در ریاضیات ، باقیمانده مقدار "باقی مانده" پس از انجام محاسبات است. در محاسبات ، باقیمانده عدد صحیح باقی مانده پس از تقسیم یک عدد صحیح بر دیگری برای تولید یک عدد صحیح ( تقسیم عدد صحیح ) است. در جبر چند جمله ای ها، باقیمانده همان چند جمله ای «باقی مانده» پس از تقسیم یک چند جمله ای بر چند جمله ای دیگر است. عملیات مدول عملیاتی است که وقتی سود سهام و مقسوم علیه داده می شود، چنین باقیمانده ای تولید می کند.
از طرف دیگر، باقیمانده نیز همان چیزی است که پس از تفریق یک عدد از عدد دیگر باقی می‌ماند، هرچند که به طور دقیق‌تر تفاوت نامیده می‌شود . این کاربرد را می توان در برخی از کتاب های درسی ابتدایی یافت. در زبان عامیانه با عبارت "بقیه" جایگزین می شود، مانند "دو دلار به من پس بده و بقیه را نگه دار." [1] با این حال، اصطلاح "باقیمانده" هنوز به این معنا استفاده می شود زمانی که یک تابع با یک بسط سری تقریب زده می شود ، جایی که عبارت خطا ("باقی") به عنوان عبارت باقی مانده نامیده می شود .
با در نظر گرفتن یک عدد صحیح a و یک عدد صحیح غیر صفر d ، می توان نشان داد که اعداد صحیح یکتا q و r وجود دارند ، به طوری که a = qd + r و 0 ≤ r < | d | . عدد q را ضریب و r را باقیمانده می نامند .
(برای اثبات این نتیجه، به تقسیم اقلیدسی مراجعه کنید . برای الگوریتم هایی که نحوه محاسبه باقی مانده را توضیح می دهند، به الگوریتم تقسیم مراجعه کنید .)
باقی مانده، همانطور که در بالا تعریف شد، کمترین باقیمانده مثبت یا به سادگی باقیمانده نامیده می شود . [2] عدد صحیح a یا مضربی از d است ، یا در فاصله بین مضرب های متوالی d قرار دارد ، یعنی q⋅d و ( q + 1) d (برای q مثبت ).
در برخی مواقع، انجام تقسیم راحت است به طوری که a تا حد امکان به مضرب انتگرالی d نزدیک باشد ، یعنی بتوانیم بنویسیم.
در این حالت s کمترین باقیمانده مطلق نامیده می شود . [3] مانند ضریب و باقیمانده، k و s به طور یکتا تعیین می شوند، به جز در موردی که d = 2 n و s = ± n . برای این استثنا داریم:
یک باقیمانده منحصر به فرد را می توان در این مورد با برخی قراردادها به دست آورد - مانند همیشه گرفتن مقدار مثبت s .
در تقسیم 43 بر 5 داریم:
بنابراین 3 کمترین باقیمانده مثبت است. ما همچنین داریم که:
و -2 کمترین باقیمانده مطلق است.
این تعاریف همچنین در صورتی معتبر هستند که d منفی باشد، به عنوان مثال، در تقسیم 43 بر 5-.
و 3 کمترین باقیمانده مثبت است، در حالی که،
و -2 کمترین باقیمانده مطلق است.
در تقسیم 42 بر 5 داریم:
و چون 2 < 5/2، 2 هم کمترین باقیمانده مثبت و هم کمترین باقیمانده مطلق است.
در این مثال‌ها، کمترین باقیمانده مطلق (منفی) از کمترین باقیمانده مثبت با تفریق 5 به دست می‌آید که d است . این به طور کلی صدق می کند. هنگام تقسیم بر d ، یا هر دو باقیمانده مثبت و در نتیجه مساوی هستند، یا دارای علائم مخالف هستند. اگر باقیمانده مثبت r 1 و باقیمانده منفی r 2 باشد ، پس
وقتی a و d اعداد ممیز شناور هستند ، با d غیر صفر، a را می توان بدون باقیمانده بر d تقسیم کرد ، با ضریب یک عدد ممیز شناور دیگر. با این حال، اگر ضریب به یک عدد صحیح محدود شود، مفهوم باقی مانده همچنان ضروری است. می توان ثابت کرد که یک عدد صحیح یکتا q و یک باقیمانده ممیز شناور r وجود دارد به طوری که a = qd + r با 0 ≤ r < | d |.
بسط تعریف باقیمانده برای اعداد ممیز شناور، همانطور که در بالا توضیح داده شد، در ریاضیات از اهمیت نظری برخوردار نیست. با این حال، بسیاری از زبان های برنامه نویسی این تعریف را پیاده سازی می کنند (به عملیات مدول مراجعه کنید ).
در حالی که هیچ مشکلی در تعاریف ذاتی وجود ندارد، مسائل اجرایی وجود دارد که وقتی اعداد منفی در محاسبه باقیمانده دخیل هستند، بوجود می آیند. زبان های برنامه نویسی مختلف قراردادهای متفاوتی را پذیرفته اند. به عنوان مثال:
تقسیم اقلیدسی چند جمله ای ها بسیار شبیه به تقسیم اقلیدسی اعداد صحیح است و منجر به باقیمانده های چند جمله ای می شود. وجود آن بر اساس قضیه زیر است: با توجه به دو چند جمله‌ای تک متغیره a ( x ) و b ( x ) (که در آن b ( x ) یک چند جمله‌ای غیر صفر است) که بر روی یک میدان (به ویژه، اعداد حقیقی یا مختلط ) تعریف شده‌اند. دو چند جمله‌ای q ( x ) ( ضریب ) و r ( x ) ( باقیمانده ) وجود دارد که: [7]
کجا
که در آن "deg(...)" درجه چند جمله ای را نشان می دهد (درجه چند جمله ای ثابت که مقدار آن همیشه 0 است را می توان منفی تعریف کرد، به طوری که این شرط درجه همیشه زمانی معتبر خواهد بود که این باقیمانده باشد). علاوه بر این، q ( x ) و r ( x ) منحصراً توسط این روابط تعیین می شوند.
این تفاوت با تقسیم اقلیدسی اعداد صحیح در این است که برای اعداد صحیح، شرط درجه با کران باقی مانده r جایگزین می شود (غیر منفی و کوچکتر از مقسوم علیه، که تضمین می کند r منحصر به فرد است.) شباهت بین تقسیم اقلیدسی برای اعداد صحیح و برای چندجمله ای ها، انگیزه جستجو برای کلی ترین تنظیمات جبری است که در آن تقسیم اقلیدسی معتبر است. حلقه‌هایی که چنین قضیه‌ای برای آن‌ها وجود دارد حوزه‌های اقلیدسی نامیده می‌شوند ، اما در این کلیت، منحصربه‌فرد بودن ضریب و باقیمانده تضمین نمی‌شود. [8]
تقسیم چند جمله ای به نتیجه ای منجر می شود که به عنوان قضیه باقیمانده چند جمله ای شناخته می شود : اگر یک چند جمله ای f ( x ) بر x − k تقسیم شود ، باقیمانده ثابت r = f ( k ) است. [9] [10]
