شماره کاردینال

اندازه یک مجموعه احتمالاً بی نهایت

یک تابع دوگانه ، f : X → Y ، از مجموعه X به مجموعه Y نشان می دهد که مجموعه ها دارای کاردینالیتی یکسان هستند، در این مورد برابر با عدد اصلی 4 است.

Aleph-null ، کوچکترین کاردینال بی نهایت

در ریاضیات ، عدد اصلی یا به اختصار کاردینال چیزی است که معمولاً تعداد عناصر یک مجموعه نامیده می شود . در مورد یک مجموعه متناهی ، عدد اصلی یا کاردینالیته آن یک عدد طبیعی است . برای برخورد با مجموعه‌های نامتناهی ، اعداد اصلی نامتناهی معرفی شده‌اند که اغلب با حرف عبری ( الف ) نشان داده می‌شوند که نشان‌دهنده رتبه آنها در میان کاردینال‌های نامتناهی است. ${\displaystyle \aleph }$

کاردینالیته بر حسب توابع دوگانه تعریف می شود . دو مجموعه دارای کاردینالیتی یکسان هستند اگر و فقط در صورتی که بین عناصر دو مجموعه تناظر یک به یک (بیجکشن) وجود داشته باشد . در مورد مجموعه های محدود، این با مفهوم شهودی تعداد عناصر مطابقت دارد. در مورد مجموعه های بی نهایت، رفتار پیچیده تر است. یک قضیه اساسی ناشی از گئورگ کانتور نشان می‌دهد که ممکن است مجموعه‌های نامتناهی کاردینالیته‌های متفاوتی داشته باشند و به‌ویژه کاردینالیته مجموعه اعداد حقیقی بیشتر از کاردینالیته مجموعه اعداد طبیعی است. همچنین ممکن است برای یک زیرمجموعه مناسب از یک مجموعه نامتناهی، کاردینالیتی مشابه مجموعه اصلی داشته باشد - چیزی که با زیرمجموعه های مناسب مجموعه های محدود نمی تواند اتفاق بیفتد.

یک دنباله نامتناهی از اعداد اصلی وجود دارد :

${\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$

این دنباله با اعداد طبیعی شامل صفر (کاردینال های متناهی) شروع می شود که بعد از آنها اعداد الف قرار می گیرند . اعداد الف با اعداد ترتیبی نمایه می شوند . اگر بدیهیات انتخاب درست باشد، این دنباله نامتناهی شامل هر عدد اصلی می شود. اگر اصل انتخاب درست نباشد (به اصل انتخاب § استقلال مراجعه کنید )، بی نهایت کاردینال وجود دارد که اعداد الف نیستند.

کاردینالیته به خاطر خود به عنوان بخشی از نظریه مجموعه ها مورد مطالعه قرار می گیرد . همچنین ابزاری است که در شاخه های ریاضیات از جمله تئوری مدل , ترکیب شناسی , جبر انتزاعی و آنالیز ریاضی استفاده می شود . در نظریه مقوله اعداد اصلی اسکلت دسته مجموعه ها را تشکیل می دهند .

تاریخچه

مفهوم کاردینالیته، همانطور که اکنون فهمیده می‌شود، توسط گئورگ کانتور ، مبدع نظریه مجموعه‌ها ، در سال‌های 1874-1884 صورت‌بندی شد. Cardinality می تواند برای مقایسه یک جنبه از مجموعه های محدود استفاده شود. به عنوان مثال، مجموعه‌های {1،2،3} و {4،5،6} مساوی نیستند ، اما کاردینالیته یکسانی دارند ، یعنی سه. این امر با وجود یک بیجکشن (یعنی مطابقت یک به یک) بین دو مجموعه، مانند مطابقت {1→4، 2→5، 3→6} ایجاد می شود.

