دایره

منحنی ساده هندسه اقلیدسی

دایره شکلی است متشکل از تمام نقاط یک صفحه که در یک فاصله معین از یک نقطه معین، مرکز قرار دارند . فاصله بین هر نقطه از دایره و مرکز شعاع نامیده می شود . طول پاره خطی که دو نقطه روی دایره را به هم متصل می کند و از مرکز می گذرد قطر نامیده می شود . یک دایره به ناحیه ای از صفحه به نام دیسک محدود می شود .

این دایره از قبل از آغاز تاریخ ثبت شده شناخته شده است. دایره های طبیعی مانند ماه کامل یا یک تکه میوه گرد رایج هستند. دایره اساس چرخ است که با اختراعات مرتبط مانند چرخ دنده ها ، بسیاری از ماشین آلات مدرن را ممکن می کند. در ریاضیات، مطالعه دایره به الهام بخشیدن به توسعه هندسه، نجوم و حساب دیفرانسیل و انتگرال کمک کرده است .

اصطلاحات

• آنولوس : جسمی حلقه‌ای شکل، ناحیه‌ای که توسط دو دایره متحدالمرکز محدود شده است .
• قوس : هر قسمت متصل از یک دایره. مشخص کردن دو نقطه انتهایی یک کمان و یک مرکز امکان ایجاد دو کمان را فراهم می کند که با هم یک دایره کامل را تشکیل می دهند.
• مرکز : نقطه ای که از تمام نقاط دایره فاصله دارد.
• آکورد : پاره خطی که نقاط انتهایی آن روی دایره قرار دارند، بنابراین یک دایره به دو بخش تقسیم می شود.
• محیط : طول یک مدار در امتداد دایره یا فاصله دور دایره.
• قطر : پاره خطی که نقاط انتهایی آن روی دایره قرار دارد و از مرکز می گذرد. یا طول چنین پاره خطی. این بزرگترین فاصله بین هر دو نقطه روی دایره است. این یک مورد خاص از یک وتر است، یعنی طولانی ترین وتر برای یک دایره معین، و طول آن دو برابر طول یک شعاع است.
• دیسک : ناحیه ای از صفحه که توسط یک دایره محدود شده است. در کاربرد دقیق ریاضی، یک دایره فقط مرز دیسک (یا دیسک) است، در حالی که در استفاده روزمره، اصطلاح "دایره" ممکن است به یک دیسک نیز اشاره داشته باشد.
• لنز : ناحیه مشترک (تقاطع) دو دیسک روی هم قرار گرفته اند.
• شعاع : پاره خطی که مرکز یک دایره را به هر نقطه ای از خود دایره می پیوندد. یا طول چنین قطعه ای که نصف (طول) قطر است. معمولاً شعاع نشان داده می شود و لازم است یک عدد مثبت باشد. دایره با یک حالت منحط است که از یک نقطه تشکیل شده است. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=0}$
• بخش : ناحیه ای است که توسط دو شعاع به طول مساوی با یک مرکز مشترک و یکی از دو کمان ممکن محدود شده است که توسط این مرکز و نقاط انتهایی شعاع ها تعیین می شود.
• بخش : ناحیه ای که توسط یک وتر و یکی از کمان هایی که نقاط انتهایی وتر را به هم متصل می کند محدود شده است. طول وتر مرز کمتری را بر قطر کمان های احتمالی تحمیل می کند. گاهی اوقات اصطلاح قطعه فقط برای مناطقی استفاده می شود که مرکز دایره ای که قوس آنها به آن تعلق دارد را شامل نمی شود.
• سکنت : یک وتر کشیده، یک خط مستقیم همسطح، که یک دایره را در دو نقطه قطع می کند.
• نیم دایره : یکی از دو کمان ممکن که توسط نقاط انتهایی قطر تعیین می شود و نقطه میانی آن را به عنوان مرکز در نظر می گیرد. در کاربرد رایج غیر فنی ممکن است به معنای فضای داخلی ناحیه دو بعدی باشد که با یک قطر و یکی از قوس های آن محدود شده است که از نظر فنی نیم دیسک نامیده می شود. نیم دیسک یک مورد خاص از یک بخش است، یعنی بزرگترین.
• مماس : یک خط مستقیم همسطح که یک نقطه مشترک با یک دایره دارد ("دایره را در این نقطه لمس می کند").

همه مناطق مشخص شده ممکن است باز در نظر گرفته شوند ، یعنی شامل مرزهای خود نیستند، یا بسته در نظر گرفته شوند ، از جمله مرزهای مربوطه.

ریشه شناسی

کلمه دایره از کلمه یونانی κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ) گرفته شده است که خود متاتزی از واژه یونانی هومری κρίκος ( krikos ) به معنای حلقه یا حلقه است. ^[1] خاستگاه کلمات سیرک و مدار ارتباط نزدیکی با هم دارند.

تاریخچه

نقاشی های دایره ای غار در شهرستان سانتا باربارا، کالیفرنیا

دایره ها در یک نقاشی نجومی قدیمی عربی .

مردم ماقبل تاریخ دایره های سنگی و دایره های چوبی می ساختند و عناصر مدور در سنگ نگاره ها و نقاشی های غار متداول است . ^[2] مصنوعات دیسکی شکل ماقبل تاریخ شامل دیسک آسمان نبرا و دیسک های یشم به نام Bi .

