY: انتشارات Dover . شابک 0-486-63829-4.
• ولمن، دانیل (2006). چگونه آن را ثابت کنیم: یک رویکرد ساختاریافته . انتشارات دانشگاه کمبریج شابک 0-521-67599-5.

لینک های خارجی

• تعریف فرهنگ لغت مجموعه در ویکی‌واژه
• «Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre» کانتور (به آلمانی)