کانتور مفهوم بیجکشن خود را برای مجموعه های نامتناهی ^[1] به کار برد (برای مثال مجموعه اعداد طبیعی N = {0، 1، 2، 3، ...}). بنابراین، او همه مجموعه‌هایی را که دارای یک انحراف هستند با N مجموعه‌های غیرقابل شمارش (بی‌نهایت قابل شمارش) نامید که همگی دارای یک عدد اصلی هستند. این عدد اصلی ، aleph-null نامیده می شود . او اعداد اصلی مجموعه های نامتناهی را اعداد اصلی نامتناهی نامید . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

کانتور ثابت کرد که هر زیرمجموعه نامحدود N دارای کاردینالیتی یکسانی با N است ، حتی اگر به نظر برسد که این امر برخلاف شهود باشد. او همچنین ثابت کرد که مجموعه تمام جفت های مرتب شده اعداد طبیعی قابل شمارش هستند. این بدان معناست که مجموعه همه اعداد گویا نیز قابل شمارش هستند، زیرا هر گویا را می توان با یک جفت اعداد صحیح نشان داد. او بعداً ثابت کرد که مجموعه تمام اعداد جبری واقعی نیز قابل شمارش هستند. هر عدد جبری واقعی z ممکن است به عنوان یک دنباله متناهی از اعداد صحیح رمزگذاری شود، که ضرایب در معادله چند جمله ای که حل آن است، یعنی n تاپل مرتب شده ( a ₀ ، a ₁ ، ...، a _n ) است. , a _i ∈ Z همراه با یک جفت گویا ( b ₀ , b ₁ ) به طوری که z ریشه یکتای چند جمله ای با ضرایب ( a ₀ , a ₁ , ..., a _n ) است که در بازه () قرار دارد. b ₀ ، b ₁ ).

کانتور در مقاله خود در سال 1874 با عنوان " در مورد ویژگی مجموعه تمام اعداد جبری واقعی " ثابت کرد که اعداد اصلی مرتبه بالاتری وجود دارند، با نشان دادن اینکه مجموعه اعداد حقیقی دارای کاردینالیتی بیشتر از N هستند . اثبات او از استدلالی با فواصل تو در تو استفاده کرد ، اما در مقاله ای در سال 1891، او همان نتیجه را با استفاده از استدلال مورب مبتکرانه و بسیار ساده تر خود ثابت کرد . عدد کاردینال جدید مجموعه اعداد حقیقی را کاردینالیته پیوستار می نامند و کانتور برای آن از نماد استفاده کرده است . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

کانتور همچنین بخش بزرگی از نظریه عمومی اعداد اصلی را توسعه داد. او ثابت کرد که کوچکترین عدد کاردینال گذرا وجود دارد ( , aleph-null) و برای هر عدد اصلی یک کاردینال بزرگتر بعدی وجود دارد. ${\displaystyle \aleph _{0}}$

${\displaystyle (\aleph _{1},\aleph _{2},\aleph _{3},\ldots ).}$

فرضیه پیوستار او این گزاره است که کاردینالیته مجموعه اعداد حقیقی همان است . این فرضیه مستقل از بدیهیات استاندارد نظریه مجموعه های ریاضی است، یعنی نه می توان آن را اثبات کرد و نه می توان آن را رد کرد. این در سال 1963 توسط پل کوهن نشان داده شد ، که مکمل کارهای قبلی کورت گودل در سال 1940 بود. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

انگیزه

در استفاده غیررسمی، عدد اصلی چیزی است که معمولاً به عنوان عدد شمارش نامیده می‌شود، مشروط بر اینکه 0 شامل 0، 1، 2، ... شود. آنها ممکن است با اعداد طبیعی که با 0 شروع می‌شوند شناسایی شوند. دقیقاً همان چیزی که می تواند به طور رسمی به عنوان اعداد اصلی متناهی تعریف شود . کاردینال های بی نهایت فقط در ریاضیات و منطق سطح بالاتر رخ می دهند .