پاپیروس Rhind مصری ، متعلق به 1700 قبل از میلاد، روشی را برای یافتن مساحت دایره ارائه می دهد. نتیجه با256/81⁠ (3.16049...) به عنوان مقدار تقریبی π . ^[3]

کتاب 3 عناصر اقلیدس به خواص دایره ها می پردازد. تعریف اقلیدس از دایره این است:

دایره شکل صفحه ای است که با یک خط منحنی محدود شده و به گونه ای است که تمام خطوط مستقیمی که از یک نقطه مشخص در داخل آن تا خط مرزی کشیده شده اند با هم برابر باشند. خط مرزی محیط آن و نقطه مرکز آن نامیده می شود.

-  اقلیدس ، کتاب اول ، عناصر ^{[4] : ​​4}

در نامه هفتم افلاطون تعریف و توضیح مفصلی از دایره وجود دارد. افلاطون دایره کامل را توضیح می دهد و اینکه چگونه با هر نقاشی، کلمه، تعریف یا توضیحی متفاوت است. علوم اولیه ، به ویژه هندسه و طالع بینی و نجوم ، برای اکثر دانشمندان قرون وسطی به امر الهی مرتبط بود ، و بسیاری معتقد بودند که چیزی ذاتاً "الهی" یا "کامل" وجود دارد که می توان در دایره ها یافت. ^{[5] [6]}

در سال 1880 پس از میلاد، فردیناند فون لیندمان ثابت کرد که π ماورایی است ، و ثابت کرد که مشکل هزاران ساله مربع کردن دایره را نمی توان با خط مستقیم و قطب نما انجام داد. ^[7]

با ظهور هنر انتزاعی در اوایل قرن بیستم، اشیاء هندسی به خودی خود به یک موضوع هنری تبدیل شدند. واسیلی کاندینسکی به طور خاص اغلب از دایره ها به عنوان عنصری از ساخته های خود استفاده می کرد. ^{[8] [9]}

نمادگرایی و استفاده مذهبی

قطب نما در این نسخه خطی قرن سیزدهمی نمادی از عمل خلقت خداوند است . به شکل دایره ای هاله نیز توجه کنید .

از زمان اولین تمدن های شناخته شده - مانند آشوری ها و مصریان باستان، تمدن های دره سند و در امتداد رودخانه زرد در چین، و تمدن های غربی یونان و روم باستان در دوران باستان کلاسیک - دایره به طور مستقیم یا به طور غیرمستقیم در هنر تجسمی برای رساندن پیام هنرمند و بیان ایده های خاص. با این حال، تفاوت در جهان بینی (باورها و فرهنگ) تأثیر زیادی در برداشت هنرمندان داشت. در حالی که برخی بر محیط دایره برای نشان دادن تجلی دموکراتیک خود تأکید کردند، برخی دیگر بر مرکز آن تمرکز کردند تا نمادی از مفهوم وحدت کیهانی باشد. در آموزه های عرفانی، دایره عمدتاً نماد ماهیت نامتناهی و چرخشی هستی است، اما در روایات دینی نمایانگر اجسام بهشتی و ارواح الهی است.

دایره بر بسیاری از مفاهیم مقدس و معنوی از جمله وحدت، بی نهایت، تمامیت، جهان، الوهیت، تعادل، ثبات و کمال و غیره دلالت دارد. چنین مفاهیمی در فرهنگ های سراسر جهان از طریق استفاده از نمادها منتقل شده است، به عنوان مثال، قطب نما، هاله، vesica piscis و مشتقات آن (ماهی، چشم، اورئول، ماندورلا، و غیره)، اوروبورو، چرخ دارما ، رنگین کمان، ماندالا، پنجره های رز و غیره. ^[10] محافل جادویی بخشی از برخی سنت های باطنی گرایی غربی هستند .

نتایج تحلیلی

محیط

نسبت محیط دایره به قطر آن π (pi) است که یک ثابت غیرمنطقی تقریباً برابر با 3.141592654 است. نسبت محیط دایره به شعاع آن 2 π است . ^[a] بنابراین، محیط C به شعاع r و قطر d با: $${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

منطقه محصور

ناحیه محصور شده توسط دایره = π × مساحت مربع سایه دار

همانطور که ارشمیدس در اندازه گیری یک دایره ثابت کرد ، مساحت محصور شده توسط یک دایره برابر است با مثلثی که قاعده آن طول محیط دایره و ارتفاع آن برابر با شعاع دایره است، ^[11] که به عدد π ضرب می شود. با شعاع مجذور: $${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.}$$

به طور معادل، قطر را با d نشان می دهد ، یعنی تقریباً 79٪ مربع اطراف (که ضلع آن به طول d است ). $${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

دایره منحنی صفحه ای است که حداکثر مساحت را برای طول قوس معین در بر می گیرد. این دایره را به مشکلی در حساب تغییرات، یعنی نابرابری ایزوپریمتری ، مرتبط می‌کند .