به طور رسمی تر، یک عدد غیر صفر را می توان برای دو منظور استفاده کرد: برای توصیف اندازه یک مجموعه، یا برای توصیف موقعیت یک عنصر در یک دنباله. برای مجموعه‌ها و دنباله‌های متناهی به راحتی می‌توان مشاهده کرد که این دو مفهوم بر هم منطبق هستند، زیرا برای هر عددی که موقعیتی را در یک دنباله توصیف می‌کند، می‌توانیم مجموعه‌ای بسازیم که دقیقاً اندازه مناسبی دارد. به عنوان مثال، 3 موقعیت 'c' را در دنباله <'a','b','c','d',...> توصیف می کند و ما می توانیم مجموعه {a,b,c} را بسازیم. که دارای 3 عنصر است.

با این حال، هنگام پرداختن به مجموعه‌های نامتناهی ، تمایز بین این دو ضروری است، زیرا این دو مفهوم در واقع برای مجموعه‌های نامتناهی متفاوت هستند. در نظر گرفتن جنبه موقعیت منجر به اعداد ترتیبی می شود ، در حالی که جنبه اندازه با اعداد اصلی توضیح داده شده در اینجا تعمیم می یابد.

شهود پشت تعریف رسمی کاردینال، ساختن مفهومی از اندازه نسبی یا "بزرگ" یک مجموعه است، بدون اشاره به نوع اعضای آن. برای مجموعه های محدود این آسان است. به سادگی تعداد عناصر یک مجموعه را می شمارد. برای مقایسه اندازه مجموعه های بزرگتر، لازم است به مفاهیم دقیق تر متوسل شویم.

اگر یک نگاشت تزریقی از عناصر X به عناصر Y وجود داشته باشد ، یک مجموعه Y حداقل به اندازه یک مجموعه X است . یک نگاشت تزریقی هر عنصر از مجموعه X را با یک عنصر منحصر به فرد از مجموعه Y شناسایی می کند . این به راحتی با یک مثال قابل درک است. فرض کنید مجموعه های X = {1،2،3} و Y = {a,b,c,d} را داریم ، سپس با استفاده از این مفهوم اندازه، مشاهده می کنیم که یک نگاشت وجود دارد:

1 → الف

2 → ب

3 → ج

که تزریقی است، و از این رو نتیجه می گیریم که Y دارای کاردینالیته بزرگتر یا مساوی X است . عنصر d هیچ نگاشت عنصری با آن ندارد، اما این مجاز است زیرا ما فقط به یک نگاشت تزریقی نیاز داریم و نه لزوماً یک نگاشت دوطرفه . مزیت این مفهوم این است که می توان آن را به مجموعه های بی نهایت گسترش داد.

سپس می توانیم این را به یک رابطه به سبک برابری تعمیم دهیم. در صورتی که بین X و Y دو مجموعه X و Y وجود داشته باشد، گفته می شود که کاردینالیته یکسانی دارند . با قضیه شرودر-برنشتاین ، این معادل این است که هم یک نگاشت تزریقی از X به Y و هم یک نگاشت تزریقی از Y به X وجود دارد . سپس می نویسیم | X | = | Y |. خود عدد اصلی X اغلب به عنوان حداقل ترتیبی a با | تعریف می شود یک | = | X |. ^[2] این انتساب کاردینال فون نویمان نامیده می شود . برای اینکه این تعریف معنا پیدا کند، باید ثابت شود که هر مجموعه ای همان کاردینالیتی است که برخی از ترتیبی ها دارند. این بیانیه اصل نظم است . با این حال، بحث در مورد اصلی بودن نسبی مجموعه‌ها بدون اختصاص دادن صریح نام به اشیا ممکن است.

مثال کلاسیک مورد استفاده، پارادوکس بی نهایت هتل است که پارادوکس هیلبرت در هتل بزرگ نیز نامیده می شود . فرض کنید در هتلی با تعداد بی نهایت اتاق یک مسافرخانه وجود دارد. هتل پر است و بعد مهمان جدیدی می آید. این امکان وجود دارد که مهمان اضافی را با درخواست از مهمان که در اتاق 1 بود به اتاق 2، مهمان اتاق 2 به اتاق 3 و غیره بخواهید و اتاق 1 را خالی بگذارید. ما می توانیم به صراحت بخشی از این نگاشت را بنویسیم:

1 → 2

2 → 3

3 → 4

...

n → n + 1

...

با این تخصیص، می‌توانیم ببینیم که مجموعه {1،2،3،...} دارای کاردینالیتی یکسانی با مجموعه {2،3،4،...} است، زیرا یک تقسیم بین اول و دوم نشان داده شده است. این انگیزه تعریف یک مجموعه نامتناهی را ایجاد می کند که هر مجموعه ای است که دارای یک زیرمجموعه مناسب از همان کاردینالیته باشد (یعنی یک مجموعه Dedekind-Infinite ). در این حالت {2،3،4،...} زیر مجموعه مناسبی از {1،2،3،...} است.

هنگام در نظر گرفتن این اجسام بزرگ، ممکن است بخواهیم ببینیم که آیا مفهوم ترتیب شمارش با مفهوم کاردینال تعریف شده در بالا برای این مجموعه های بی نهایت مطابقت دارد یا خیر. اتفاق می افتد که نمی کند; با در نظر گرفتن مثال بالا، می‌توانیم ببینیم که اگر شیء «یکی بزرگ‌تر از بی‌نهایت» وجود داشته باشد، باید همان ویژگی مجموعه نامتناهی را داشته باشد که با آن شروع کردیم. ممکن است بر اساس ایده های شمارش و در نظر گرفتن هر عدد به نوبه خود، از یک مفهوم رسمی متفاوت برای عدد استفاده کنیم، به نام ترتیبی ، و زمانی که از اعداد متناهی خارج شویم، متوجه می شویم که مفاهیم اصلی و ترتیبی واگرا هستند.

می توان ثابت کرد که کاردینالیته اعداد حقیقی بیشتر از اعداد طبیعی است که توضیح داده شد. این را می توان با استفاده از آرگومان مورب کانتور تجسم کرد . سؤالات کلاسیک کاردینالیته (مثلاً فرضیه پیوستگی ) به کشف اینکه آیا بین چند جفت کاردینال نامتناهی دیگر، کاردینالی وجود دارد یا خیر. در زمان های اخیر، ریاضیدانان خواص کاردینال های بزرگتر و بزرگتر را توصیف می کنند.

از آنجایی که کاردینالیته یک مفهوم رایج در ریاضیات است، نام‌های مختلفی استفاده می‌شود. یکسان بودن کاردینالیته را گاهی اوقات به عنوان یکسانی ، هم‌قدرت ، یا هم‌تعددی می‌گویند . بنابراین گفته می‌شود که دو مجموعه با کاردینالیته یکسان به ترتیب هم‌توان ، هم‌پولن یا هم‌شماری هستند .

تعریف رسمی

به طور رسمی، با فرض اصل انتخاب ، کاردینالیته یک مجموعه X کمترین عدد ترتیبی α است به طوری که بین X و α یک دوجکت وجود دارد . این تعریف به عنوان انتساب کاردینال فون نویمان شناخته می شود . اگر بدیهیات انتخاب در نظر گرفته نشود، پس رویکرد متفاوتی مورد نیاز است. قدیمی ترین تعریف اصلی بودن یک مجموعه X (در کانتور ضمنی و در فرگه و پرینسیپیا ریاضیات صریح ) به عنوان کلاس [ X ] از همه مجموعه هایی است که با X هم عدد هستند . این در ZFC یا سایر سیستم‌های مرتبط با نظریه مجموعه‌های بدیهی کار نمی‌کند ، زیرا اگر X خالی نباشد، این مجموعه برای مجموعه بودن بیش از حد بزرگ است. در واقع، برای X ≠ ∅ با نگاشت یک مجموعه m به { m } × X ، از جهان به [ X ] تزریق می شود ، و بنابراین با توجه به اصل محدودیت اندازه ، [ X ] یک کلاس مناسب است. با این حال، این تعریف در نظریه نوع و در مبانی جدید و سیستم‌های مرتبط کار می‌کند. با این حال، اگر از این کلاس به آن دسته از هم‌شماری با X که کمترین رتبه را دارند محدود کنیم ، آنگاه کار خواهد کرد (این یک ترفند به خاطر دانا اسکات است : ^[3] کار می‌کند زیرا مجموعه اشیاء با هر رتبه معین یک مجموعه است. ).