رادیان

اگر دایره‌ای به شعاع r در مرکز راس یک زاویه قرار گیرد و آن زاویه قوس دایره‌ای با طول قوس s را قطع کند ، اندازه‌گیری رادیان زاویه نسبت طول قوس به شعاع است: $${\displaystyle \theta ={\frac {s}{r}}.}$$

گفته می شود که قوس دایره ای زاویه ای را که به عنوان زاویه مرکزی شناخته می شود ، در مرکز دایره فروکش می کند . زاویه ای که توسط یک دایره کامل در مرکز آن فرو می رود، یک زاویه کامل است که 2 رادیان π ، 360 درجه یا یک دور را اندازه می گیرد .

با استفاده از رادیان‌ها، فرمول طول قوس s یک کمان دایره‌ای با شعاع r و زیرمجموعه کردن زاویه اندازه‌گیری مرکزی 𝜃 است. $${\displaystyle s=\theta r,}$$

و فرمول مساحت A یک بخش دایره ای به شعاع r و با زاویه اندازه گیری مرکزی 𝜃 است. $${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\theta r^{2}.}$$

در حالت خاص 𝜃 = 2 π ، این فرمول ها به ترتیب محیط یک دایره کامل و مساحت یک دیسک کامل را به دست می دهند.

معادلات

مختصات دکارتی

دایره شعاع r  = 1، مرکز ( a ،  b ) = (1.2، 0.5-)

معادله یک دایره

در یک سیستم مختصات دکارتی x – y ، دایره با مختصات مرکزی ( a ، b ) و شعاع r مجموعه ای از تمام نقاط ( x ، y ) است به طوری که $${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$$

این معادله ، که به عنوان معادله دایره شناخته می شود ، از قضیه فیثاغورث اعمال شده برای هر نقطه از دایره به دست می آید: همانطور که در نمودار مجاور نشان داده شده است، شعاع هیپوتنوز یک مثلث قائم الزاویه است که اضلاع دیگر آن طول دارند | x − a | و | y − b |. اگر دایره در مرکز مبدا (0، 0) باشد، معادله ساده می شود $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

فرم پارامتریک

معادله را می توان به شکل پارامتریک با استفاده از توابع مثلثاتی سینوسی و کسینوس نوشت، به طوری که t یک متغیر پارامتری در محدوده 0 تا 2 π است که از نظر هندسی به عنوان زاویه ای که پرتو از ( a ,  b ) به ( x ,  y ) تعبیر می شود. با محور x مثبت می سازد  . $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

پارامتر جایگزینی دایره است $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

در این پارامترسازی، نسبت t به r را می‌توان به صورت هندسی به‌عنوان پیش‌بینی استریوگرافی خطی که از مرکز موازی با محور x می‌گذرد تفسیر کرد  (به جانشینی نیم‌زاویه مماس مراجعه کنید ). با این حال، این پارامترسازی تنها در صورتی کار می‌کند که t را نه تنها در تمام واقعی‌ها، بلکه تا نقطه‌ای در بی‌نهایت نیز ببرد. در غیر این صورت، سمت چپ ترین نقطه دایره حذف می شود.

فرم 3 امتیازی

معادله دایره ای که با سه نقطه غیر روی یک خط تعیین می شود، با تبدیل شکل 3 نقطه ای یک معادله دایره به دست می آید : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ $${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

فرم همگن

در مختصات همگن ، هر مقطع مخروطی با معادله یک دایره شکل دارد $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

می توان ثابت کرد که یک مقطع مخروطی دقیقاً زمانی دایره است که حاوی نقاط I (1: i : 0) و J (1: − i : 0) باشد (در صورتی که به صفحه نمایشی پیچیده امتداد یابد) . این نقاط را نقاط دایره ای در بی نهایت می نامند .

مختصات قطبی

در مختصات قطبی ، معادله یک دایره است $${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

که در آن a شعاع دایره است، مختصات قطبی یک نقطه عمومی روی دایره، و مختصات قطبی مرکز دایره هستند (یعنی r ₀ فاصله مبدا تا مرکز دایره است، و φ زاویه خلاف جهت عقربه های ساعت از محور x مثبت  به خطی است که مبدا را به مرکز دایره متصل می کند). برای دایره ای که در مرکز مبدا قرار دارد، یعنی r ₀ = 0 ، این به r = a کاهش می یابد . وقتی r ₀ = a یا وقتی مبدا روی دایره باشد، معادله تبدیل می شود ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (r_{0},\phi )}$ $${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

در حالت کلی، معادله را می توان برای r حل کرد ، و بدون علامت ±، معادله در برخی موارد فقط نیمی از دایره را توصیف می کند. $${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

هواپیمای پیچیده

در صفحه مختلط دایره ای با مرکز c و شعاع r معادله دارد $${\displaystyle |z-c|=r.}$$

در فرم پارامتریک، این را می توان به صورت $${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

معادله کمی تعمیم یافته $${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

برای p واقعی ، q و g مختلط گاهی اوقات دایره تعمیم یافته نامیده می شود . این معادله بالا برای دایره ای با , می شود زیرا . همه دایره های تعمیم یافته در واقع دایره نیستند: یک دایره تعمیم یافته یا یک دایره (واقعی) است یا یک خط . ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$ ${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

خطوط مماس

خط مماس از نقطه P روی دایره عمود بر قطری است که از P می گذرد . اگر P = ( x ₁ , y ₁ ) و دایره دارای مرکز ( a , b ) و شعاع r _باشد ، آنگاه خط مماس بر خط ( a , b ) به ( x1 , y ₁ ) عمود است. دارای شکل ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ – b ) y = c . ارزیابی در ( x ₁ , y ₁ ) مقدار c را تعیین می کند و نتیجه این است که معادله مماس یا $${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$ $${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

اگر y ₁ ≠ b ، شیب این خط است $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

این را می توان با استفاده از تمایز ضمنی نیز یافت .

وقتی مرکز دایره در مبدا باشد، معادله خط مماس می شود و شیب آن برابر است. $${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

خواص

• دایره شکلی است با بیشترین مساحت برای طول مشخصی از محیط (به نابرابری ایزوپریمتری مراجعه کنید ).
• دایره یک شکل بسیار متقارن است: هر خطی که از مرکز می گذرد یک خط تقارن بازتابی را تشکیل می دهد و برای هر زاویه دارای تقارن چرخشی در اطراف مرکز است. گروه تقارن آن گروه متعامد O(2, R ) است . گروه چرخش به تنهایی گروه دایره T است .
• همه دایره ها شبیه هم هستند . ^[12]
  • دور دایره و شعاع متناسب هستند .
  • مساحت محصور و مربع شعاع آن متناسب است .
  • ثابت تناسب به ترتیب 2 π و π هستند .
• دایره ای که در مرکز مبدا با شعاع 1 قرار دارد دایره واحد نامیده می شود .
  • به عنوان یک دایره بزرگ از کره واحد در نظر گرفته می شود ، به دایره ریمانی تبدیل می شود .
• از میان هر سه نقطه، نه همه در یک خط، یک دایره منحصر به فرد وجود دارد. در مختصات دکارتی می توان فرمول های صریحی برای مختصات مرکز دایره و شعاع بر حسب مختصات سه نقطه داده شده ارائه داد. رجوع به دایره دور شود .

آکورد

• آکوردها از مرکز دایره فاصله دارند اگر و فقط در صورتی که طول آنها برابر باشد.
• نیمساز عمود یک وتر از مرکز دایره می گذرد. عبارات معادل ناشی از منحصر به فرد بودن نیمساز عمود بر هم عبارتند از:
  • خطی عمود از مرکز دایره، وتر را نصف می کند.
  • پاره خطی که از مرکز وتر را نصف می کند، عمود بر وتر است.
• اگر یک زاویه مرکزی و یک زاویه محاطی از یک دایره توسط یک وتر و در یک سمت وتر فرعی شود، زاویه مرکزی دو برابر زاویه محاط است.
• اگر دو زاویه بر روی یک وتر و در یک طرف وتر حک شده باشد، آنها با هم برابرند.
• اگر دو زاویه بر روی یک وتر و در طرفین مخالف وتر حک شود، آنها مکمل هستند .
  • برای یک چهارضلعی حلقوی ، زاویه بیرونی برابر با زاویه مقابل داخلی است.
• یک زاویه محاطی که توسط یک قطر فرو می‌رود، یک زاویه قائمه است ( قضیه تالس را ببینید ).
• قطر طولانی ترین وتر دایره است.
  • در میان تمام دایره هایی که وتر AB مشترک دارند، دایره ای با حداقل شعاع دایره ای با قطر AB است.
• اگر تقاطع هر دو وتر یک وتر را به طول های a و b و وتر دیگر را به طول های c و d تقسیم کند ، ab = cd .
• اگر تقاطع هر دو وتر عمود بر هم یک وتر را به طول های a و b و وتر دیگر را به طول های c و d تقسیم کند ، a ² + b ² + c ² + d ² برابر است با مربع قطر. ^[13]
• مجموع مجذور طول هر دو وتر که در یک نقطه معین با زاویه قائم تلاقی می کنند با هر دو وتر عمود دیگری که در همان نقطه قطع می کنند یکسان است و با 8 r ² − 4 p ² به دست می آید که r برابر است با شعاع دایره، و p فاصله از نقطه مرکزی تا نقطه تقاطع است. ^[14]
• فاصله یک نقطه از دایره تا یک وتر معین ضربدر قطر دایره برابر است با حاصل ضرب فواصل نقطه تا انتهای وتر. ^{[15] : ص71}

مماس

• خطی که عمود بر شعاع از نقطه انتهایی شعاع قرار گرفته روی دایره کشیده شده است مماس بر دایره است.
• خطی که عمود بر مماس از نقطه تماس با دایره کشیده شده است از مرکز دایره عبور می کند.
• دو مماس همیشه می توانند از هر نقطه ای خارج از دایره به یک دایره رسم شوند و طول این مماس ها برابر است.
• اگر یک مماس در A و یک مماس در B در نقطه بیرونی P را قطع کنند ، سپس مرکز را با O نشان دهیم ، زوایای ∠ BOA و ∠ BPA مکمل هستند.
• اگر AD مماس بر دایره A باشد و اگر AQ وتر دایره باشد، ∠ DAQ = ⁠1/2قوس ( AQ ) .