تخصیص اصلی فون نیومن به این معناست که عدد اصلی یک مجموعه محدود، عدد ترتیبی مشترک همه ترتیب‌های خوب ممکن آن مجموعه است، و حساب اصلی و ترتیبی (جمع، ضرب، توان، تفریق مناسب) سپس همان پاسخ‌ها را برای متناهی می‌دهند. اعداد با این حال، آنها برای اعداد بی نهایت متفاوت هستند. به عنوان مثال، در حساب ترتیبی در حالی که در حساب اصلی، اگر چه انتساب فون نویمان قرار می دهد . از طرف دیگر، ترفند اسکات نشان می دهد که عدد اصلی 0 است که عدد ترتیبی 1 نیز هست و این ممکن است گیج کننده باشد. یک مصالحه ممکن (برای استفاده از تراز در حساب محدود و در عین حال اجتناب از اتکا به اصل انتخاب و سردرگمی در حساب بی نهایت) اعمال تخصیص فون نویمان به اعداد اصلی مجموعه های محدود (آنهایی که می توانند به خوبی مرتب شوند و نیستند). برابر با زیرمجموعه های مناسب) و برای استفاده از ترفند اسکات برای اعداد اصلی مجموعه های دیگر. ${\displaystyle 2^{\omega }=\omega <\omega ^{2}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}=\aleph _{0}^{2}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}=\omega }$ ${\displaystyle \{\emptyset \}}$

به طور رسمی، ترتیب بین اعداد اصلی به صورت زیر تعریف می شود: | X | ≤ | Y | به این معنی است که یک تابع تزریقی از X تا Y وجود دارد . قضیه کانتور -برنشتاین-شردر بیان می کند که اگر | X | ≤ | Y | و | Y | ≤ | X | سپس | X | = | Y |. اصل انتخاب معادل این جمله است که با توجه به دو مجموعه X و Y ، یا | X | ≤ | Y | یا | Y | ≤ | X |. ^{[4] [5]}

اگر زیرمجموعه ای مناسب از X با | وجود داشته باشد، یک مجموعه X Dedekind-بی نهایت است X | = | Y |، و اگر چنین زیرمجموعه ای وجود نداشته باشد، Dedekind- محدود است . کاردینال های متناهی فقط اعداد طبیعی هستند ، به این معنا که یک مجموعه X محدود است اگر و فقط اگر | X | = | n | = n برای برخی از عدد طبیعی n . هر مجموعه دیگری بی نهایت است .

با فرض اصل انتخاب، می توان ثابت کرد که مفاهیم ددکیند با مفاهیم استاندارد مطابقت دارند. همچنین می توان ثابت کرد که کاردینال ( الف تهی یا aleph-0، که در آن الف اولین حرف در الفبای عبری است ، نشان داده شده است ) مجموعه اعداد طبیعی کوچکترین کاردینال بی نهایت است (یعنی هر مجموعه نامتناهی دارای زیرمجموعه ای از کاردینالیته ). کاردینال بزرگتر بعدی با نشان داده می شود و غیره. برای هر α ترتیبی، یک عدد اصلی وجود دارد و این فهرست تمام اعداد اصلی نامتناهی را تکمیل می‌کند. ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{\alpha },}$

محاسبات اصلی

ما می توانیم عملیات حسابی را روی اعداد اصلی تعریف کنیم که عملیات معمولی را برای اعداد طبیعی تعمیم می دهد. می توان نشان داد که برای کاردینال های متناهی، این عملیات با عملیات معمول برای اعداد طبیعی منطبق است. علاوه بر این، این عملیات دارای خواص زیادی با محاسبات معمولی است.