قضایا

قضیه سکانت

• قضیه وتر بیان می کند که اگر دو وتر CD و EB در A قطع شوند ، آنگاه AC × AD = AB × AE .
• اگر دو بخش AE و AD نیز دایره را به ترتیب در B و C برش دهند ، AC × AD = AB × AE (نتیجه قضیه وتر).
• مماس را می توان یک مورد محدود کننده از سکانسی در نظر گرفت که انتهای آن بر هم منطبق است. اگر یک مماس از یک نقطه خارجی A با دایره در F و یک سکنت از نقطه خارجی A به ترتیب با دایره در C و D ملاقات کند ، آنگاه AF ² = AC × AD (قضیه مماس-سکانس).
• زاویه بین وتر و مماس در یکی از نقاط انتهایی آن برابر است با نیمی از زاویه ای که در مرکز دایره در سمت مخالف وتر قرار دارد (زاویه وتر مماس).
• اگر زاویه ای که توسط وتر در مرکز فرو می رود 90 درجه باشد ، ℓ = r √2 ، که در آن ℓ طول وتر، و r شعاع دایره است.
• اگر همانطور که در سمت راست نشان داده شده دو مقطع در دایره حک شود، اندازه گیری زاویه A برابر است با نصف اختلاف اندازه گیری های کمان های محصور ( و ). یعنی ، جایی که O مرکز دایره است (قضیه سکانس-سکانس). ${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$ ${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$ ${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

زوایای حکاکی شده

قضیه زاویه محاطی

یک زاویه محاط شده (به عنوان مثال زوایای آبی و سبز در شکل) دقیقاً نصف زاویه مرکزی مربوطه (قرمز) است. از این رو، تمام زوایای محاطی که یک قوس (صورتی) را فرو می‌برند با هم برابرند. زوایای حک شده روی قوس (قهوه ای) مکمل هستند. به طور خاص، هر زاویه محاطی که قطری را به زیر می‌گیرد، یک زاویه قائمه است (زیرا زاویه مرکزی 180 درجه است).

ساگیتا

ساژیتا بخش عمودی است.

ساگیتا (همچنین به عنوان versine شناخته می شود ) یک پاره خط است که عمود بر یک وتر، بین نقطه وسط آن وتر و قوس دایره کشیده شده است.

با توجه به طول y یک وتر و طول x ساگیتا، قضیه فیثاغورث را می توان برای محاسبه شعاع دایره یکتا که در اطراف دو خط قرار می گیرد استفاده کرد: $${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

یکی دیگر از شواهد این نتیجه، که تنها بر دو ویژگی وتر ارائه شده در بالا متکی است، به شرح زیر است. با توجه به وتر به طول y و با ساگیتا به طول x ، از آنجایی که ساگیتا نقطه وسط وتر را قطع می کند، می دانیم که بخشی از قطر دایره است. از آنجایی که قطر دو برابر شعاع است، طول قسمت «فقدان» قطر ( 2 r − x ) است. با استفاده از این واقعیت که یک قسمت از یک وتر ضربدر قسمت دیگر برابر است با همان حاصل ضرب گرفته شده در امتداد وتری که اولین وتر را قطع می کند، در می یابیم که ( 2 r − x ) x = ( y / 2) ² . با حل r ، نتیجه مورد نیاز را پیدا می کنیم.

قطب نما و سازه های مستقیم

بسیاری از ساختارهای قطب نما و مستقیم وجود دارد که منجر به دایره می شود.

ساده ترین و اساسی ترین ساخت با توجه به مرکز دایره و یک نقطه روی دایره است. پایه ثابت قطب نما را روی نقطه مرکزی، پایه متحرک را روی نقطه روی دایره قرار دهید و قطب نما را بچرخانید.

ساخت و ساز با قطر معین

• نقطه وسط M قطر را بسازید .
• دایره ای را با مرکز M بسازید که از یکی از نقاط انتهایی قطر می گذرد (از نقطه انتهایی دیگر نیز عبور می کند).

با یافتن نیمسازهای عمود بر (قرمز) اضلاع مثلث (آبی) از نقاط A، B و C یک دایره بسازید. برای یافتن مرکز فقط دو نیم‌ساز از سه نیم‌ساز مورد نیاز است.

ساخت و ساز از طریق سه نقطه غیر خطی

• نقاط P ، Q و R را نام ببرید ،
• عمود بر قطعه PQ را بسازید .
• عمود بر بخش PR را بسازید .
• نقطه تقاطع این دو نیمساز عمود بر هم M را علامت بزنید . (به دلیل اینکه نقاط هم خطی نیستند به هم می رسند ).
• دایره ای را با مرکز M بسازید که از یکی از نقاط P ، Q یا R می گذرد (از دو نقطه دیگر نیز عبور می کند).

دایره آپولونیوس

تعریف آپولونیوس از دایره: ثابت d ₁ / d ₂

آپولونیوس از پرگا نشان داد که دایره را می توان به عنوان مجموعه ای از نقاط در صفحه ای با نسبت ثابت (غیر از 1) از فاصله ها به دو کانون ثابت، A و B تعریف کرد . ^{[16] [17]} (مجموعه نقاطی که فواصل آنها مساوی است، عمود بر قطعه AB ، یک خط است.) گاهی اوقات گفته می شود که این دایره حدود دو نقطه رسم می شود .