کاردینال جانشین

اگر بدیهیات انتخاب برقرار باشد، پس هر کاردینال κ جانشینی دارد که به κ ⁺ نشان داده می شود ، که κ ⁺ > κ و هیچ کاردینالی بین κ و جانشین آن وجود ندارد. (بدون اصل انتخاب، با استفاده از قضیه هارتگز ، می توان نشان داد که برای هر عدد اصلی κ، یک کاردینال کمینه κ ⁺ وجود دارد به طوری که ) برای کاردینال های متناهی، جانشین به سادگی κ + 1 است. برای کاردینال های بی نهایت، جانشین کاردینال با جانشین ترتیبی متفاوت است . ${\displaystyle \kappa ^{+}\nleq \kappa .}$

اضافه کاردینال

اگر X و Y متفرق باشند ، جمع با اتحاد X و Y به دست می آید . اگر این دو مجموعه قبلاً ناهمگون نیستند، می‌توان آنها را با مجموعه‌های غیرمجاز با همان کاردینالیته جایگزین کرد (مثلاً X را با X ×{0} و Y را با Y ×{1} جایگزین کنید).

${\displaystyle |X|+|Y|=|X\cup Y|.}$^[6]

صفر یک هویت افزودنی κ + 0 = 0 + κ = κ است .

جمع تداعی کننده است ( κ + μ ) + ν = κ + ( μ + ν ).

جمع تبدیلی κ + μ = μ + κ است .

جمع در هر دو آرگومان بدون کاهش است:

${\displaystyle (\kappa \leq \mu )\rightarrow ((\kappa +\nu \leq \mu +\nu ){\mbox{ and }}(\nu +\kappa \leq \nu +\mu )).}$

با فرض اصل موضوع انتخاب، جمع اعداد اصلی بی نهایت آسان است. اگر κ یا μ بی نهایت باشد، پس

${\displaystyle \kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.}$

تفریق

با فرض اصل انتخاب و با توجه به یک σ کاردینال بی نهایت و یک μ کاردینال، یک κ اصلی وجود دارد به طوری که μ + κ = σ اگر و فقط اگر μ ≤ σ وجود دارد . اگر و فقط اگر μ < σ باشد، منحصر به فرد (و برابر با σ ) خواهد بود .

ضرب اصلی

محصول کاردینال ها از محصول دکارتی می آید .

${\displaystyle |X|\cdot |Y|=|X\times Y|}$^[6]

κ · 0 = 0 · κ = 0.

κ · μ = 0 → ( κ = 0 یا μ = 0).

یکی یک هویت ضربی κ · 1 = 1 · κ = κ .

ضرب انجمنی است ( κ · μ )· ν = κ ·( μ · ν ).

ضرب جابجایی κ · μ = μ · κ است .

ضرب در هر دو آرگومان کاهشی نیست: κ ≤ μ → ( κ · ν ≤ μ · ν و ν · κ ≤ ν · μ ).

ضرب بر جمع توزیع می شود : κ ·( μ + ν ) = κ · μ + κ · ν و ( μ + ν )· κ = μ · κ + ν · κ .

با فرض اصل انتخاب، ضرب اعداد اصلی نامتناهی نیز آسان است. اگر ك یا μ نامتناهی باشد و هر دو غیر صفر باشند، پس

${\displaystyle \kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}.}$

بخش

با فرض بدیهیات انتخابی و با توجه به یک π کاردینال نامتناهی و یک μ کاردینال غیر صفر ، یک κ اصلی وجود دارد به طوری که μ · κ = π اگر و فقط اگر μ ≤ π . اگر و فقط اگر μ < π .