اثبات در دو بخش است. ابتدا باید ثابت کرد که با توجه به دو کانون A و B و نسبت فواصل، هر نقطه P که نسبت فواصل را برآورده کند باید روی یک دایره خاص قرار گیرد. اجازه دهید C نقطه دیگری باشد، همچنین نسبت را برآورده می کند و روی قطعه AB قرار می گیرد . با قضیه نیمساز زاویه، پاره خط PC زاویه داخلی APB را نصف می کند ، زیرا پاره ها مشابه هستند: $${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

به طور مشابه، یک پاره خط PD از نقطه ای D در AB گسترش یافته، زاویه بیرونی متناظر BPQ را که در آن Q روی AP گسترش یافته است، نصف می کند. از آنجایی که مجموع زوایای داخلی و خارجی 180 درجه است، زاویه CPD دقیقاً 90 درجه است. یعنی زاویه راست. مجموعه نقاط P به طوری که زاویه CPD یک زاویه قائمه باشد دایره ای را تشکیل می دهد که قطر آن CD است.

دوم، برای اثبات اینکه هر نقطه در دایره نشان داده شده نسبت داده شده را برآورده می کند، به ^{[18] : 15  مراجعه کنید.}

نسبت های متقاطع

یک ویژگی نزدیک به دایره ها شامل هندسه نسبت متقاطع نقاط در صفحه مختلط است. اگر A ، B و C مانند بالا باشند، دایره آپولونیوس برای این سه نقطه مجموعه نقاط P است که قدر مطلق نسبت متقاطع برابر یک است: $${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

به روشی دیگر، P نقطه ای از دایره آپولونیوس است اگر و فقط اگر نسبت متقاطع [ A , B. C , P ] روی دایره واحد در صفحه مختلط است.

دایره های تعمیم یافته

اگر C نقطه وسط پاره AB باشد ، مجموعه نقاط P که شرط آپولونیوس را برآورده می کند یک دایره نیست، بلکه یک خط است. $${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

بنابراین، اگر به A ، B ، و C نقاط متمایز در صفحه داده شود، مکان نقاط P که معادله فوق را برآورده می کند، "دایره تعمیم یافته" نامیده می شود. ممکن است یک دایره واقعی یا یک خط باشد. از این نظر یک خط یک دایره تعمیم یافته با شعاع بی نهایت است.

کتیبه در یا حاشیه در مورد دیگر اشکال

در هر مثلث یک دایره منحصربه‌فرد به نام دایره دایره‌ای را می‌توان به گونه‌ای نوشت که بر هر یک از سه ضلع مثلث مماس باشد. ^[19]

در مورد هر مثلث یک دایره منحصر به فرد به نام دایره دایره ای را می توان به گونه ای محدود کرد که از هر یک از سه رأس مثلث عبور کند . ^[20]

چند ضلعی مماس ، مانند چهارضلعی مماس ، هر چند ضلعی محدب است که در آن دایره ای مماس بر هر ضلع چند ضلعی نوشته شود . ^[21] هر چند ضلعی منتظم و هر مثلث یک چند ضلعی مماسی است.

چند ضلعی حلقوی هر چند ضلعی محدب است که می توان دایره ای را پیرامون آن محصور کرد که از هر رأس عبور کند. یک مثال به خوبی مطالعه شده، چهارضلعی حلقوی است. هر چندضلعی منتظم و هر مثلث یک چندضلعی حلقوی است. چند ضلعی که هم حلقوی و هم مماسی باشد را چند ضلعی دو مرکزی می نامند .

هیپوسایکلوئید منحنی است که با ترسیم یک نقطه ثابت روی یک دایره کوچکتر که درون دایره داده شده و مماس بر دایره داده شده می چرخد، در یک دایره معین حک می شود.

مورد محدود از ارقام دیگر

دایره را می توان به عنوان یک مورد محدود کننده از اشکال مختلف دیگر مشاهده کرد:

• سری چند ضلعی های منتظم با n ضلع دایره را به عنوان حد خود با نزدیک شدن n به بی نهایت دارد. این واقعیت توسط ارشمیدس برای تقریبی π اعمال شد .
• بیضی دکارتی مجموعه ای از نقاط است که مجموع وزنی فواصل هر یک از نقاط آن تا دو نقطه ثابت (کانون) ثابت است. بیضی حالتی است که در آن وزن ها برابر باشند . دایره یک بیضی با خروج از مرکز صفر است، به این معنی که دو کانون به عنوان مرکز دایره با یکدیگر منطبق هستند. دایره نیز یک مورد خاص متفاوت از بیضی دکارتی است که در آن یکی از وزن ها صفر است.
• یک ابربیضی معادله ای از شکل مثبت a ، b و n دارد . یک ابر دایره دارای b = a است . دایره حالت خاص یک ابر دایره است که در آن n = 2 است . ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• بیضی کاسینی مجموعه ای از نقاط است که حاصل ضرب فاصله هر یک از نقاط آن تا دو نقطه ثابت ثابت است. وقتی دو نقطه ثابت بر هم منطبق شوند، یک دایره به وجود می آید.
• منحنی عرض ثابت شکلی است که عرض آن که به عنوان فاصله عمود بین دو خط موازی متمایز تعریف می شود که هر یک مرز خود را در یک نقطه قطع می کنند، بدون توجه به جهت آن دو خط موازی یکسان است. دایره ساده ترین مثال از این نوع شکل است.

منبع جمع ثابت

مجموعه محدودی از نقاط را در صفحه در نظر بگیرید. مکان نقاطی که مجموع مجذور فواصل نقاط داده شده ثابت باشد دایره ای است که مرکز آن در مرکز نقاط داده شده است. ^[22] اگر در زیر نقاط رئوس چندضلعی منتظم گرفته شود، یک تعمیم برای توانهای بالاتر فواصل به دست می آید . ^[23] مکان نقاط به گونه‌ای که مجموع توان -امین فواصل تا رئوس چندضلعی منتظم با شعاع محیطی ثابت باشد دایره‌ای است، اگر مرکز آن مرکز آن باشد . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$ ${\displaystyle P_{n}}$

در مورد مثلث متساوی الاضلاع ، مکان مجموع ثابت توان دوم و چهارم دایره است، در حالی که برای مربع، مکان ها دایره هایی برای مجموع ثابت توان های دوم، چهارم و ششم هستند. برای پنج ضلعی منتظم مجموع ثابت هشتمین توان فواصل اضافه خواهد شد و غیره.

مربع کردن دایره

مربع کردن دایره مشکلی است که توسط هندسه‌سنج‌های باستانی پیشنهاد شده است ، برای ساختن مربعی با مساحت یک دایره معین تنها با استفاده از تعداد محدود پله‌ها با قطب‌نما و خط مستقیم .

در سال 1882، ثابت شد که این کار غیرممکن است، در نتیجه قضیه Lindemann-Weierstrass ، که ثابت می کند پی ( π ) یک عدد ماورایی است ، نه یک عدد غیر منطقی جبری . یعنی ریشه هیچ چند جمله ای با ضرایب گویا نیست. با وجود غیرممکن بودن، این موضوع همچنان مورد توجه علاقه مندان به شبه است .

تعمیم ها

در دیگرص-هنجارها

تصاویر دایره های واحد (همچنین به ابربیضی مراجعه کنید ) در هنجارهای مختلف p (هر بردار از مبدا تا دایره واحد دارای طول یک است، طول با فرمول طول-فرمول p مربوطه محاسبه می شود ).

با تعریف دایره به عنوان مجموعه ای از نقاط با فاصله ثابت از یک نقطه، اشکال مختلف را می توان با تعاریف مختلف از فاصله، دایره در نظر گرفت. در p -norm ، فاصله با هندسه اقلیدسی، p = 2 تعیین می شود، که به اطلاعات آشنا می دهد. $${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$ $${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

در هندسه تاکسی p = 1. دایره‌های تاکسی مربع‌هایی هستند که اضلاع آن در زاویه 45 درجه نسبت به محورهای مختصات قرار دارند. در حالی که هر ضلع با استفاده از متریک اقلیدسی طول خواهد داشت ، جایی که r شعاع دایره است، طول آن در هندسه تاکسی 2 r است . بنابراین، محیط دایره 8 r است . بنابراین، مقدار آنالوگ هندسی در این هندسه 4 است. فرمول دایره واحد در هندسه تاکسی در مختصات دکارتی و مختصات قطبی است. ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |x|+|y|=1}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

دایره ای به شعاع 1 (با استفاده از این فاصله) محله فون نویمان در مرکز آن است.

دایره‌ای با شعاع r برای فاصله چبیشف ( _متریک L∞ ) در یک صفحه نیز مربعی با طول ضلع 2 r موازی با محورهای مختصات است، بنابراین فاصله مسطح چبیشف را می‌توان با چرخش و تغییر مقیاس به فاصله تاکسی مسطح معادل مشاهده کرد . با این حال، این هم ارزی بین معیارهای L ₁ و L _∞ به ابعاد بالاتر تعمیم نمی یابد.

تعریف توپولوژیکی

دایره ابر کره یک بعدی است (1-کره).

در توپولوژی ، یک دایره به مفهوم هندسی محدود نمی شود، بلکه به تمام همومورفیسم های آن محدود می شود . دو دایره توپولوژیکی معادل هستند اگر یکی از ^{آنها از طریق تغییر شکل} R3 روی خود به دیگری تبدیل شود (معروف به ایزوتوپی محیطی ). ^[24]

حلقه هایی با نام خاص

همچنین ببینید

• کره Affine
• Apeirogon
• اتصالات دایره ای
• فاصله
• مشکل دایره گاوس
• وارونگی در یک دایره
• تقاطع خط - دایره
• فهرست موضوعات حلقه
• کره
• سه نقطه یک دایره را مشخص می کند
• ترجمه محورها

یادداشت ها

1. همچنین به عنوان 𝜏 (tau) شناخته می شود .