قدرت کاردینال

توان توسط

${\displaystyle |X|^{|Y|}=\left|X^{Y}\right|,}$

که در آن X ^Y مجموعه همه توابع از Y تا X است . ^[6] به راحتی می توان بررسی کرد که سمت راست فقط به و بستگی دارد . ${\displaystyle {|X|}}$ ${\displaystyle {|Y|}}$

κ ⁰ = 1 (به ویژه 0 ⁰ = 1)، تابع خالی را ببینید .

اگر 1≤ μ , آنگاه 0 ^μ = 0.

1 ^μ = 1.

κ ¹ = κ .

κ ^{μ + ν} = κ ^μ · κ ^ν .

κ ^{μ · ν} = ( κ ^μ ) ^ν .

( κ · μ ) ^ν = κ ^ν · μ ^ν .

توان در هر دو آرگومان کاهشی نیست:

(1 ≤ ν و κ ≤ μ ) → ( ν ^κ ≤ ν ^μ ) و

( κ ≤ μ ) → ( κ ^ν ≤ μ ^ν ).

2 ^{| X |} کاردینالیته مجموعه توان مجموعه X است و آرگومان مورب کانتور نشان می دهد که 2 ^{| X |} > | X | برای هر مجموعه X این ثابت می‌کند که بزرگترین کاردینال وجود ندارد (زیرا برای هر کاردینال κ ، ما همیشه می‌توانیم یک کاردینال 2 ^κ بزرگتر پیدا کنیم ). در واقع، کلاس کاردینال ها یک کلاس مناسب است . (این اثبات در برخی از نظریه‌های مجموعه‌ها، به ویژه در بنیادهای جدید شکست می‌خورد .)

تمام گزاره‌های باقی‌مانده در این بخش اصل انتخاب را فرض می‌کنند:

اگر κ و μ هر دو متناهی و بزرگتر از 1 باشند و ν نامتناهی باشد، κ ^ν = μ ^ν .

اگر κ نامتناهی و μ محدود و غیر صفر باشد، κ ^μ = κ .

اگر 2 ≤ κ و 1 ≤ μ و حداقل یکی از آنها نامتناهی باشد، آنگاه:

حداکثر ( κ ، 2 ^μ ) ≤ κ ^μ ≤ حداکثر (2 ^κ ، 2 ^μ ).

با استفاده از قضیه کونیگ ، می توان κ < κ ^{cf( κ )} و κ < cf(2 ^κ ) را برای هر بی نهایت ک ردینال ثابت کرد ، که در آن cf( κ ) همزادی κ است .

ریشه ها

با فرض اصل انتخاب و با در نظر گرفتن یک کاردینال نامتناهی κ و یک کاردینال محدود μ بزرگتر از 0، کاردینال ν راضی کننده خواهد بود . ${\displaystyle \nu ^{\mu }=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

لگاریتم ها

با فرض اصل انتخاب و با توجه به یک کاردینال بی نهایت κ و یک کاردینال محدود μ بزرگتر از 1، ممکن است یک λ اصلی رضایت بخش وجود داشته باشد یا نباشد . با این حال، اگر چنین کاردینالی وجود داشته باشد، نامتناهی و کوچکتر از κ است ، و هر کاردینالیتی محدود ν بزرگتر از 1 نیز برآورده خواهد شد . ${\displaystyle \mu ^{\lambda }=\kappa }$ ${\displaystyle \nu ^{\lambda }=\kappa }$

لگاریتم یک عدد کاردینال نامتناهی κ به عنوان حداقل عدد اصلی μ تعریف می‌شود به طوری که κ ≤ 2 ^μ . لگاریتم‌های کاردینال‌های بی‌نهایت در برخی از زمینه‌های ریاضی مفید هستند، برای مثال در مطالعه متغیرهای اصلی فضاهای توپولوژیکی ، اگرچه فاقد برخی از ویژگی‌هایی هستند که لگاریتم‌های اعداد حقیقی مثبت دارند. ^{[7] [8] [9]}