مراجع

1. krikos بایگانی شده 06-11-2013 در ماشین راه برگشت ، هنری جورج لیدل، رابرت اسکات، واژه نامه یونانی-انگلیسی ، در مورد پرسئوس
2. سیمک، جان اف. کرسلر، آلن؛ هرمان، نیکلاس پی. شروود، سارا سی (1 ژوئن 2013). "مناظر مقدس جنوب شرقی ایالات متحده: هنر سنگی و غارهای ماقبل تاریخ در تنسی". دوران باستان . 87 (336): 430-446. doi :10.1017/S0003598X00049048. ISSN  0003-598X. S2CID  130296519.
3. کرونولوژی 30000 سال قبل از میلاد تا 500 سال قبل از میلاد بایگانی شده در 22-03-2008 در ماشین راه برگشت . History.mcs.st-andrews.ac.uk. بازبینی شده در 03/05/2012.
4. OL  7227282M
5. آرتور کوستلر ، خوابگردها : تاریخچه تغییر بینش انسان از جهان (1959)
6. پروکلوس ، شش کتاب پروکلوس، جانشین افلاطونی، درباره الهیات افلاطون، بایگانی شده 23/01/2017 در Wayback Machine Tr. توماس تیلور (1816) جلد. 2، چ. 2، "از افلاطون"
7. مربع کردن دایره بایگانی شده در 24-06-2008 در ماشین راه برگشت . History.mcs.st-andrews.ac.uk. بازبینی شده در 03/05/2012.
8. «دایره‌ها در یک دایره». موزه هنر فیلادلفیا . بازبینی شده در 28 دسامبر 2023 .
9. لسو، رزی (15 ژوئن 2022). "چرا واسیلی کاندینسکی دایره ها را نقاشی کرد؟" مجموعه . بازبینی شده در 28 دسامبر 2023 .
10. عبداللهی، یحیی (۲۹ اکتبر ۲۰۱۹). "دایره از شرق به غرب". در شارنیه، ژان فرانسوا (ویرایش). لوور ابوظبی: بینش جهانی هنر . انتشارات بین المللی Rizzoli، گنجانده شده است. شابک 9782370741004.
11. کاتز، ویکتور جی. (1998). تاریخچه ریاضیات / مقدمه (ویرایش دوم). ادیسون وسلی لانگمن ص 108. شابک 978-0-321-01618-8.
12. ریچسون، دیوید (2015). "استدلال دایره ای: چه کسی برای اولین بار ثابت کرد که C تقسیم بر d ثابت است؟". مجله ریاضیات کالج . 46 (3): 162-171. arXiv : 1303.0904 . doi :10.4169/college.math.j.46.3.162. MR  3413900.
13. پوزامنتیر و سالکیند، مسائل چالش برانگیز در هندسه ، دوور، ویرایش دوم، 1996: صفحات 104-105، #4-23.
14. مجله ریاضیات کالج 29(4)، سپتامبر 1998، ص. 331، مسئله 635.
15. جانسون، راجر ای.، هندسه اقلیدسی پیشرفته ، انتشارات دوور، 2007.
16. هارکنس، جیمز (1898). "مقدمه ای بر نظریه توابع تحلیلی". طبیعت . 59 (1530): 30. Bibcode :1899Natur..59..386B. doi :10.1038/059386a0. S2CID  4030420. بایگانی شده از نسخه اصلی در 7 اکتبر 2008.
17. Ogilvy, C. Stanley , Excursions in Geometry , Dover, 1969, 14-17.
18. Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007 (منبع 1952).
19. Incircle – از Wolfram MathWorld بایگانی شده در 2012-01-21 در Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26-04-2012). بازبینی شده در 03/05/2012.
20. Circumcircle – از Wolfram MathWorld بایگانی‌شده ۲۰-۰۱-۲۰۱۲ در ماشین راه‌اندازی . Mathworld.wolfram.com (26-04-2012). بازبینی شده در 03/05/2012.
21. چند ضلعی مماسی – از Wolfram MathWorld بایگانی‌شده در 03-09-2013 در ماشین راه‌اندازی . Mathworld.wolfram.com (26-04-2012). بازبینی شده در 03/05/2012.
22. آپوستول، تام؛ مناتساکانیان، مامیکن (1382). "مجموع مجذورات فواصل در فضای m". ماهنامه ریاضی آمریکا . 110 (6): 516-526. doi :10.1080/00029890.2003.11919989. S2CID  12641658.
23. مسخیشویلی، ماموکا (2020). «میانگین‌های چرخه‌ای چندضلعی‌های منتظم و جامدات افلاطونی». ارتباطات در ریاضیات و کاربردها . 11 : 335-355. arXiv : 2010.12340 . doi :10.26713/cma.v11i3.1420 (غیرفعال 11 سپتامبر 2024). بایگانی شده از نسخه اصلی در 22 آوریل 2021 . بازبینی شده در 17 مه 2021 .{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of September 2024 (link)
24. گاملین، تئودور (1999). مقدمه ای بر توپولوژی مینولا، نیویورک: انتشارات دوور. شابک 0486406806.

در ادامه مطلب

• پدو، دان (1988). هندسه: یک دوره جامع . دوور. شابک 9780486658124.

لینک های خارجی

• "دایره". دایره المعارف ریاضیات . پرس EMS 2001 [1994].
• دایره در PlanetMath .
• وایستاین، اریک دبلیو. "دایره". دنیای ریاضی .
• "برنامه های تعاملی جاوا". برای خواص و ساختارهای ابتدایی شامل دایره ها
• "معادله فرم استاندارد تعاملی دایره". برای مشاهده معادله فرم استاندارد در عمل، روی نقاط کلیک کرده و بکشید
• "جوش خوردن در حلقه ها". بریدن گره .