فرضیه پیوستگی

فرضیه پیوستار (CH) بیان می کند که هیچ کاردینالی به طور دقیق بین وجود ندارد و عدد اصلی دوم نیز اغلب با نشان داده می شود . این کاردینالیته پیوستار (مجموعه اعداد واقعی ) است. در این مورد ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}.}$

به طور مشابه، فرضیه پیوستار تعمیم یافته (GCH) بیان می کند که برای هر کاردینال نامتناهی ، هیچ کاردینالی دقیقاً بین و وجود ندارد . ثابت شده است که هر دو فرضیه پیوستار و فرضیه پیوستار تعمیم یافته مستقل از بدیهیات معمول تئوری مجموعه ها، بدیهیات Zermelo-Fraenkel همراه با اصل انتخاب ( ZFC ) هستند. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

در واقع، قضیه ایستون نشان می‌دهد که، برای کاردینال‌های معمولی ، تنها محدودیت‌هایی که ZFC برای کاردینالیته می‌گذارد ، این است که تابع نمایی غیرکاهشی است. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa <\operatorname {cf} (2^{\kappa })}$

همچنین ببینید

• پورتال ریاضی

• شماره الف
• شماره بث
• پارادوکس بزرگترین کاردینال
• شماره اصلی (زبان شناسی)
• شمارش
• اصل شمول – طرد
• کاردینال بزرگ
• نام اعداد به زبان انگلیسی
• شماره اسمی
• شماره ترتیبی
• کاردینال منظم

مراجع

یادداشت ها

1. داوبن 1990، صفحه. 54
2. وایستاین، اریک دبلیو. "شماره کاردینال". mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 06-09-2020 .
3. دیزر، الیور (مه 2010). "در مورد توسعه مفهوم یک عدد اصلی". تاریخ و فلسفه منطق . 31 (2): 123-143. doi :10.1080/01445340903545904. S2CID  171037224.
4. اندرتون، هربرت. "Elements of Set Theory", Academic Press Inc., 1977. ISBN 0-12-238440-7 
5. Friedrich M. Hartogs (1915)، Felix Klein ; والتر فون دایک ؛ دیوید هیلبرت ؛ اتو بلومنتال (ویرایشگاه)، "Über das Problem der Wohlordnung"، ریاضی. ان ، Bd. 76 (4)، لایپزیگ: B. G. Teubner: 438–443, doi :10.1007/bf01458215, ISSN  0025-5831, S2CID  121598654, بایگانی شده از نسخه اصلی در 2016-2016-04-04-2016 .
6. Schindler 2014, pg. 34
7. رابرت ا. مک کوی و ایبولا نتانتو، ویژگی های توپولوژیکی فضاهای توابع پیوسته، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات 1315، اسپرینگر-ورلاگ .
8. ادوارد چک ، فضاهای توپولوژیکی، بازبینی شده توسط زدنک فرولیک و میروسلاو کاتوف، جان ویلی و پسران، ۱۹۶۶.
9. DA Vladimirov، جبرهای بولی در تجزیه و تحلیل، ریاضیات و کاربردهای آن، ناشران آکادمیک Kluwer.

کتابشناسی

• داوبن، جوزف وارن (1990)، گئورگ کانتور: ریاضیات و فلسفه بی نهایت او ، پرینستون: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 0691-02447-2
• هان، هانس ، بی نهایت ، قسمت نهم، فصل 2، جلد 3 از دنیای ریاضیات . نیویورک: سیمون و شوستر، 1956.
• هالموس، پل ، نظریه مجموعه های ساده لوحانه . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. تجدید چاپ شده توسط Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (نسخه اسپرینگر-ورلاگ). 
• شیندلر، رالف دیتر (2014). نظریه مجموعه ها: کاوش استقلال و حقیقت . Universitext. چم: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-319-06725-4. شابک 978-3-319-06725-4.

لینک های خارجی

• "شماره کاردینال"، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]